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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,..,X_n [/mm] , n [mm] \in [/mm] IN, unabhängige und gleichverteilte Zufallsvariablen auf der Menge {a-5,...,a+5} für ein festes, aber unbekanntes a [mm] \in [/mm] Z. Gib ein passendes statistisches Modell untersuche, ob
[mm] T_n(x_1,...,x_n) =\bruch{max_{k=1,...,n}x_k+min_{k=1,...,n}x_k}{2}
[/mm]
Um den Bruch sollte noch die obere Gauß-Klammer, wich weiß allerdings nicht, wie man die macht.
ein Maximum-Likelihood-Schätzer für a ist. |
Hallo,
Es müsste doch X= [mm] {a-5,...,a+5}^n [/mm] der Bildraum sein , oder? Und die Verteilungsklasse [mm] (GL_{ { a-5,...a+5 } } [/mm] )
Wie gehe ich vor, um zu untersuchen, ob [mm] T_n [/mm] Maximum-Likelihood-Schätzer ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Um den Bruch sollte noch die obere Gauß-Klammer, wich
> weiß allerdings nicht, wie man die macht.
[mm] $\lceil [/mm] x [mm] \rceil$ ([nomm]$\lceil [/mm] x [mm] \rceil$[/nomm])
[/mm]
bzw.
[mm] $\left\lceil \frac{x}{y} \right\rceil$ ([nomm]$\left\lceil \frac{x}{y} \right\rceil$[/nomm])
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 12.07.2014 | | Autor: | luis52 |
>
> Wie gehe ich vor, um zu untersuchen, ob [mm]T_n[/mm]
> Maximum-Likelihood-Schätzer ist?
Moin, indem du den oder die ML-Schaetzer bestimmst und pruefst, ob [mm] $T_n$ [/mm] dazu gehoert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich habe zurzeit dieselbe Aufgabe zu bearbeiten. Deshlab: wie geht man dazu vor? Und wie stellt man in diesem Fall das Statistische Modell auf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 So 13.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ich habe zurzeit dieselbe Aufgabe zu bearbeiten. Deshlab:
> wie geht man dazu vor?
Indem man in seine (Vorlesungs-)Unterlagen schaut.
> Und wie stellt man in diesem Fall
> das Statistische Modell auf?
Das wurde doch schon genannt: Eine diskrete Gleichverteilung $GL(a-5,a+5)$ mit [mm] $a\in\IZ$.
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:31 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Da steht aber leider nur die Definition. Mehr nicht. Deshlab wäre ein Ansatz nicht schlecht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 13.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Und wie stellt man in diesem Fall das Statistische Modell auf?
Meinst du vielleicht die Likelihoodfunktion? Stell dir vor, es werden die Werte $2,1,2,4,6$ beobachtet. Kann dann $a=-1$ sein? Wenn ja, wie gross ist die Wsk dafuer, dass sich diese Stichprobe realisiert? Dito fuer $a=1$ usw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Dann noch mal ganz konkret gefragt: Wie gehe ich in diesem Fall vor um die Likelihood-Funktion zu bestimmen? Da ich das noch nie gemacht habe, wäre ich sehr dankbar für eine ausführliche Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 So 13.07.2014 | | Autor: | Fry |
Die Likelihoodfunktion L ist durch [mm]
L:a \mapsto P_a(X_1=x_1,...,X_n=x_n)=\prod_{i=1}^{n}P_a(X_i=x_i)
[/mm] gegeben,
wobei [mm]x_1,...,x_n[/mm] feste Werte/Realisierungen von [mm]X_1,...,X_n[/mm] seien sollen,
Wie lautet denn die Wahrscheinlichkeitsverteilung [mm]P(X_1=k)[/mm] mit [mm]k\in\{a-5,...,a+5\}[/mm] für eine auf [mm]\{a-5,...,a+5\}[/mm] gleichverteilte Zufallsgröße [mm] $X_1$?
[/mm]
Wenn du das hast, kannst du $k$ durch [mm] $x_i$ [/mm] ersetzen und oben rechts einsetzen.
Vg,
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 13.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Es müsste doch [mm] P(X=k)=\bruch{1}{11} [/mm] sein für jedes k, oder? Also einfach die Differenz der Intervallgrenzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 13.07.2014 | | Autor: | Fry |
Genau!
Dann ist [mm]L(a)=\frac{1}{11^n}[/mm] für [mm]a-5\le x_1,...,x_n\le a+5[/mm]
Das Prinzip der ML-Schätzung ist es nun die Funktion L zu maximieren (auf Grundlage der gegebenen Stichprobe [mm]x_1,...,x_n[/mm])! Diejenige Stelle, an der nun L global maximal wird, ist die ML-Schätzung für den Parameter a.
Diese Stelle hängt dann von [mm]x_1,...,x_n[/mm] ab.
Nun können wir die obige Bedingung [mm]a-5\le x_1,...,x_n\le a+5[/mm] noch umformen
[mm]a-5\le x_1,...,x_n\le a+5 \gdw max_{1\le i\le n}x_i\le a+5 \textrm{ und } min_{1\le i\le n}x_i \ge a-5[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]a\ge max_{1\le i\le n}x_i-5[/mm] und
[mm]a\le min_{1\le i\le n}x_i+5[/mm]
Nun ist L also außerhalb dieses Bereiches =0, aber innerhalb ist L konstant.
D.h. L nimmt an jeder Stelle [mm]a\in\{\max x_i -5,....,min x_i+5\}[/mm] ein absolutes Maximum an. Jeder ganzzahliger Wert aus diesem Bereich ist also eine ML-Schätzung
und damit auch [mm]a=\left\lceil\frac{1}{2}({\max x_i-5+\min x_i+5})\right\rceil[/mm] Also ist [mm] $T(X_1,...,X_n):=\left\lceil\frac{1}{2}({\max X_i-5+\min X_i+5})\right\rceil$ [/mm] ein ML-Schätzer für a.
VG,
Fry
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