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Folgende Aufgabenstellung:
Die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,3] durch
f(x)= 2x wenn x [mm] \in [/mm] [0,1]
( [mm] 3(x-2)^4)-1 [/mm] wenn [mm] x\in [/mm] (1,3]
definierte reelle Funktion ist stetig; dies dürfen Sie benutzen.
Auf ihrer Definitionsmenge [0,3] nehme sie ihr maximum und minimum an.
Bestimmen sie jeweils die globalen Maximumstellen und alles globalen minimastellen und geben sie das globale Maximum und das globale minimum an.
Idee: extremwerte berechnet man über die erste ableitung.
Muss ich jtzt jeweils die extremstellen von 2x bestimmen und dann von der zweiten teilfunktion? und was für einen zusammenhang hat das mit der stetigkeit, die wir benutzen dürfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 18.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Muss ich jtzt jeweils die extremstellen von 2x bestimmen und dann von der zweiten teilfunktion?
ja, und dann schaust Du welche extremer sind. =)
> und was für einen zusammenhang hat das mit der stetigkeit, die wir benutzen dürfen?
Ohne Stetigkeit muß es kein Extremum geben.
Bsp:
[mm] $f(x):=\begin{cases} x&\text{fuer }x\in [0,1)\\ -x& \text{fuer } x\in [1,2)\\ 0&\text{fuer } x=3\end{cases}$
[/mm]
hat keins.
ciao
Stefan
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okay also ...
von 2x
f´(x)=2 , um die extremwerte zu berechnen müsste ich ja f´(x)=0 setzen,
d.h. es würde folgen 2 [mm] \not= [/mm] 0 .. das heißt doch dass es keine extremwerte hat, oder nicht ?
2. teilfunktion:
(3 [mm] (x-2)^4)-1
[/mm]
f´(x)= [mm] 12(x-2)^3
[/mm]
f´´(x)= 36 [mm] (x-2)^2
[/mm]
so jetzt müsste ich ja
[mm] 12(x-2)^3=0 [/mm] setzen... das ist jedoch mit ausmultiplizieren etc eine enorme arbeit... in einer klausur in der taschenrechner verbot herrscht, kann es doch nicht angehen dass sie solche eine aufgabe stellen :O .. oder es gibt ein trick und ich seh es nicht ?
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> okay also ...
>
> von 2x
>
> f´(x)=2 , um die extremwerte zu berechnen müsste ich ja
> f´(x)=0 setzen,
>
> d.h. es würde folgen 2 [mm]\not=[/mm] 0 .. das heißt doch dass es
> keine extremwerte hat, oder nicht ?
genau, aber was ist mit den randpunkten? (hier der linke)
>
>
> 2. teilfunktion:
>
> (3 [mm](x-2)^4)-1[/mm]
>
> f´(x)= [mm]12(x-2)^3[/mm]
>
> f´´(x)= 36 [mm](x-2)^2[/mm]
>
> so jetzt müsste ich ja
>
> [mm]12(x-2)^3=0[/mm] setzen... das ist jedoch mit ausmultiplizieren
> etc eine enorme arbeit... in einer klausur in der
> taschenrechner verbot herrscht, kann es doch nicht angehen
> dass sie solche eine aufgabe stellen :O .. oder es gibt ein
> trick und ich seh es nicht ?
ein produkt ist 0, wenn einer der faktoren 0 ist. 12 ist schonmal nicht 0, und wann [mm] (x-2)^3 [/mm] 0 ist, sieht auch n blinder noch
gruß tee
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was meinst du mit den randpunkten?
zur zweiten teilfolge:
x=2 ist eine Nullstelle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Fr 18.02.2011 | | Autor: | abakus |
> was meinst du mit den randpunkten?
>
> zur zweiten teilfolge:
>
> x=2 ist eine Nullstelle
Gefragt sind GLOBALE Extremstellen, nicht lokale.
Zeichne dir die Funktion!
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Fr 18.02.2011 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ZUFÄLLIG ist das lokale Minimum auch das globale.
Maxima wirst du aber nicht mit der ersten Ableitung finden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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sondern mit der zweiten oder wie
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Hallo Jessica2011,
> sondern mit der zweiten oder wie
Maxima findest Du mit keiner Ableitung.
Betrachte dazu die Randpunkte des jeweiligen Intervalles.
Gruss
MathePower
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ahso also liegt mein globales maximum bei 3 und globales minimum bei 1.. das wars ? :O
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> ahso also liegt mein globales maximum bei 3 und globales
> minimum bei 1.. das wars ? :O
bei x=1 sehe ich eher ein weiteres maximum.. räts du oder rechnest du auch etwas?
gruß tee
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ich habe mir lediglich die randpunkte angeschaut...
irgendwie steh ich gerade auf dem schlauch.. wie berechnet man das dennn
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> ich habe mir lediglich die randpunkte angeschaut...
