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| Aufgabe | Für festes und bekanntes [mm] $n\in\IN$ [/mm] betrachten wir das statistische Modell
[mm] (\{0,1,...,n\},\mathfrak{P}(\{0,1,...,n\}),B_{n,p}:p\in(0,1)),
[/mm]
den eindimensionalen Stzichprobenvektor X sowie den folgenden Schätzer für p:
[mm] $T_1(x):=\bruch{x}{n}$$, x\in\{0,1,...,n\}$.
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass [mm] T_1 [/mm] der Maximal Likelihood-Schätzer für p ist. |
Ich bräuchte mal einen Tipp, wie ich das machen soll.
Habe leider keine Ahnung? Kann mir jemand nen Ansatz verraten, wie ich an das Problem rangehe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Mi 13.07.2011 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
hier im Forum wird darauf geachtet, dass man eigene Bemühungen zeigt.
Schau erstmal nach, wie der Maximum-Likelihood Schätzer definiert ist, zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier im Abschnitt Definition
Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 15.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
wir hatten da gerade einen Thread zu diesem Thema:
https://matheraum.de/read?i=809981
https://matheraum.de/read?i=810638
LG
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Die o.a. Links passen doch nur Bedingt, da es in meiner Aufgabe doch um die Bernoullieverteilung geht.
Ich hab das so gemacht:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(P(x=1))^{x_i}*(P(x=0))^{n-x_i} [/mm] soll maximal sein.
dazu muss ich die Ableitung berechnen
[mm] \bruch{\partial log(x_1,...,x_n;p)}{\partial p}=x_i\bruch{1}{p}-(n-x_i)\bruch{1}{1-p} [/mm] für i={1,...,n}
Da der Schätzer für i=1 gesucht ist, kann ich das einsetzen
[mm] $x\bruch{1}{p}-(n-x)\bruch{1}{1-p}=0
[/mm]
[mm] x\bruch{1}{p}=(n-x)\bruch{1}{1-p}
[/mm]
[mm] x=\bruch{p(n-x)}{1-p}
[/mm]
x(1-p)=pn-px
x-px=pn-px
x=pn
[mm] p=\bruch{x}{n}$
[/mm]
Damit hätte ich das doch gezeigt, oder??
Nur wie zeige ich, dass [mm] T_1 [/mm] erwartungstreu für p ist?
Lt. Def. wäre [mm] \mathbb{E}^p[T_1(x)]=p
[/mm]
Wenn ich das einsetze bekomme ich:
[mm] \mathbb{E}^p[\bruch{x}{n}]=\mathbb{E}^p*\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{1}x_i
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{1}\mathbb{E}^p*x_i
[/mm]
Der Erwartungswert der Bernoullie Verteilung ist [mm] \mathbb{E}(X)=p
[/mm]
dann setz ich das ein:
[mm] =\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{1}p*x_i
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}*p*x
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{n}*\bruch{x}{n}*x
[/mm]
[mm] =\bruch{x^2}{n^2}
[/mm]
Das kann doch irgendwie nicht stimmen, oder??
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> Die o.a. Links passen doch nur Bedingt, da es in meiner
> Aufgabe doch um die Bernoulliverteilung geht.
Habe ich deine Notation missverstanden ?
Ich bin von einem Bernoulli-Experiment ausgegangen, bei
welchem n Einzelversuche, jeder einzelne mit Trefferwahr-
scheinlichkeit p gemacht werden. Die betrachtete Zufalls-
größe ist die Anzahl X der Treffer in n Einzelversuchen.
Nach Wikipedia:
Ein Spezialfall der Binomialverteilung für n = 1 ist die
Bernoulli-Verteilung. Die Summe von unabhängigen und
identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt
demnach der Binomialverteilung.
Hast du eine andere Versuchsanordnung vor Augen ?
LG Al-Chw.
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Nein, ich denke nicht.
Was sagst Du denn zu dem Rest? Ist das richtig?
