Maximal. Flächeninhalt Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Iduna |
| Aufgabe | Eine Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen der Funktion f ( f(x)= x * (1- lnx) ) in einem Punkt R (xr; f(xr)) mit xr < e und die x-Achse in einem Punkt S. Der Punkt O bezeichnet den Koordinatenursprung.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punktes R so, dass das Dreieck OSR maximalen Flächeninhalt einnimmt!
Berechne diesen Inhalt! |
Erstmal hallo, an alle!
Kann mir bitte jemand helfen?! Ich weiß nicht genau, wie man den >> maximalen Flächeninhalt << bestimmt. Hab leider keine Ahnung mehr wie man da genau vorgeht.
Die normale Gleichung um den Flächeninhalt von einem Dreieck zu berechnen, ist ja: A= 1/2 * a * b
somit ---> A = 1/2 * xr * f(xr)
nur was mach ich dann?
was hilft mir das jetzt?
weiß doch nicht was x ist?!
Bitte helft mir!
Wäre euch sehr dankbar!
Liebe Grüße - Iduna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 22.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen der
> Funktion f ( f(x)= x * (1- lnx) ) in einem Punkt R (xr;
> f(xr)) mit xr < e und die x-Achse in einem Punkt S. Der
> Punkt O bezeichnet den Koordinatenursprung.
> Ermitteln Sie die Koordinaten der Punktes R so, dass das
> Dreieck OSR maximalen Flächeninhalt einnimmt!
> Berechne diesen Inhalt!
> Erstmal hallo, an alle!
>
> Kann mir bitte jemand helfen?! Ich weiß nicht genau, wie
> man den >> maximalen Flächeninhalt << bestimmt. Hab leider
> keine Ahnung mehr wie man da genau vorgeht.
>
> Die normale Gleichung um den Flächeninhalt von einem
> Dreieck zu berechnen, ist ja: A= 1/2 * a * b
>
> somit ---> A = 1/2 * xr * f(xr)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> nur was mach ich dann?
> was hilft mir das jetzt?
> weiß doch nicht was x ist?!
Das sollst du ja gerade herausbekommen.
Also:
x*f(x) ist ja der Flächeninhalt:
Also A(x)=x*f(x)=x(x(1-ln(x))=x²(1-ln(x))
Hiervon suchst du jetzt die Extrempunkte, also ableiten usw.
> Liebe Grüße - Iduna
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Iduna |
Ehrlich gesagt, hab ich echt Probleme die ganzen Ableitung auszurechnen wenn da nen "lnx" oder ähnliches dabei ist.
Rechnet man das mit der Produktregel aus? --> u'v + v'u
also:
y= x² * (1- lnx)
u= x²
u'=2x
v= 1- lnx
v'= - 1/x
y'= 2x * (1 - lnx) - 1/x * x²
y'= 2x * (1 - lnx) - x
hm...
mal ne Frage?
was hab ich jetzt davon wenn ich damit jetzt die Extrempunkte ausrechne?
dann hab ich mehrere Punkte ok... aber wie komm ich dann auf meinen maximalen Flächeninhalt??
hab keine Ahnung :o(
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also Produktregel stimmt, auch richtig augerechnet.
ein Maximum erhält man, wenn man die erste Ableitung der Funktion 0 setzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Iduna |
Hi marlenemasw!
Dadurch erhalt ich ja letzendlich nen Extrempunkt. Nur was stell ich dann damit an?
dann hab ich nen Punkt, aber keinen Flächeninhalt?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
Überprüfe dann die Extrempunkte mit Hilfe der zweiten Ableitung und bestimme welche davon ein Hochpunkt ist. Dann kannst du x-Wert des Hochpunktes in deiner Zielfunktion (Flächeninhalt) einsetzen und Flächeninhalt berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Iduna |
stimmt das erstmal so?
also müsst ich nun die Extrempunkte berechnen, ja?...
d.h. ich müsste die 1. Ableitung Null setzen... nur... hm...
wir hatten das noch nich so richtig mit dem "lnx"... das verwirrt mich total... :o/
0= 2x * (1 - lnx) - x
???
0= 2x - 2x * lnx - x
???
Bitte helft mir mal... ich weiß nich mehr weiter :o(
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> stimmt das erstmal so?
JA
>
> also müsst ich nun die Extrempunkte berechnen, ja?...
>
> d.h. ich müsste die 1. Ableitung Null setzen... nur...
> hm...
> wir hatten das noch nich so richtig mit dem "lnx"... das
> verwirrt mich total... :o/
>
> 2x * (1 - lnx) - x=0 | : (1-lnx)
2x =0
x= 0
>
> ???
>
> 0= 2x - 2x * lnx - x
>
> ???
>
> Bitte helft mir mal... ich weiß nich mehr weiter :o(
vielleicht kommst du so mal weiter?!
GRUß V MARLENE
>
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:19 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
Wenn du die beiden Teilen einer Gleichung durch einen Ausdruck mit x teilst, verlierst du die möglichen Lösungen. In diesem Fall muss man x ausklammern und die beiden Faktoren gleich 0 setzen.
x(1-2lnx) =0
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Hallo,
bis 0=2x-2x*lnx-x warst du ja schon
0=x-2x*lnx
0=x(1-2*lnx) ein Produkt ist gleich Null, wenn ein Faktor Null ist,
[mm] x_1=0
[/mm]
1-2*lnx=0
1=2*lnx
0,5=lnx in der 12 sollte ln kein Problem sein!!