> irgendwie steh ich gerade auf dem schlauch.. wie berechnet
> man das dennn
Hallo,
Du sollst die abschnittweise definierte, stetige Funktion f mit
[mm]f(x):=\begin{cases} 2x, & \mbox{fuer } x\in [0,1] \\
3(x-2)^4-1, & \mbox{fuer } x\in (1,3] \end{cases}
[/mm]
auf Extremwerte untersuchen.
Vorgehensweise: in den Intervallen (0,1) und (1,3) kannst Du die Extremwerte bestimmen, indem Du, wie aus der Schule sicher wohlbekannt, das Procedere mit 1. Ableitung etc. durchführst.
Schaue dann noch die Ränder der Funktion, also f(0) und f(3), im Hinblick darauf an, ob hier Stellen vorliegen, die die bereits berechneten Extremwerte übertrumpfen.
Weitere Stellen, die Aufmerksamkeit verdienen, sind die Nahtstellen abschnittweise definierter Funktionen: hier können Extremwerte vorliegen, die Du durch Betrachten der 1. Ableitung nicht erwischst.
Eine Nahtstelle hast Du bei Deiner Funktion an der Stelle x=1.
Schlag nach, wie Minimum/Maximum definert ist und untersuche bzw. zeige, daß eines vorliegt.
Schau am Ende, wenn Du alle rel. Extrema hast, nach, welches das größte Maximum und das kleinste Minimum ist. Das sind die globalen Extremstellen.
Gruß v. Angela
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Gut danke schön...
dann gab es noch eine ähnliche aufgabe mit folgender teilfunktion:
[mm] (x^2)^x
[/mm]
die erste ableitung wäre: [mm] (x^2)^x [/mm] * (ln [mm] x^2 [/mm] +2)
oder [mm] e^{xlnx^2} [/mm] *(ln [mm] x^2 [/mm] +2)
wenn ich die jetzt gleich null stelle dann kann doch der term mit e nicht null werden stimmts?
d.h. mann muss sich nur noch (ln [mm] x^2 [/mm] +2)=0 angucken und wie hat man da nochmal die Nullstellen ermittelt?
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Hallo,
> dann gab es noch eine ähnliche aufgabe mit folgender
> teilfunktion:
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> [mm](x^2)^x[/mm]
>
> die erste ableitung wäre: [mm](x^2)^x[/mm] * (ln [mm]x^2[/mm] +2)
>
> oder [mm]e^{xlnx^2}[/mm] *(ln [mm]x^2[/mm] +2)
>
> wenn ich die jetzt gleich null stelle dann kann doch der
> term mit e nicht null werden stimmts?
Ja, denn der Wertebereich der Exponentialfunktion ist positiv, d.h. alle Funktionswerte sind echt größer Null.
>
> d.h. mann muss sich nur noch (ln [mm]x^2[/mm] +2)=0 angucken und
> wie hat man da nochmal die Nullstellen ermittelt?
Es ist [mm] $\ln(x^2)=2\ln(x)$ [/mm] nach Logarithmengesetz. Die Gleichung [mm] $2\ln(x)+2=0$ [/mm] kannst du sicherlich lösen 
Gruß
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Gut danke schön...
dann gab es noch eine ähnliche aufgabe mit folgender teilfunktion:
2 ln x +2 =0
2lnx =-2 | :2
lnx = -1
x= e^-1 stimmt das so?
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Hallo,
> 2 ln x +2 =0
>
> 2lnx =-2 | :2
>
> lnx = -1
>
> x= [mm] e^{-1} [/mm] stimmt das so?
Prima!
Gruß
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wäre die Ableitung von:
[mm] e^{xlnx^2} [/mm] * (ln [mm] x^2 [/mm] +2 ) denn richtig:
f´´(x)= [mm] ((lnx^2 [/mm] + [mm] 2)*e^{xlnx^2}) [/mm] * (ln [mm] x^2+2)+ e^{xlnx^2}* (1/x^2 [/mm] * 2x)
?
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Hallo Jessica2011,
> wäre die Ableitung von:
>
> [mm]e^{xlnx^2}[/mm] * (ln [mm]x^2[/mm] +2 ) denn richtig:
>
> f´´(x)= [mm]((lnx^2[/mm] + [mm]2)*e^{xlnx^2})[/mm] * (ln [mm]x^2+2)+ e^{xlnx^2}* (1/x^2[/mm] * 2x)
>
> ?
Ja, das ist richtig, fasse das aber mal noch schön zusammen ...
Gruß
schachuzipus
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[mm] e^{xlnx^2} [/mm] * [mm] (lnx^2+2)^2 [/mm] + (ln [mm] x^2 [/mm] + 2) *2/x
ist das nicht eine gemeine aufgabenstellung.. für eine klausur mit taschenrechnerverbot?...
