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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Sie verfügen über eine exponentialverteilte Stichprobe von Werten [mm] y_{i}, i=1,\ldots,n, [/mm] bei der alle Werte [mm] y_{i}<1 [/mm] vorher systematisch eliminiert wurden (sog. Stutzung der Stichprobe). Bekannt als Stichprobeninformation sind der Mittelwert [mm] \overline{y}=2 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}y_{i}=20. [/mm] Die Verteilungsfunktion der Exponentialfunktion ist durch [mm] F(y)=1-e^{-\theta{y}} [/mm] und die Dichtefunktion durch [mm] f(y)=\theta{e^{-\theta{y}}} [/mm] gegeben.
a) Stellen Sie die Dichtefunktion [mm] f(y|y>1)=\bruch{f(y)}{Pr(y>1)} [/mm] der gestutzten Exponentialverteilung auf.
b) Zeigen Sie, dass die Loglikelihood-Funktion durch [mm] ln{L(\theta)}=n*(ln{\theta}-\theta(\overline{y}-1)) [/mm] gegeben ist.
c) Leiten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \theta [/mm] ab und bestimmen Sie den Wert von [mm] \hat{\theta} [/mm] für die obigen Stichprobeninformationen.
d) Berechnen Sie die Varianz von [mm] \hat{\theta}.
[/mm]
e) Testen Sie die Nullhypothese [mm] H_{0}:\theta=2 [/mm] mit Hilfe des Likelihood-Ration-Tests und des Wald-Tests für die Signifikanzniveaus 1% und 5%. Geben Sie eine verbale Interpretation der Testergebnisse. |
Hallo zusammen!
Zunächst möchte ich gerne den Aufgabenteil b) besprechen. Mein Lösungsansatz lautet diesbezüglich wie folgt:
Die Dichtefunktion lautet
[mm] f(y)=\theta{e^{-\theta{y}}}.
[/mm]
Daraus ergibt sich die Likelihood-Funktion zu
[mm] L(\theta|y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}f(y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}\vektor{\theta{e^{-\theta{y_{i}}}}}=\theta^{n}*e^{-\theta{n}*\summe_{i=1}^{n}y_{i}}
[/mm]
Durch Logarithmieren ergibt sich aus der vorangehenden Gleichungen die Loglikelihood-Funktion zu
[mm] ln{L}=n{ln(\theta)}-\theta{n}*\summe_{i=1}^{n}y_{i}=n\vektor{{ln(\theta)}-\theta*\summe_{i=1}^{n}y_{i}}=n\vektor{{ln(\theta)}-\theta{n}\overline{y}}.
[/mm]
Dieses Ergebnis stimmt offensichtlich nicht mit der angegebenen Loglikelihood-Funktion überein. Was habe ich möglicherweise übersehen, bzw. was habe ich falsch gemacht?
Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Marcel08 |
In diesem Post würde ich gerne einen sinnvollen Ansatz zu Aufgabenteil a) erreichen. Da Statistik bei mir schon lange zurückliegt, muss ich teilweise nochmal recht elementare Zusammenhänge erfragen. Zunächst interessiert mich der Ausdruck Pr(y>1).
Ist die folgende Gleichung
[mm] Pr(y>1)={F(y)}=\integral_{1}^{\infty}{f(y) dy}=\theta\integral_{1}^{\infty}{{e^{-\theta{y}}}dy}=e^{-\theta}
[/mm]
daher korrekt oder völliger Blödsinn? Man bekäme dann für den gesuchten Ausdruck
[mm] f(y|y>1)=\bruch{f(y)}{Pr(y>1)}=\bruch{\theta{e^{-\theta{y}}}}{e^{-\theta}}=\theta{e^{\theta(1-y)}}.
[/mm]
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
> In diesem Post würde ich gerne einen sinnvollen Ansatz zu
> Aufgabenteil a) erreichen. Da Statistik bei mir schon lange
> zurückliegt, muss ich teilweise nochmal recht elementare
> Zusammenhänge erfragen. Zunächst interessiert mich der
> Ausdruck Pr(y>1).
