Maximum einer Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 So 26.02.2006 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Menge auf Beschränktheit und bestimmen sie Infimum, Supremum, Minimum, Maxium (sofern diese existieren):
[mm]M_1:=\{x\in (-\infty, 0]:(x+1)*(2-x)<0\}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
oben genannte Aufgabe wurde bereits vor längerem in einerm Übung gerechnet und besprochen. Nun rechne ich diese zur Klausurvorbereitung erneut, und verstehe folgendes nicht:
[mm] M_1:=(-\infty,-1] \notin (-\infty,0] [/mm]
[mm] \Rightarrow \sup(M_1)=-1\notin M_1[/mm]
Dass das Supremum -1 ist, ist mir klar, nur ich verstehe nicht, warum -1 nicht Element des Intervall [mm](-\infty,0][/mm], und somit kein Maximum ist.
Kan mir das einer erklären?
Vielen Dank
F22
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 26.02.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Untersuchen sie folgende Menge auf Beschränktheit und
> bestimmen sie Infimum, Supremum, Minimum, Maxium (sofern
> diese existieren):
>
> [mm][mm]M_1:=\{x\in (-\infty, 0]:(x+1)*(2-x)<0\}[/mm][/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
> Hallo Leute,
> oben genannte Aufgabe wurde bereits vor längerem in einerm Übung gerechnet und besprochen. Nun rechne ich diese zur
> Klausurvorbereitung erneut, und verstehe folgendes nicht:
> [mm]M_1:=(-\infty,-1] \notin (-\infty,0][/mm]
> [mm]\Rightarrow \sup(M_1)=-1\notin M_1[/mm]
> Dass das Supremum -1 ist, ist mir klar, nur ich verstehe nicht, warum -1 nicht Element des Intervall [mm](-\infty,0][/mm], und > somit kein Maximum ist.
Also deine Notation ist für mich schon etwas ungewöhnlich. Was meinst du mit [mm]M_1:=(-\infty,-1] \notin (-\infty,0][/mm] ?
Es ist ja klar, dass im INtervall $- [mm] \infty$ [/mm] und 0 nur die Zahlen kleiner -1 die Bedingung erfüllen. Also ist z.: -0,5 eine obere Schranke. Die kleinste obere Schranke ist -1 (das ist die Definition vom Supremum), denn es gibt keine obere Schranke die kleiner als -1 ist. Nun muss man das Supremum noch einmal untersuchen. Ist es vielleicht ein Maximum? Dann muss man schauen, ob sie die gesuchte Eigenschaft hat.
1. Sie liegt im Intervall $- [mm] \infty$ [/mm] und 0.
aber sie erfüllt nicht die Zusatzbedingung, weil (-1+1)*(2-(-1)) = 0*3 = 0 ist, aber nicht kleiner 0!
Also ist -1 selbst nicht Element der Menge, dere Supremum sie ist. Also kein Maximum!
Gruß Micha 
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