Max. Rechteck im Viertelkreis < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
| Aufgabe | | Dem Viertelkreis mit dem Radius 2cm ist das Rechteck mit maximalem Umfang einzubeschreiben. Bestimme seinen Flächeninhalt. |
Hi, nächste Frage :)
Hauptbedingung: U(a)=2a+2b
Nebenbedingung: Radius=Durchschnitt -> [mm] 2=Wurzel(a^2+b^2)
[/mm]
-> [mm] 4=a^2+b^2
[/mm]
-> [mm] b=Wurzel(4-a^2)
[/mm]
Einfügen in Zielfunktion: -> [mm] U(a)=2a+2(Wurzel(4-a^2))
[/mm]
-> [mm] U(a)^2=4a^2+4(4-a^2)=4a^2+16-4a^2
[/mm]
Der Koeffizient a löscht sich selber aus... :( Was mache ich falsch?
So wäre ich fortgefahren:
Funktion ableiten, gleich 0 setzen, nach a auflösen, in Ursprungsfunktion einsetzen, nach b auflösen, Fläche ausrechnen nach a*b.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo greenhue und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Dem Viertelkreis mit dem Radius 2cm ist das Rechteck mit
> maximalem Umfang einzubeschreiben. Bestimme seinen
> Flächeninhalt.
> Hi, nächste Frage :)
>
> Hauptbedingung: U(a)=2a+2b
>
> Nebenbedingung: Radius=Durchschnitt
Hä?
> -> [mm]2=Wurzel(a^2+b^2)[/mm]
> -> [mm]4=a^2+b^2[/mm]
Das ist die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius 2
> -> [mm]b=Wurzel(4-a^2)[/mm]
[mm] $b=\red{\pm}\sqrt{4-a^2}$ [/mm] !!
>
> Einfügen in Zielfunktion: -> [mm]U(a)=2a+2(Wurzel(4-a^2))[/mm]
> ->
> [mm]U(a)^2=4a^2+4(4-a^2)=4a^2+16-4a^2[/mm]
Schon mal was von binomischen Formeln gehört?
Und: Wieso quadrierst du das denn?
Du musst doch $U(a)$ nach $a$ ableiten, die erste Ableitung =0 setzen usw.
Normale Bestimmung des/der Extrema
> Der Koeffizient a löscht sich selber aus... :( Was mache
> ich falsch?
>
> So wäre ich fortgefahren:
> Funktion ableiten, gleich 0 setzen, nach a auflösen, in
> Ursprungsfunktion einsetzen, nach b auflösen, Fläche
> ausrechnen nach a*b.
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
Hallo schachuzipus
1. Ich weiss nicht genau worauf sich dein "Hä" bezieht. Wenn du die Nebenbedingung meinst: Der gegebene Radius des Kreises ist gleich dem Durchschnitt des Rechtecks. Ist daran etwas falsch?
2. Natürlich kenn ich die bin. Formeln, weiss aber in diesem Fall nicht wo ich sie anwenden soll. [mm] a^2-b^2 [/mm] ist ja nicht gleich [mm] (a-b)^2.
[/mm]
3. Quadriert habe ich um die Wurzel in der Gleichung zu entfernen, weil das Ableiten mit ihr nicht möglich ist.
Ich wäre sehr froh, wenn du mir deinen Weg etwas genauer erläutern könntest. Vielen Dank!
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Hallo, schachuzipus versteht nicht, was du mit "Radius=Durchschnitt" meinst, ich übrigens auch nicht, du hast
[mm] U(a)=2a+2*\wurzel{4-a^2}
[/mm]
ich schreibe mal
[mm] U(a)=2a+2*(4-a^2)^{0,5}
[/mm]
Wurzel weg, jetzt solltest du (leichter) erkennen, welche Regel du brauchst
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Kontakti |
Hi
Also, wenn ich dich richtig verstehe meinst du mit Radius=Durchschnitt, dass der Radius gleich der Länge der DIAGONALEN des Rechtecks ist und damit hast du natürlich recht.