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Hallo Jessica2011,
> [mm]e^{xlnx^2}[/mm] * [mm](lnx^2+2)^2[/mm] + (ln [mm]x^2[/mm] + 2) *2/x
>
Hier muss doch
[mm]e^{xlnx^2} *\left( (ln\left(x^{2}\right)+2)^{2} + \bruch{2}{x}\right)[/mm]
stehen.
Wäre Deine Zusammenfassung richtig, dann
könntest Du [mm]ln\left(x^{2}\right)+2[/mm] ausklammern.
>
> ist das nicht eine gemeine aufgabenstellung.. für eine
> klausur mit taschenrechnerverbot?...
>
Sofern die Nullstellen dieser Ableitung ermittelt werden müssen,
ist das schon gemein, da diese nicht ohne Hilfsmittel ermittelt
werden können.
Gruss
MathePower
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okay...
1. Bestimmung der extremwerte
f`(x)=2 [mm] \not= [/mm] 0 kein extrempunkt vorhanden
f`(x)= 12 [mm] (x-2)^3 [/mm] fuer x=2 ein extrempunkt
wenn ich das jetzt aber in die zweite ableitung einsetzte (hinreichende Bedingung) dann folgt
f``(x)= [mm] 36(x-2)^2 \Rightarrow [/mm] 0 ... so das liefert jedoch keine aussage darueber ob es ein minima oder maxima ist.
<0 waere ja normalerweise Maximum
und groesser Null Minimum...
wenn ich aber 2 in die ausgangsteilfunktion einsetze (in die zweite)
dann erhalte ich
f(2)=-1
koennte ich jetzt hieran ableiten dass es ein minimum ist ?
duerfte man das ?
dann sollte ich noch die Randpunkte (0,3) anschaun
fuer 2x habe ich ermittelt
f(0)=0
f(3)=6
fuer die zweite teilfunktion habe ich ermittelt
f(0)=47
f(3)=2
dann sollte ich noch die nahtstellen genauer ansehen
fuer x=1
hab ich da einmal
fuer f(x)=2x > 2 raus
und fuer die zweite teilfunktion ebenfalls 2...
soweit erstmal richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> okay...
>
> 1. Bestimmung der extremwerte
>
> f'(x)=2 [mm]\not=[/mm] 0 kein extrempunkt vorhanden
>
> f'(x)= 12 [mm](x-2)^3[/mm] fuer x=2 ein extrempunkt
>
> wenn ich das jetzt aber in die zweite ableitung einsetzte
> (hinreichende Bedingung) dann folgt
>
> f''(x)= [mm]36(x-2)^2 \Rightarrow[/mm] 0 ... so das liefert jedoch
> keine aussage darueber ob es ein minima oder maxima ist.
>
> <0 waere ja normalerweise Maximum
> und groesser Null Minimum...
>
> wenn ich aber 2 in die ausgangsteilfunktion einsetze (in
> die zweite)
> dann erhalte ich
>
> f(2)=-1
>
> koennte ich jetzt hieran ableiten dass es ein minimum ist
> ?
> duerfte man das ?
>
> dann sollte ich noch die Randpunkte (0,3) anschaun
>
> fuer 2x habe ich ermittelt
>
> f(0)=0
> f(3)=6
Die erste Teilfunktion ist für x=3 schon längst nicht mehr definiert gewesen
>
> fuer die zweite teilfunktion habe ich ermittelt
>
> f(0)=47
Die zweite Teilfunktion war nur von 1 bis 3 definiert. Wozu berechnest du da den Funktiuonswert an der Stelle 0?
> f(3)=2
>
> dann sollte ich noch die nahtstellen genauer ansehen
>
> fuer x=1
>
> hab ich da einmal
>
> fuer f(x)=2x > 2 raus
>
> und fuer die zweite teilfunktion ebenfalls 2...
>
> soweit erstmal richtig?
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hmm ja dann hätte ich wohl meine globale maxima bei x=1 und x=3 beides mal kommt die 2 raus.
und globale minima bei x=2 -> -1 ...
jetzt fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> hmm ja dann hätte ich wohl meine globale maxima bei x=1
> und x=3 beides mal kommt die 2 raus.
>
> und globale minima bei x=2 -> -1 ...
>
> jetzt fertig?
Ja. fassen wir zusammen:
Stelle des globalen Minimums: x=2
Wert des globalen Minimums: f(2)=-1
Begründung: einzige LOKALE Minimumstelle, und alle Funktionswerte an den Grenzen der Teilbereiche sind größer.
Stellen mit globalen Maxima: x=1 und x=3
Wert des globalen Maximums: 2
Begründung: Da keine lokalen Maxima existieren, kann das globale Maximum nur der größte aller Funktionswerte an den Grenzen der Teilbereiche sein.
Gruß Abakus
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