Maxima einer komplexen Fkt. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
Es seien a,b zwei reelle positive Zahlen. Ich soll max [mm] |exp(z^{2})| [/mm] auf der Menge {x+iy | [mm] (\bruch{x}{a})^{2}+(\bruch{y}{b})^{2}\le0} [/mm] bestimmen.
Wir hatte dazu einen Satz zum Maximumprinzip der besagt, dass eine nicht konstande holomorphe Fkt. f kein relatives Maxima hat. Nur leider komme ich damit nicht weiter. Kann mir jemand dabei helfen??
Gruss
Frank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Franky!
> Guten Abend,
> ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
>
> Es seien a,b zwei reelle positive Zahlen. Ich soll max
> [mm]|exp(z^{2})|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf der Menge {x+iy |
> [mm](\bruch{x}{a})^{2}+(\bruch{y}{b})^{2}\le0}[/mm] bestimmen.
Bist du dir bei der Menge sicher? Es gilt immer [mm] $\bruch{x}{a})^{2}+(\bruch{y}{b})^{2} \ge [/mm] 0$, womit die Menge gleich [mm] $\{ (0 + i 0) \}$ [/mm] waere. Und damit waer das Maximum gleich [mm] $\exp(0) [/mm] = 1$.
> Wir hatte dazu einen Satz zum Maximumprinzip der besagt,
> dass eine nicht konstande holomorphe Fkt. f kein relatives
> Maxima hat. Nur leider komme ich damit nicht weiter. Kann
> mir jemand dabei helfen??
Der Satz bringt dir hier nichts.
Rechne doch erstmal fuer $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] den Ausdruck [mm] $|\exp((x [/mm] + i [mm] y)^2)|$ [/mm] so konkret wie moeglich aus.
Dann hast du [mm] $\exp$ [/mm] von einem Ausdruck aus $x$ und $y$, und da [mm] $\exp$ [/mm] streng monoton ist, musst du diesen Ausdruck unter der Randbedingung [mm] $(\frac{x}{a})^2 [/mm] + [mm] (\frac{y}{b})^2 \le [/mm] 0$ (bzw. was da jetzt auch immer steht) maximieren...
LG Felix
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Hi Felix.
leider ist das wirklich [mm] \le [/mm] 1 das fand ich ja so komisch.
Wenn ich den Ausdruck ausrechne komme ich auf
[mm] e^{x^2+2xyi-y^2} [/mm] = [mm] e^{x^2}*e^{2xyi}*e^{-y^2}
[/mm]
Das soll ich jetzt also mit der Nebenbedingung maximieren??
Also ableiten und mit Lagrange oder wie darf ich das verstehen??
Gruss
Frank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 20.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Frank,
> leider ist das wirklich [mm]\le[/mm] 1 das fand ich ja so komisch.
ok dann macht es Sinn.
> Wenn ich den Ausdruck ausrechne komme ich auf
> [mm]e^{x^2+2xyi-y^2}[/mm] = [mm]e^{x^2}*e^{2xyi}*e^{-y^2}[/mm]
Und der Betrag davon? Da faellt dann ein Faktor weg... Und wie schon gesagt, wenn du es zu einem [mm] $\exp(...)$ [/mm] zusammenfasst, dann kannst du das [mm] $\exp$ [/mm] weglassen wegen der Monotonie.
Den verbleibenden (sehr einfachen, polynomiellen) Ausdruck kannst du dann unter der Nebenbedingung maximieren.
LG Felix
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Ok wenn ich den Betrage nehme habe ich natürlich übersehen sorry,
dann bleibt nur noch [mm] x^{2}-y^{2} [/mm] über diesen maximiere ich nun mit der NB.
Aber da stehe ich schon wieder auf dem schlauch wenn sieht denn dann meine FKT für Lagrange genau aus das ist doch dann
[mm] x^{2}-y^{2}-\lambda((\bruch{x}{a})^{2}+\bruch{y}{b})^{2}-1) [/mm] oder??
Das dann nach allen variablen ableiten und a und b berechnen oder???
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Du sagst doch selbst, daß eine nichtkonstante holomorphe Funktion kein relatives Maximum haben kann. Also kann das Maximum von [mm]f(z) = \operatorname{e}^{z^2}[/mm] nur auf dem Rand der Ellipse
[mm]\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \left( \frac{y}{b} \right)^2 \leq 1[/mm]
angenommen werden. Der läßt sich aber durch
[mm]x = a \cos{t} \, , \ \ y = b \sin{t} \, ; \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
leicht parametrisieren. Also hast du nur noch die reelle Funktion
[mm]\varphi(t) = \left| f(a \cos{t} + \operatorname{i} b \sin{t}) \right|[/mm]
der reellen Variablen [mm]t[/mm] zu maximieren. Und da reicht es, sich den Exponenten vorzunehmen. Das wird ganz einfach.