>
>
> Ist die folgende Gleichung
>
> [mm]Pr(y>1)={F(y)}=\integral_{1}^{\infty}{f(y) dy}=\theta\integral_{1}^{\infty}{{e^{-\theta{y}}}dy}=e^{-\theta}[/mm]
Richtig ist [mm] Pr(y>1)=1-Pr(y<1)=1-F(1)=1-(1-e^{-\theta)}=e^{-\theta}
[/mm]
> daher korrekt oder völliger Blödsinn? Man bekäme dann
> für den gesuchten Ausdruck
>
> [mm]f(y|y>1)=\bruch{f(y)}{Pr(y>1)}=\bruch{\theta{e^{-\theta{y}}}}{e^{-\theta}}=\theta{e^{\theta(1-y)}}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich hätte es nur so geschrieben
[mm] f(y|y>1)=\bruch{f(y)}{Pr(y>1)}=\bruch{\theta{e^{-\theta{y}}}}{e^{-\theta}}=\theta{e^{-\theta(y-1)}}
[/mm]
> Viele Grüße, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Marcel08 |
Nachfolgend noch meine Lösungsvorschläge zu den Aufgabenteilen c) bis e):
Aufgabenteil c):
Die Loglikelihood-Funktion aus Aufgabenteil b) lautet
[mm] ln{L(\theta)}=n*(ln{\theta}-\theta(\overline{y}-1)).
[/mm]
Durch Bildung der partiellen Ableitung nach dem Parameter [mm] \theta [/mm] ergibt sich
[mm] \bruch{\partial{ln{L(\theta)}}}{\partial{\theta}}=\bruch{n}{\theta}-n(\overline{y}-1).
[/mm]
Durch Nullsetzen der Ableitung erhält man
[mm] \bruch{\partial{ln{L(\theta)}}}{\partial{\theta}}=0\gdw\hat\theta=\bruch{1}{\overline{y}-1}=1 [/mm] (An dem Quelltext für das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen wäre ich auch interessiert, vielen Dank!).
Aufgabenteil d):
Für die Varianz hat man
[mm] Var(\hat\theta)=-E(H(\hat{\theta)})^{-1}, [/mm] mit [mm] H(\hat\theta)=\bruch{\partial^{2}ln(L)}{\partial\theta^{2}}=-\bruch{n}{\theta^{2}}
[/mm]
Es ergibt sich
[mm] Var(\hat\theta)=E\vektor{\bruch{\theta^{2}}{n}}=\bruch{\theta^{2}}{n}=0,1
[/mm]
Aufgabenteil e):
1.) Likelihood-Ratio-Test: [mm] LR=2(ln{L(\hat\theta)}-ln{L(\vec\theta)})=6,137, [/mm] wobei [mm] \vec\theta [/mm] hier den restringierten Schätzer darstellen soll.
2.) Wald-Test: [mm] W=r(\hat\theta)^{T}*(R(\hat\theta)V(\hat\theta)R(\hat\theta)^{T})^{-1}r(\hat\theta), [/mm] wobei [mm] \bruch{\partial{r(\hat\theta)}}{\partial\theta}=R(\hat\theta) [/mm] und [mm] r(\hat\theta)=\hat\theta-\theta_{0}. [/mm] Man erhält: [mm] W=(-1)*\vektor{(-2)*0,1*(-2)}^{-1}(-1)=2,5
[/mm]
Zu LR-Test und Wald-Test:
[mm] \chi^{2}_{0,95}(1)=3,841\Rightarrow{W}<\chi^{2}_{0,95}(1)
[mm] \chi^{2}_{0,99}(1)=6,635\Rightarrow{W}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
Teil c und d sind
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 So 05.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst mit der Dichtefunktion der gestutzten Exponentialverteilung rechnnen, also mit
[mm] f\left(y|y>1\right)=\bruch{f(y)}{Pr(y>1)}
[/mm]
[mm] Pr(y>1)=1-Pr(y<1)=1-F(1)=e^{-\theta}
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] L\left(\theta|y_{i}\right)=\produkt_{i=1}^{n}\bruch{f(y_{i})}{e^{-\theta}}=\theta^ne^{n\theta}e^{-\theta*n*\overline{y}}
[/mm]
NB: Du hattest in der folgenden Berechnung noch einen Fehler
[mm] L(\theta|y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}f(y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}\vektor{\theta{e^{-\theta{y_{i}}}}}=\theta^{n}\cdot{}e^{-\theta{n}\cdot{}\summe_{i=1}^{n}y_{i}}
[/mm]
Richtig ist
[mm] L(\theta|y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}f(y_{i})=\produkt_{i=1}^{n}\vektor{\theta{e^{-\theta{y_{i}}}}}=\theta^{n}\cdot{}e^{-\theta\cdot{}\summe_{i=1}^{n}y_{i}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 So 05.01.2014 | | Autor: | Marcel08 |
Alles klar, vielen Dank!
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