Maximum und Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Di 17.07.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo,
bestimme Maximum und Minimum der Funktion f(x,y) = xy unter der Nebenbedingung [mm] x^4-x^2+y^2-1=0
[/mm]
also die Funktion muss ja auf dem Rand die beiden Extrema haben, da sie wenn x,y posi und x,y nega immer nur zunimmt und wenn x oder y nega nur abnimmt
jetzt ist die nebenbedingung [mm] y^2 [/mm] = [mm] -x^4+x^2+1 [/mm] also y = [mm] \pm \wurzel{x^2-x^4+1} [/mm]
so jetzt kann ich [mm] f(x,\pm \wurzel{x^2-x^4+1} [/mm] ) ableiten und Extremwert herausfinden.
so weit so gut aber wie parametrisiere ich x ???
oder muss ich hier mit Langrange Multiplikatoren arbeiten?
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Hallo vivo!
Du hast recht versuch es mit Lagrange
[mm] L=x*y+\lambda*(x^4-x^2+y^2-1). [/mm] L ist die Lagrange Funktion
L partiell ableiten nach x ergibt: [mm] y+\lambda*(4*x^3-2*x)=g1
[/mm]
L partiell ableiten nach y ergibt: [mm] x+\lambda*(2*y)=g2
[/mm]
L partiell ableiten nach [mm] \lambda [/mm] ergibt: [mm] x^4-x^2+y^2-1=g3
[/mm]
g1=0 und g2=0 und g3=0 als Gleichungssystem lösen
Hoffe das ich helfen konnte.
Grüße Martha.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 17.07.2007 | | Autor: | vivo |
mh ok also ich komm da leider nicht weiter! wie lös ich denn das system g1=0 g2=0 g3=0 und warum brauch ich überhaupt g3 denn
es muss doch eigentlich nur [mm] \nabla [/mm] f(x,y) + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \nabla (x^4-x^2+y^2-1) [/mm] = 0
sein oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Di 17.07.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
g3 ist die Neb3enbedingung; die sollte schon eine Rolle spielen.
Beim Gleichungssystem werden wohl Fallunterscheidungen nötig sein (um Division durch 0 zu verhindern)
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 17.07.2007 | | Autor: | vivo |
ja aber wie lös ich denn so ein gleichungsystem? ich weiß echt nicht wie ich da ran gehen soll, vorallem wenn das gls dann gelöst ist, dann bekomm ich was? die x und y werte die als extremwerte in Frage kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 18.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo vivo,
ein solches Gleichungssystem wird gelöst durch sukzessives Auflösen nach einer Variablen und Einsetzen.
Wir haben:
(1) [mm]y+\lambda*(4*x^3-2*x)=0 [/mm]
(2) [mm]x+\lambda*(2*y)=0[/mm]
(3) [mm]x^4-x^2+y^2-1=0[/mm]
Die einfachste der Gleichungen ist (2), da bietet es sich an, sie nach x aufzulösen:
[mm]x = - 2\lambda*y[/mm]
und dieses x in die anderen beiden einzusetzen:
(1') [mm]y-32 \lambda^4 y^3 +4 \lambda^2 y = 0[/mm]
(3') [mm]16\lambda^4 y^4 - 4 \lambda^2 y^2 +y^2 -1 = 0[/mm]
Die Gleichung (1') lässt sich schreiben als [mm]y(-32 \lambda^4 y^2 +4 \lambda^2 +1 ) = 0[/mm], woraus sich die drei möglichen Auflösungen [mm]y_1=0[/mm], [mm]y_2=\bruch{\sqrt{4\lambda^2+1}}{4\sqrt{2}\lambda^2}[/mm], [mm]y_3=-\bruch{\sqrt{4\lambda^2+1}}{4\sqrt{2}\lambda^2}[/mm] ergeben. Diese kann man der Reihe nach in (3') einsetzen (Fallunterscheidung).
Für den Fall [mm]y_1=0[/mm] erhält man aus (3') den Widerspruch -1=0, das ist also keine Lösung.
Für [mm]y_2=\bruch{\sqrt{4\lambda^2+1}}{4\sqrt{2}\lambda^2}[/mm] lässt sich (3') auf die Form
[mm] \bruch{1}{64\lambda^4} (\lambda^2 -\bruch{1}{4})(80 \lambda^2+12) [/mm]
bringen. Dies hat als einzige reelle Lösungen [mm]\lambda=\pm\bruch{1}{2}[/mm]. [mm]y_3[/mm] geht analog.
Jetzt müssen diese Werte für [mm]\lambda[/mm] und y rückwärts eingesetzt werden, und es ergeben sich die vier Lösungen
[mm]x=1, y=1, \lambda=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]x=-1, y=-1, \lambda=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]x=1, y=-1, \lambda=-\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]x=-1, y=1, \lambda=-\bruch{1}{2}[/mm]
Das ist Alles recht mühsam.
