Maximale Fläche eines Dreiecks < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^{4}-x^{2}+1
[/mm]
Berechne, welches von allen Dreiecken mit den Eckpunkten A(0|9), B(x|f(x)) und C(-x|f(-x)) mit f(x) [mm] \le [/mm] 9 maximalen Flächeninhalt hat. |
Hallo,
ich habe von der Funktion schon in den vorherigen Teilaufgaben alle wichtigen Punkte der Funktion bestimmt. Jetzt bleibe ich jedoch leider hier hängen.
Der Fächeninhalt des Dreiecks ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] g*h.
Die Spitze liegt bei A. Also ist die Höhe h=9-f(x) und [mm] \bruch{1}{2} [/mm] g = x
Daraus würde dann ja f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^{5}-x^{3}-8 [/mm] als Flächeninhaltsformel entstehen. Also müsste man hier das Maximum ausrechnen, da ich natürlich f(x) [mm] \le [/mm] 9 nicht beachtet habe, kam mir x= unendlich raus...
Bin ich bis jetzt mit meinen Überlegungen auf dem richtigen Weg?
Wenn ja, wie kann ich den Definitionsbereich in meine Rechnung integrieren?
Vielen Dank für die Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]\bruch{1}{4}x^{4}-x^{2}+1[/mm]
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> Berechne, welches von allen Dreiecken mit den Eckpunkten
> A(0|9), B(x|f(x)) und C(-x|f(-x)) mit f(x) [mm]\le[/mm] 9 maximalen
> Flächeninhalt hat.
> Hallo,
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> ich habe von der Funktion schon in den vorherigen
> Teilaufgaben alle wichtigen Punkte der Funktion bestimmt.
> Jetzt bleibe ich jedoch leider hier hängen.
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> Der Fächeninhalt des Dreiecks ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] g*h.
> Die Spitze liegt bei A. Also ist die Höhe h=9-f(x) und
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] g = x
>
> Daraus würde dann ja f(x)= [mm]\bruch{1}{4}x^{5}-x^{3}-8[/mm] als
> Flächeninhaltsformel entstehen. Also müsste man hier das
> Maximum ausrechnen, da ich natürlich f(x) [mm]\le[/mm] 9 nicht
> beachtet habe, kam mir x= unendlich raus...
>
> Bin ich bis jetzt mit meinen Überlegungen auf dem richtigen
> Weg?
> Wenn ja, wie kann ich den Definitionsbereich in meine
> Rechnung integrieren?
>
> Vielen Dank für die Mühe!
Hallo Superente,
dein Ansatz sieht sehr gut aus. Die Zielfunktion [mm] $A=\frac{1}{2}*g*h$
[/mm]
ist richtig, die Grundseite hast du als $g=2x$ auch richtig bestimmt und
die Höhe entspricht auch $9-f(x)$. Setzen wir das zusammen, so erhalten wir
[mm] $A=\frac{1}{2}*2x*(9-(\bruch{1}{4}x^{4}-x^{2}+1))$
[/mm]
[mm] $=x*(9-(\bruch{1}{4}x^{4}-x^{2}+1)$
[/mm]
[mm] $=-x(\bruch{1}{4}x^{4}-x^{2}-8)$
[/mm]
[mm] $=-\bruch{1}{4}x^{5}+x^{3}+8x$
[/mm]
Du siehst, dass unsere Flächenfunktionen sich im Vorzeichen unterscheiden,
dies ist der Fall, da du wahrscheinlich mit $h=f(x)-9$ und nicht mit $h=9-f(x)$
gerechnet hast, das ist aber kein großes Problem; allerdings werden deine
Maxima zu Minima und andersrum, da die Flächenfunktion im Prinzip an der
$x$-Achse gespiegelt wird.
Nun frage ich mich, wie du zu deinen Maxima gekommen bist,
wenn ich es richtig sehe, hast du wegen oben genannter Gründe nur Minima
ermittelt und dich dann geärgert, dass kein Maxima erreicht wurde. Wenn du
die "neue" Funktion betrachtest, solltest du bei $x [mm] \approx [/mm] 1,6$ ein Maximum
entdecken, also an der gleichen Stelle wie vorhin das Minimum.
Wenn du dir die Kurve jetzt anguckst, stellst du fest, dass sie aus der Unendlichkeit
kommt, bei $x [mm] \approx [/mm] 1,6$ ein relatives Maximum hat und dann in die negative
Unendlichkeit verschwindet.
Gruß
Nicolas
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Oh man... Das sind Gründe um mit dem Kopf gegen den Tisch zu schlagen...
Aber: Vielen Dank für die Antwort!!!
[mm] f(x)=-\bruch{1}{4}x^{5}+x^{3}+8x
[/mm]
[mm] f'(x)=-\bruch{5}{4}x^{4}+3x^{2}+8
[/mm]
Substitution:
[mm] f'(xe)=-\bruch{5}{4}z^{2}+3z+8
[/mm]
[mm] f'(xe)=-\bruch{5}{4}z^{2}+3z+8=0
[/mm]
[mm] \gdw f'(xe)=z^{2}-\bruch{12}{5}z-\bruch{32}{5}=0
[/mm]
PQ-Formel:
...
z1 = [mm] -\bruch{8}{5} [/mm] v z2 = 4
So um jetzt die Substituion rückgängig zu machen, muss ich die Wurzel ziehen, das heißt:
x1= geht nicht da negativer Betrag unter der Wurzel?
x2= geht nicht da negativer Betrag unter der Wurzel?
x3=2 [mm] \not= \approx [/mm] 1,6
x4=-2 [mm] \not= \approx [/mm] 1,6
erm... wo ist jetzt mein dummer Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Superente,
deine Lösung ist vollkommen richtig, ich habe gerade nachgerechnet, ich könnte jetzt behaupten $1,6 [mm] \approx [/mm] 2$, werde ich
aber nicht. Habe mir die Funktion zunächst nur schnell plotten lassen und der Plotter hatte mich missverstanden.
Ich denke, dass jetzt alles klar ist.
Gruß
Nicolas
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