[mm] x_2=1,649
[/mm]
jetzt bildest du die zweite Ableitung und überprüfst [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] ob Minimum oder Maximum, du kennst die Bedingungen,
Steffi
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Hallo Iduna,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Den maximalen Flächeninhalt Deines Dreieckes [mm] $A_{\max}$ [/mm] erhältst Du, wenn Du den x-Wert des Extremwertes [mm] $x_E$ [/mm] in die Flächenfunktion $A(x)_$ einsetzt: [mm] $A_{\max} [/mm] \ = \ [mm] A(x_E)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Iduna |
Bin jetzt wieder da!
Vielen vielen Dank an alle!
Habt mir sehr geholfen!
Hatte vorhin wohl echt nen Blackout, denn da hätt ich echt selber drauf kommen können ;o)
Aber dennoch vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße - Iduna
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 23.01.2007 | | Autor: | Iduna |
soo...
Also ich hatte nun gestern noch versucht das alles auszurechnen. Bin aber dummerweise wieder auf das ein oder andere kleine Problem gestoßen.
Also erstmal:
Beim Nullsetzen von der 1. Ableitung kam ja dann [mm] x_{1} [/mm] = 0 und für [mm] x_{2} [/mm] = 1,649 raus
Dann weiter:
f''(x) = - lnx
f''(0) = ? --> n.l.
f''(1,649) = - 0,5
so... das wäre ja dann nen Hochpunkt mit x= 1,649...
um y des HP's auszurechnen müsst ich x ja jetzt wieder in die Ausgangsgleichung einsetzen ne? also in A(x)= [mm] x^{2} [/mm] * (1 - lnx)
da würde dann aber 1,359 rauskommen und das haut irgendwie nich hin
hab mir das ja im koordinatensystem dargestellt und ja... demnach dürfte y nicht größer als ca. 1 sein ... ?!
als Flächeninhalt ( A= 1/2 * xr * f (xr) ) hätte ich dann 0,679 raus... aber da bin ich mir auch irgendwie nicht so sicher ob das stimmt...
Habt ihr vielleicht noch ne Idee?
wäre super!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Di 23.01.2007 | | Autor: | Mary15 |
> soo...
> Also ich hatte nun gestern noch versucht das alles
> auszurechnen. Bin aber dummerweise wieder auf das ein oder
> andere kleine Problem gestoßen.
>
> Also erstmal:
>
> Beim Nullsetzen von der 1. Ableitung kam ja dann [mm]x_{1}[/mm] = 0
> und für [mm]x_{2}[/mm] = 1,649 raus
>
> Dann weiter:
>
> f''(x) = - lnx
>
> f''(0) = ? --> n.l.
> f''(1,649) = - 0,5
>
> so... das wäre ja dann nen Hochpunkt mit x= 1,649...
> um y des HP's auszurechnen müsst ich x ja jetzt wieder in
> die Ausgangsgleichung einsetzen ne? also in A(x)= [mm]x^{2}[/mm] *
> (1 - lnx)
Was für eine Funktion ist das? Wenn die für Flächeninhalt, dann hast du 1/2 vorne vergessen.
> da würde dann aber 1,359 rauskommen und das haut irgendwie
> nich hin
Somit ist diese Zahl für deine Aufgabe ohne Bedeutung
>
> hab mir das ja im koordinatensystem dargestellt und ja...
> demnach dürfte y nicht größer als ca. 1 sein ... ?!
>
> als Flächeninhalt ( A= 1/2 * xr * f (xr) ) hätte ich dann
> 0,679 raus... aber da bin ich mir auch irgendwie nicht so
> sicher ob das stimmt...
>
das sieht gut aus!
> Habt ihr vielleicht noch ne Idee?
> wäre super!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 23.01.2007 | | Autor: | Iduna |
Hi du!
Naja, wollte eigentlich damit das y für den Hochpunkt ausrechnen. Aber mit der Formel A(x)= [mm] x^{2} [/mm] * (1 - lnx) kommt eben für y gleich 1,359 raus, aber das haut halt irgendwie nicht hin (lässt sich am Koordinatensystem erkennen).
Wie rechne ich das y denn sonst aus?
bzw. was ist sonst die Ausgangsgleichung?
hm, bin etwas verwirrt *g*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 23.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo iduna
Du kriegst 2 Ding durcheinander:
1. den Punkt auf der kurve f=x*(1-lnx) bei dem das dreieck maximal wird. dazu musst du dein x=1,6.. in f(x) einsetzen.
2. Den Wert des Flaecheninhalts des Dreiecks, dazu musst du x in A(x)=x*fx)/2 einsetzen.
Kommst du damit klar? soviel ich mich erinnere war nach dem 1. nicht gefragt?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Iduna |
Hallo leduart,
hat jetzt alles hingehaun. Danke dir nochmal für den Tipp
hatte da wohl irgendwas verwechselt ;)
Lg Iduna
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