Maximal l.u. Teilmenge bilden < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 25.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Man geben für folgende Teilmenge des [mm] \IQ^4 [/mm] eine maximale linear unabhängige Teilmenge an:
[mm] \{\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2},\vektor{0 \\ 1 \\ -4 \\ -1},\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ -2},\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\} [/mm] |
Hallo :)
Ich muss ja prüfen welche Vekoren linear unabhängig sind, nur wie gehe ich denn hier am Besten vor?
Indem ich mir einen Vektor raussuche, und versuche mit Hilfe eines LGS mit anderen auszudrücken?
Oder gibt es hier einen Trick?
Wäre sehr dankbar für Tipps :)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
ich könnte mir vorstellen, dass du dir erst mal die lin. Abhängigkeiten anschaust.
Der erste Vektor ist quasi dein Anfang.
Dann guckst du, ob der erste Vektor zum zweiten lin. abh. ist.
wenn das nicht der Fall ist, dann kannst du denn dritten mit den beiden lin. unabh. Vektoren v1 und v2 auf lin. Abh. testen.
Wenn du dann nachher z.B. zwei linear unabh. Vektoren hast und alle anderen sind zu den Beiden lin. abh., dann kannst du damit dann den span bilden.
Der Rest dürfte dann nicht allzu schwer sein.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 26.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Also ich hab nun mal folgendes geprüft:
[mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2}=x*\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2} [/mm] ---> linear unabhängig
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4 \\ -1}=x*\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2}+y*\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2} [/mm] ---> [mm] x=-\bruch{9}{6} [/mm] und y=-1
---> I, II, III sind linear abhängig
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ -2}=x*\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2}+y*\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2} [/mm] ---> linear unabhängig
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0}=x*\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2}+y*\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2}+z*\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
---> linear unabhängig
Somit wäre [mm] \IL=\{\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2},\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ -2},\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\}
[/mm]
Stimmt dies soweit?
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> Somit wäre [mm]\IL=\{\vektor{-2 \\ -2 \\ 2 \\ 2},\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ -2},\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ -2},\vektor{3 \\ 0 \\ 1 \\ 0}\}[/mm]
>
> Stimmt dies soweit?
Hallo,
nein, rechne mal nach: diese 4 Vektoren sind linear abhängig. Du hast Dich wohl im Vorfeld verrechnet - Dein Tun als solches war aber richtig, wenn auch, wie Du später gesehen hast, nicht die schnellste Methode.
(Es ist aber trotzdem gut, wenn man das ein paarmal so gemacht hat, weil man dabei "begreift", wie man zu solchen linear unabhängigen Teilmengen kommt, und daß es welche gibt.)
Gruß v. Angela
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Hey,
schreibe die Vektoren als Spaltenvektoren einfach in eine Matrix. Diese bringst du dann auf Zeilenstufenform. Die (ursprünglichen) Vektoren, die zu den Pivotelementen korrespondieren sind linear unabhängig.
Also, wenn du folgendes bekommst:
[mm] \pmat{ 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Dann ist der 1,2 und 4. Vektor, die du zu Beginn in die Matrix gesteckt hast, linear unabhängig.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 26.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Da komme ich dann auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -\bruch{3}{2} & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
ist das korrekt?
Das heißt dann, dass III und V linear abhängig sind, wenn ich dich richtig verstanden habe?
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> Das heißt dann, dass III und V linear abhängig sind:
Hallo,
sag's lieber [mm] anders:\{ I,II,IV\} [/mm] sind eine maximale unabhängige Teilmenge, und III und V sind von [mm] \{ I,II,IV\} [/mm] abhängig, dh. man kann sie als Linearkombination der drei schreiben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 29.10.2008 | | Autor: | kaktus |
Wenn ich dies ausrechne komme ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -4 & 6\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{8}{3} & -\bruch{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
würde das jetzt heißen, dass I, II, III eine maximale unabhängige Teilmenge sind ?? dann hätte ich ja aber was anders als Ergebniss als SirSmoke??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Mi 29.10.2008 | | Autor: | kaktus |
ok hat sich erübrigt wer rechnen kann ist klar im Vorteil ;)
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> Wenn ich dies ausrechne komme ich auf:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & -4 & 6\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{8}{3} & -\bruch{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> würde das jetzt heißen, dass I, II, III eine maximale
> unabhängige Teilmenge sind ??
Hallo,
ja. Wenn Du richtig gerechnet hast und dieses Ergebnis erhältst, weißt Du, daß der 1., 2. und 3. der Ursprungs(!)vektoren eine maximale linear unabhängige Teilmenge, also eine Basis des von den 5 Vektoren aufgespannten Raumes, bilden.
> dann hätte ich ja aber was
> anders als Ergebniss als SirSmoke??
Das wäre im Prinzip nicht so schlimm - Vektorräume haben i.d.R. ja mehrere Basen.
Aber ich gerate trotzdem etwas ins Grübeln: welches war denn die Matrix, mit der Du begonnen hast?
Wenn die nämlich in den Spalten die im Eingangspost vorgestellten Vektoren in genau dieser Reihenfolge enthielt, hast Du was falsch gerechnet, denn die sind linear abhängig.
Gruß v. Angela
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