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hi leute =)
haben im unterricht folgende aufgabe bekommen:
gegeben ist ein kreis mit beliebigem radius (r). Nun schneidet man aus diesem kreis ein stück heraus mit dem winkel [mm] \alpha [/mm] . wenn man das stück ausgeschnitten hat faltet man den rest zu einem zylinder. nun ist gefragt wie groß alpha sein muss damit der zylinder das maximale volumen hat.
Ich habe bisher keinen wirklich tollen ansatz gefunden meine einzigen ideen die ich habe sind folgende.
V=1/3 [mm] \pi r^2 [/mm] davon die ableitung bilden und gleich null setzten, da wir ja das maximale volumen haben wollen aber wenn wir einen zylinder formen haben wir ja ein anderes r und die höhe wissen wir ja auch nicht?
wäre echt nett wenn ihr mir helfen könnt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 05.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
Wir reden doch wohl nicht von einem Zylinder sondern von einem Kegel, der aus dem verbleibenden Kreisausschnitt gebildet werden soll, oder?
Wenn ich aus dem Kreis mit dem (festen) Radius $R \ = \ [mm] R_{Kreis}$ [/mm] einen Ausschnitt mit dem Winkel [mm] $\alpha°$ [/mm] ausgeschnitten habe, verbleibt doch für diesen Kreisausschnitt eine Bogenlänge von
$b \ = \ [mm] 2\pi [/mm] R - [mm] 2\pi [/mm] R * [mm] \bruch{\alpha°}{360°} [/mm] \ = \ [mm] 2\pi [/mm] R * [mm] \left(1 - \bruch{\alpha°}{360°}\right)$
[/mm]
Diese Bogenlänge $b$ ist doch nun genauso lang wie der Umfang unseres Kegels:
[mm] $u_{Kegel} [/mm] \ = \ [mm] 2\pi r_{Kegel} [/mm] \ = \ [mm] 2\pi [/mm] R * [mm] \left(1 - \bruch{\alpha°}{360°}\right)$
[/mm]
Daraus wird doch:
[mm] $r_{Kegel} [/mm] \ = \ R * [mm] \left(1 - \bruch{\alpha°}{360°}\right)$
[/mm]
Über den Pythagoras kannst Du nun die Kegelhöhe [mm] $h_{Kegel}$ [/mm] bestimmen, da der ehemalige Kreisradius $R$ genau der Seitenlänges des Kegels entspricht.
Kommst Du nun etwas weiter, um Deine Zielfunktion [mm] $V_{Kegel}\left(\alpha\right)$ [/mm] zu ermitteln?
Gruß
Loddar
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jo sry meinte kegel =)
danke damit dürfte ich erstmal weiter kommen. werde ma schaun ob ich was rausbekomme. danke! (wenn nich meld ich mich nochma)
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hmm habe jetzt für die höhe h = [mm] \wurzel{r²+(r*(1- \alpha°/360°))²}
[/mm]
aber irgendwie komme ich dann nicht auf einen winkel alpha wenn ich in die ableitung einsetzte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 05.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> hmm habe jetzt für die höhe h = [mm]\wurzel{r²+(r*(1- \alpha°/360°))²}[/mm]
h ist richtig!
> aber irgendwie komme ich dann nicht auf einen winkel alpha
> wenn ich in die ableitung einsetzte
Du musst jetzt erst das Volumen des Kegels ausrechnen!
Das Volumen musst du ableiten. Dann musst du die Nullstellen der Ableitung bestimmen, dabei findest du 2Nullstellen 1. Minimum bei [mm] \alpha [/mm] = 0 und ein Maximum.
(Noch ein Tip: wenn du als unbekannte gleich den benutzten Winkel nimmst, werden die Gleichungen einfacher also. [mm] r=R*\bruch{x}{360}) [/mm] Dabei ist x der Winkel, den du für den Kegel benutzt, nicht das weggeworfene.
Schreib nächstes Mal deine Rechnung auf, ich hab nur geraten dass du vielleicht h abgeleitet hast!
Wir müssen beim Erklären auch viel aufschreiben, also tu dasselbe beim Fragen!
Gruss leduart
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