Maxima und Minima < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Maxima und Minima von [mm] $f(x,y)=x^2-y^2$ [/mm] auf der Menge [mm] $\{(x,y):0\le x\le1, 0\le y\le1\} [/mm] $ |
Ich habe noch nie etwas erfahren was das Maxima und Minima einer Menge sein soll, und schon gar nicht im Mehrdimensionalen. Ich nehme jedoch an, dass hier die Methode der partiellen Differentiation weiterhelfen könnte. Wenn dies jedoch so ist, wüßte ich aber nicht, was ich mit dem Ergebnis dann anfange sollte, um auf die Koordinaten der Extrema schließen zu können. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mo 15.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Betrachten wir mal ein vergleichbares Problem einer Funktion [mm] f:\IR\to\IR.
[/mm]
Nehmen wir mal [mm] f(x)=-x^{2}+1 [/mm] auf dem Intervall I[-1;2].
[mm] f(x)=-x^{2}+1 [/mm] hat ja ein globales Maximum im Punkt P(0/1), und ohne Intervall wäre das Minimum bei [mm] -\infty.
[/mm]
Jetzt hast du aber noch die Intervalleinschränkung. Also betrachte nal die Randpunkte der Funktion
Es gilt: f(-1)=0 und f(2)=-3, also ist Q(2/-3) der absolute Tiepfunkt von f eingeschränkt auf I.
Beispiel 2:
[mm] f(x)=x^{3}-3x [/mm] auf I [4;5]
f(x) hat einen Tiefpunkt T(1/-2) und einen Hochpunkt H(-1/2). Diese leigen aber beide ausserhalb des Betrachtungsintervalles, also musst du auch hier die Randpunkte im Intervall betrachten. Innerhalb des Intervalles ist f dann streng monoton steigend, hat als dort keinerlei Extrema mehr. Also sind deine Randpunkte die Extrempunkte
Übertrage das jetzt mal auf deine gegebene Situation.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Folgender Lösungsbeginn:
[mm] $\frac{\delta f}{\delta x}= [/mm] 2x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=0 $
[mm] $\frac{\delta f}{\delta y}= [/mm] -2y =0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0$
Am Punkt (0/0) jat $f$ eine waagrechte Tangentialebene.
[mm] $\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}=2,$ $\frac{\delta^2f}{\delta y^2}=-2 \Rightarrow \frac{\delta^2f}{\delta x\delta y}=0=\frac{\delta^2f}{\delta y dx}$ [/mm]
$(0/0) [mm] \Rightarrow \frac{\delta^2f}{\delta x^2} [/mm] = 2>0 [mm] \wedge \frac{\delta^2f}{\delta y^2}=-2<0$ [/mm]
In x-Richtung liegt Tiefpunkt vor, in y-Richtung ein Hochpunkt.
[mm] $\Rightarrow [/mm] (0/0)$ ist Sattelpunkt.
Damit ist bewiesen, dass die Hessesche Matrix
[mm] \begin{displaymath}
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{array}
\right)
\end{displaymath}
[/mm]
indefinit ist.
Damit gibt es aber keine echten Extremata (und damit natürlich auch nicht in den zu untersuchenden Intervallen)
Passt dies so oder übersehe ich etwas Wesentliches?
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Hallo clemenum,
> Folgender Lösungsbeginn:
> [mm]\frac{\delta f}{\delta x}= 2x=0 \Rightarrow x=0[/mm]
> [mm]\frac{\delta f}{\delta y}= -2y =0 \Rightarrow y=0[/mm]
> Am Punkt (0/0) jat [mm]f[/mm] eine waagrechte Tangentialebene.
> [mm]\frac{\delta^2 f}{\delta x^2}=2,[/mm] [mm]\frac{\delta^2f}{\delta y^2}=-2 \Rightarrow \frac{\delta^2f}{\delta x\delta y}=0=\frac{\delta^2f}{\delta y dx}[/mm]
> [mm](0/0) \Rightarrow \frac{\delta^2f}{\delta x^2} = 2>0 \wedge \frac{\delta^2f}{\delta y^2}=-2<0[/mm]
> In x-Richtung liegt Tiefpunkt vor, in y-Richtung ein
> Hochpunkt.