Dein Fehler besteht vor allem darin, dass du bei Summen die Summanden nicht einzeln quadrieren darfst, also es gilt nicht a + b = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2! [/mm] Du musst die Summe als Ganzes quadrieren. Wie bereits erwähnt, kannst du dir diesen Schritt aber auch sparen, wenn du die Wurzel umschreibst als [mm] (...)^{0,5} [/mm] denn das solltest du direkt ableiten können.
lg
Kontakti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
Hi Steffi21
Radius(Kreis)=Durchschnitt(Rechteck): Was ist daran so unverständlich? Es ist ein Viertelkreis mit gegebenem Radius r=2cm. Das Rechteck innerhalb des Viertels kommt mit seiner äusseren Ecke an den Rand des Kreises. Die Distanz zwischen dieser Ecke und dem Mittelpunkt des Ganzkreises, also der Durchschnitt des Rechtecks, ist gleich dem Radius des Kreises! Das ist die Beziehung die ich brauche um eine der beiden Unbekannten auflösen zu können. Wie sonst käme ich auf die Gleichung [mm] 2=Wurzel(a^2+b^2)-> Wurzel(4-a^2)=b?
[/mm]
Nach deiner Lösung besteht nacher das selbe Problem wie mit meiner vorher: Beim Ausmultiplizieren löst sich der Koeffizient a auf:
$ [mm] U(a)=2a+2\cdot{}(4-a^2)^{0,5} [/mm] $
-> =2a+2(2-a)=2a+4-2a
Ich weiss nicht, welche Regel ich hier anwenden soll. Bitte einfach benennen, sonst könnte das hier noch viel länger dauern.. :/
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Hallo offenbar meinst du mit "Durchschnitt" die Diagonale vom Rechteck,
[mm] U(a)=2a+2\cdot{}(4-a^2)^{0,5}
[/mm]
das Auflösen der Klammern verursacht ja schon Schmerzen, du ziehst aus jedem Summanden in der Klammer einzeln die Wurzel,
um die Ableitung des 2. Summanden zu bilden, benutze die Kettenregel
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
Hey, danke für die schnelle Antwort!
Nach Anschauen dieses Videos, http://www.youtube.com/watch?v=g_gaJObf5BM&feature=plcp , bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] U(a)=2a+2(4-a^2)^0.5
[/mm]
u(x)=2a
u'(x)=2
[mm] v(x)=2(4-a^2)^0.5
[/mm]
[mm] v'(x)=(4-a^2)^{-0.5}*(-2)a
[/mm]
[mm] U'(a)=(4-a^2)^{-0.5}*(-2)a*2a+2*2(4-a^2)^0.5
[/mm]
[mm] =(4-a^2)^{-0.5}*(-4)a^2+4(4-a^2)^0.5
[/mm]
[mm] =(0.5-a)*(-4)a^2+4(2-a)=4a^3-2a^2-4a+8
[/mm]
Vorrausgesetzt mir ist nicht wieder irgendwo ein Fehler unterlaufen, wäre jetzt eine Polynomdivision möglich. Dafür braucht man ja eine Nullstelle und die ist doch ein Teiler der Konstanten, hier 8. Beim Überprüfen im TR war aber keiner der Teiler eine Nullstelle, weder negative noch positive.
Herzlichen Dank für die Hilfe!
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Hallo, das sieht doch ganz stark nach Produktregel aus, hier ist doch aber jeder Summand einzeln abzuleiten
[mm] U(a)=2a+2*(4-a^2)^0^,^5
[/mm]
[mm] U'(a)=2+2*0,5*(4-a^2)^-^0^,^5*(-2)*a
[/mm]
[mm] U'(a)=2-2a*(4-a^2)^-^0^,^5
[/mm]
[mm] U'(a)=2-\bruch{2a}{\wurzel{4-a^2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 18.05.2012 | | Autor: | greenhue |
Hiho, danke fürs Vorrechnen
Ich habe deine Lösung gleich 0 gesetzt und folgendes kam dabei heraus:
[mm] 2=\bruch{2a}{\wurzel{4-a^2}}
[/mm]
[mm] 2*\wurzel{4-a^2}=2a
[/mm]
[mm] \wurzel{4-a^2}=a
[/mm]
[mm] 4-a^2=a^2
[/mm]
[mm] 4=2a^2
[/mm]
2=2a
1=a
Jetzt b herausfinden:
[mm] 4=a^2+b^2
[/mm]
[mm] 3=b^2
[/mm]
[mm] \wurzel{3}=b
[/mm]
Die Lösung (Flächeninhalt des Rechtecks) beträgt aber [mm] 2cm^2. [/mm] Was ist es diesmal?
Danke für die Geduld, ich weiss das zu schätzen! :)
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Hallo, bis
[mm] 4=2*a^2 [/mm] ist alles ok, jetzt Division durch 2
[mm] 2=a^2
[/mm]
Steffi
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