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Hallo,
die Versuchsanordnung soll ja so aussehen, das ich n-mal in eine Urne mit $n$ roten und weißen Kugeln reingreife(mit Zurücklegen), und mir $X$ die Anzahl der dabei gezogenen roten Kugeln angeben soll.
Jedes einzelne Ziehen ist dann ein Bernoulli-Experiment(rot oder nicht rot), $X$ ist dann als Summe von unabhängigen bernoullli-verteilten Zufallsvariablen binomialverteilt.
So versteh ich das.
Das mit dem Maximumlikelihood- Schätzer ist ein bisschen kompliziert aufgeschrieben, aber richtig.
Jetzt zur Erwartungstreue. Du hast als Schätzer [mm] $T_{1}(X)=\frac{X}{n}$. [/mm] Dabei ist $X [mm] \sim [/mm] B(n,p)$ also ist [mm] $E(X)=n\cdot [/mm] p$
Jetzt du: [mm] $E(T_{1}(X))=\hdots$
[/mm]
Viele Grüße
Blasco
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> Hallo,
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> die Versuchsanordnung soll ja so aussehen, das ich n-mal in
> eine Urne mit [mm]n[/mm] roten und weißen Kugeln reingreife(mit
> Zurücklegen), und mir [mm]X[/mm] die Anzahl der dabei gezogenen
> roten Kugeln angeben soll.
> Jedes einzelne Ziehen ist dann ein Bernoulli-Experiment(rot
> oder nicht rot), [mm]X[/mm] ist dann als Summe von unabhängigen
> bernoullli-verteilten Zufallsvariablen binomialverteilt.
>
> So versteh ich das.
>
> Das mit dem Maximumlikelihood- Schätzer ist ein bisschen
> kompliziert aufgeschrieben, aber richtig.
>
> Jetzt zur Erwartungstreue. Du hast als Schätzer
> [mm]T_{1}(X)=\frac{X}{n}[/mm]. Dabei ist [mm]X \sim B(n,p)[/mm] also ist
> [mm]E(X)=n\cdot p[/mm]
>
> Jetzt du:
[mm]E(T_{1}(X))=\hdots[/mm][mm] =\mathbb{E}[\bruch{X}{n}]=\bruch{n*p}{n}=p
[/mm]
Jetzt richtig?
>
> Viele Grüße
> Blasco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, somit hast du das ja gezeigt. Der Erwartungswert des Schätzers ist gleich dem zu schätzenden Parameter, also hast du Erwartungstreue.
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| Aufgabe | | iii) wie groß muss n sein, damit die [mm] \mathbb{V}^p[T_1(X)] [/mm] des Schätzers [mm] T_1 [/mm] für alle [mm] p\in(0,1) [/mm] kleiner als =0.001 ist? |
Ich kenn die Formel [mm] \mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[X]^2-(\mathbb{E}[X])^2
[/mm]
Für meine Aufgabe bedeutet das,
[mm] \mathbb{E}[T_1(X)]^2-(\mathbb{E}[T_1(X)])^2<0.001
[/mm]
muss ich das jetzt nur einsetzen und ausrechnen?
Muss n dann in abhängigkeit von X ausgerechnet werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Für die Varianz der Binomialverteilung kennst du doch sicher auch die Formel Var(X)=np(1-p). Nimm die einfach!
Dann fängst du mit [mm] $Var(\frac{X}{n})<0,001$ [/mm] an und bekommst so etwas wie [mm] p^2+ap+b>0 [/mm] raus. Dann musst du also schauen, ab welchem n die Parabel immer > ist (also die Parabel keine Nullstellen besitzt).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mo 18.07.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wenn ich Teufels Beitrag recht verstehe, wird man ein $n_$ in Abhaengigkeit von *einem* $p_$ erhalten. Der Aufgabenstellung gemaess soll dieser Wert aber so gross gewaehlt werden, dass die Ungleichungfuer *alle* $p_$ gilt.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 19.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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