> [mm]\Rightarrow (0/0)[/mm] ist Sattelpunkt.
> Damit ist bewiesen, dass die Hessesche Matrix
> [mm]\begin{displaymath}
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{array}
\right)
\end{displaymath}[/mm]
>
> indefinit ist.
> Damit gibt es aber keine echten Extremata (und damit
> natürlich auch nicht in den zu untersuchenden Intervallen)
Mit dieser Methode gibt es keine Extrema, das ist richtig.
>
> Passt dies so oder übersehe ich etwas Wesentliches?
Untersuche jetzt noch die Randpunkte auf das Vorliegen von Extrema.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich sehe $(0,0)$ und $(1,1)$ als die einzigen Kandiaten für Randpunkte.
$(0.0) [mm] \Rightarrow \frac{\delta^2}{\delta x} [/mm] = 2 >0 [mm] \wedge\frac{\delta^2}{\delta y^2}=-2 [/mm] < 0$
Für den Punkt $(1,1)$ verhält es sich natürlich analog wie vorher.
Damit handelt es sich wieder jeweils um einen Sattelpunkt.
Das heißt aber schon, dass es nirgendwo (echte) Extrema gibt. q.e.d.
Ist dies so in Ordnung oder ist mein letzter Schritt ein Trugschluss gewesen?
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Hallo clemenum,
> Ich sehe [mm](0,0)[/mm] und [mm](1,1)[/mm] als die einzigen Kandiaten für
> Randpunkte.
> [mm](0.0) \Rightarrow \frac{\delta^2}{\delta x} = 2 >0 \wedge\frac{\delta^2}{\delta y^2}=-2 < 0[/mm]
> Für den Punkt [mm](1,1)[/mm] verhält es sich natürlich analog wie
> vorher.
> Damit handelt es sich wieder jeweils um einen Sattelpunkt.
> Das heißt aber schon, dass es nirgendwo (echte) Extrema
> gibt. q.e.d.
>
> Ist dies so in Ordnung oder ist mein letzter Schritt ein
> Trugschluss gewesen?
Hier hast nur zwei Randpunkte untersucht.
Unter den Randpunkten gibt es aber
auch noch die Punkte (0,1) bzw (1,0).
Die Randpunkte mußt Du hier mit einer anderen Methode untersuchen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mo 15.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Ich habe mir dies in den letzten fünfzehn Minuten gut überlegt und bin zum Schluss gekommen, dass folgende Methode die einzig mögliche sein muss um die Randpunkte zu untersuchen, auch wenn diese ziemlich banal erscheint:
[mm] $f(0,0)=0^2+0^2=0$
[/mm]
$f(1,1)=0$
$f(0,1)=-1$
$f(1.0)=1$
Daraus folgt, dass bei $f(x,y)=-1$ das globale Minimum in $f$ restringiert auf $I$ vorliegt und bei $f(x,y)=1$ das globale Maximum in $f$ eingeschränkt auf $I$.
Ich hoffe, dass ich diesmal richtig liege und bitte um eine Bestätigung, wenn dem so ist!
Vielen Dank!
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Hallo clemenum,
> Ich habe mir dies in den letzten fünfzehn Minuten gut
> überlegt und bin zum Schluss gekommen, dass folgende
> Methode die einzig mögliche sein muss um die Randpunkte zu
> untersuchen, auch wenn diese ziemlich banal erscheint:
> [mm]f(0,0)=0^2+0^2=0[/mm]
> [mm]f(1,1)=0[/mm]
> [mm]f(0,1)=-1[/mm]
> [mm]f(1.0)=1[/mm]
> Daraus folgt, dass bei [mm]f(x,y)=-1[/mm] das globale Minimum in [mm]f[/mm]
> restringiert auf [mm]I[/mm] vorliegt und bei [mm]f(x,y)=1[/mm] das globale
> Maximum in [mm]f[/mm] eingeschränkt auf [mm]I[/mm].
>
> Ich hoffe, dass ich diesmal richtig liege und bitte um eine
> Bestätigung, wenn dem so ist!
Ja, da liegst Du ganz richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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