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Hallo,
ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, ich weiß das es nur auf dem Rand ein Maximum geben kann. Aber wie soll ich
[mm] \varphi(t) [/mm] = [mm] \left| f(a \cos{t} + \operatorname{i} b \sin{t}) \right|
[/mm]
maximieren??
Oder willst du mir damit nur zeigen, dass es für mich reicht das [mm] z^{2} [/mm] zu betrachten in der Form x+yi??
Hast du bitte noch einen Tipp für mich
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[mm]\varphi(t) = \operatorname{e}^{\ a^2 \cos^2{t} \, - \, b^2 \sin^2{t}} \, ; \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
Und da die reelle Exponentialfunktion streng monoton wächst, brauchst du nur den Exponenten
[mm]\psi(t) = a^2 \cos^2{t} - b^2 \sin^2{t}[/mm]
zu untersuchen. Das ist eine Kurvendiskussion ganz wie in der Schule. Oder sonstwie argumentieren ...
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Hi,
ja das ist ja auch alles schön und gut, aber ich bekommen dann meine t unabhängig von a und b raus.
Wenn ich den Exponenten ableite und gleich = setzte für ein maximum bekomme ich
[mm] t=\bruch{(2k-1)*\pi}{2} [/mm] oder [mm] t=k*\pi [/mm] mit der Bedingung das [mm] a^{2}+b=0 [/mm] sein muss.
Reicht das denn in diesem Fall??
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[mm]\psi(t) = a^2 \cos^2{t} - b^2 \sin^2{t}[/mm]
[mm]\psi'(t) = -2 \left( a^2 + b^2 \right) \cdot \sin{t} \cdot \cos{t}[/mm]
[mm]\psi''(t) = -2 \left( a^2 + b^2 \right) \cdot \left( \cos^2{t} - \sin^2{t} \right)[/mm]
Es sind nur [mm]t \in [0,2 \pi][/mm] zu betrachten. Dabei wird der Rand der Ellipse, durch [mm]z = x + \operatorname{i} y = a \cos{t} + \operatorname{i} b \sin{t}[/mm] parametrisiert, einmal durchlaufen, mit [mm]z = a[/mm] als Anfangs- und Endpunkt.
Nullstellen von [mm]\psi'[/mm] im Innern des Definitionsbereiches sind [mm]\frac{\pi}{2}, \, \pi, \, \frac{3}{2} \, \pi[/mm]. In die Überlegungen sind noch die Randstellen [mm]0[/mm] und [mm]2 \pi[/mm] miteinzubeziehen.
[mm]t = \frac{\pi}{2}, \, \frac{3}{2} \, \pi: \ \ \ \psi''(t) = 2 \left( a^2 + b^2 \right) > 0 \ \ \Rightarrow \ \ \text{lokales Minimum}[/mm]
[mm]t = \pi: \ \ \ \psi''(\pi) = -2 \left( a^2 + b^2 \right) < 0 \ \ \Rightarrow \ \ \text{lokales Maximum mit Wert} \ \ \psi(\pi) = a^2[/mm]
[mm]t = 0, \, 2 \pi: \ \ \ \psi(t) = a^2[/mm]
[mm]\psi(t)[/mm] hat daher den Maximalwert [mm]a^2[/mm], der an den Stellen [mm]0, \, \pi, \, 2 \pi[/mm] angenommen wird. Diesen Parameterwerten entsprechen die Ellipsenpunkte [mm]z = a[/mm] (Anfangs- und Endpunkt für [mm]t = 0[/mm] und [mm]t = 2 \pi[/mm]) und [mm]z = -a[/mm] (für [mm]t = \pi[/mm]). An diesen Stellen wird auch [mm]\varphi(t) = \operatorname{e}^{\psi(t)} = \left| f(a \cos{t} + \operatorname{i} b \sin{t}) \right|[/mm] maximal. Nach dem Maximumprinzip hat also [mm]|f(z)|[/mm] auf der gesamten Ellipse das Maximum [mm]\operatorname{e}^{a^2}[/mm]. Angenommen wird es bei [mm]z = a[/mm] und [mm]z = -a[/mm].
Ich habe die Kurvendiskussion einmal stur nach Schema F durchgeführt. Tausendmal schneller geht das Ganze natürlich, wenn man
[mm]\psi(t) = a^2 \cos^2{t} - b^2 \sin^2{t} = a^2 - \left( a^2 + b^2 \right) \sin^2{t}[/mm]
verwendet. Da der Subtrahend wegen der Quadrate stets [mm]\geq 0[/mm] ist, wird das Maximum an den Nullstellen der Sinusfunktion angenommen. Es ist [mm]a^2[/mm]. Fertig.
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