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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 01.02.2007 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | | Bei einem Züchtungsexperiment treten die drei Genotypen DD, Dd und dd mit den Wahrscheinlichkeiten [mm]p^2[/mm], [mm]2p(1-p)[/mm] und [mm](1-p)^2[/mm] auf. Bei n unabhängigen Durchführungen dieses Experiments traten diese Genotypen [mm] n_1, n_2 [/mm] bzw. [mm] n_3 [/mm] mal auf [mm] (n_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] + [mm] n_3 [/mm] = n). Bestimmen Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für den Parameter p. |
Hallo allerseits!
Zur Klausurvorbereitung habe ich mich an diese Aufgabe (aus einer alten Klausur) gesetzt. Leider hänge ich aber schon dabei fest, die Likelihood-Funktion zu bestimmen, bzw. ich bin mir etwas unsicher ... :-(
Es wäre super, wenn mir jmd. ein bisschen auf die Sprünge helfen könnte.
Für einen einzelnen Genotyp, z.B. DD, gilt ja:
[mm]P(X_{DD} = n_1) = (p^2)^{n_1} * (1-p^2)^{n-n_1}[/mm]
also die geometrische Verteilung. Andererseits sind die Zufallsvariablen [mm] X_{DD}, X_{Dd} [/mm] und [mm] X_{dd} [/mm] ja nicht unabhängig ... deshalb müsste doch eigentlich die Likelihood-Funktion diese sein, oder??
[mm]L(n_1, n_2, n_3; p) = (p^2)^{n_1} * (2p(1-p))^{n_2} * ((1-p)^2)^{n_3}[/mm]
Das ist eher intuitiv "hergeleitet" ... Sollte die Funktion richtig sein, wie kann ich die formal sauber aus der geometrischen Verteilung herleiten? (Falls das überhaupt nötig ist.)
Ich habe dann einfach mal mit obiger Fkt. weitergerechnet, d.h. Maximum bestimmen (Loglikelihood ableiten, Nullstellen bestimmen, ...) und erhalte nach einiger Rechnerei:
[mm]p = \bruch{2n_1 + n_2}{2(n_1 + n_2 + n_3)}[/mm]
Ist das denn soweit schon mal korrekt?
Es wäre toll, wenn mir jemand damit helfen könnte. Ich habe mir natürlich schon diverse Skripts und Internetseiten zu dem Thema angesehen, aber der totale Durchblick war mir bis dato nicht vergönnt. 
Viele Grüße,
Carsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 01.02.2007 | | Autor: | smee |
Ergänzung:
Sorry, ich hab da bei der ersten Formel etwas geschludert ...
Das ist erstmal keine geometrische Verteilung, sondern eine Binomialverteilung für [mm]X_{DD}[/mm] (so ich nicht irre), und es fehlt dann natürlich der Binomialkoeffizient ...
[mm]P(X_{DD} = n_1) = \vektor{n \\ n_1} (p^2)^{n_1} \cdot{} (1-p^2)^{n-n_1}[/mm]
Das Problem bleibt aber das Gleiche ... wie komme ich von dort zur Likelihood-Funktion? ... *grübel*
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Hallo smee,
also die Aufgabe ist an sich gar nicht so schwierig. Man rechnet hier im Prinzip analog zur Binomialverteilung, nur das man hier einen Multinomialkoeffizienten hereinbekommt. Sei [mm] X_{1}= [/mm] #1 und [mm] X_{2}= [/mm] #2. Man betrachtet in der Formel nur [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{2}, [/mm] da sich [mm] n_{3} [/mm] ja aus beiden ergibt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit (Warum?) ist dann
[mm] P_{\theta}(X_{1}=n_{1} [/mm] und [mm] X_{2}=n_{2})=\vektor{n \\ n_{1},n_{2}}*(\theta^{2})^{n_{1}}*(2\theta(1-\theta))^{n_{2}}*((1-\theta)^{2})^{n-n_{1}-n_{2}}
[/mm]
Um den ML-Schätzer zu berechnen einfach logarithmieren und anschließend ableiten, =0 setzen, die zweite Ableitung überprüfen, ob ein Maximum vorliegt (wie in einer Kurvendiskussion)! Das schaffst du nun allein. Das Ergebnis lautet [mm] \theta=\bruch{2n_{1}+n_{2}}{2n}.
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 01.02.2007 | | Autor: | smee |
Hallo Daniel!
Super! Die Multinomialverteilung gibt's ja auch noch ... die hatte ich ganz vergessen
Vielen Dank, hast mir sehr geholfen.
Gruß,
Carsten
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