Dein Ansatz mit [mm]f(x,\pm\sqrt{x^2-x^4+1})[/mm] führt schneller zum Ziel. Ich nehme nur das positive Vorzeichen, das negative geht analog: Du setzt zum [mm]g(x)=f(x,\sqrt{x^2-x^4+1}) [/mm] und löst die Gleichung [mm]g'(x)=0[/mm]:
[mm] \sqrt{x^2-x^4+1} + x*\bruch{1}{2\sqrt{x^2-x^4+1}}*(2x-4x^3) = 0[/mm].
Dann mit dem Nenner malnehmen und ausmultiplizieren.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Mi 18.07.2007 | | Autor: | vivo |
vielen dank für deine ausführliche antwort!
aber ist es denn nicht so dass ich bei der methode wo ich nach y auflöse und dann f(x, bla) ableiten und gleich null, das auch noch mit x machen müsste also nach x auflösen und f( blabla , y) ableiten und gleich null???
und das geht ja bei [mm] x^4-x^2+y^2-1=o [/mm] nicht so wirklich!
also zumindest musste man bei dieser aufgabe [mm] e^{-(x^2+y^2}(2x^2+3y^2) [/mm] mit nebenbedingung [mm] x^2+y^2=4
[/mm]
[mm] f(x,\wurzel{4-x^2}) [/mm] ableiten gleich null
und
[mm] f(\wurzel{4-y^2},y) [/mm] ableiten gleich null
um auf die vier extrema (2,0) (-2,0) (0,2) (0,-2) zu kommen warum reicht es jetzt dann bei dieser aufgabe das nur mit y zu machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Mi 18.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> aber ist es denn nicht so dass ich bei der methode wo ich
> nach y auflöse und dann f(x, bla) ableiten und gleich null,
> das auch noch mit x machen müsste also nach x auflösen und
> f( blabla , y) ableiten und gleich null???
>
> und das geht ja bei [mm]x^4-x^2+y^2-1=o[/mm] nicht so wirklich!
Doch, das ergibt [mm]x = \pm\sqrt{\bruch{1}{\sqrt{2}} (1\pm\sqrt{5-y^2})[/mm]. Ich habe aber nicht durchgerechnet, ob es damit funktioniert.
Das Auflösen nach y funktioniert, weil man damit eine differenzierbare Parametrisierung der Nebenbedingung bekommt. Genau genommen hätte ich erst einmal untersuchen müssen, ob die Ableitung von [mm]\sqrt{x^2-x^4+1}[/mm] überall existiert und ungleich 0 ist. Das ist der Fall, wenn [mm]x^2<\bruch{1+\sqrt{5}}{2}[/mm]. Erst dann darf ich es einfach einsetzen und ableiten (Satz über implizite Funktionen). Trotzdem zerfällt die Parametrisierung in zwei Teile, entsprechend den zwei möglichen Vorzeichen der Wurzel.
> also zumindest musste man bei dieser aufgabe
> [mm]e^{-(x^2+y^2}(2x^2+3y^2)[/mm] mit nebenbedingung [mm]x^2+y^2=4[/mm]
>
> [mm]f(x,\wurzel{4-x^2})[/mm] ableiten gleich null
>
> und
>
> [mm]f(\wurzel{4-y^2},y)[/mm] ableiten gleich null
>
> um auf die vier extrema (2,0) (-2,0) (0,2) (0,-2) zu kommen
> warum reicht es jetzt dann bei dieser aufgabe das nur mit y
> zu machen?
Weil die Auflösung [mm]y=\sqrt{4-x^2}[/mm] nicht überall differenzierbar ist, und zwar gerade nicht für [mm]x=\pm2[/mm]. Deswegen ist es in diesem Fall besser, eine Parametrisierung in Polarkoordinaten ([mm](x,y)=(2\cos\phi,2\sin\phi)[/mm]) zu wählen.
Ich hoffe, ich habe mich klar genug ausgedrückt; es ist schon ein bischen spät 
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 Mi 18.07.2007 | | Autor: | vivo |
ok also muss ich nur nach x und y auflösen einsetzten ableiten ... wenn die jeweilige auflösung nicht überall diffbar und ungleich null ansosnten reicht eine, richtig???
ók maple spuckt mir das auch aus, aber blöde frage wie berechnet man so was von hand???????
> Doch, das ergibt [mm]x = \pm\sqrt{\bruch{1}{\sqrt{2}} (1\pm\sqrt{5-y^2})[/mm].
viele dank für deine antworten zu später stunde!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Mi 18.07.2007 | | Autor: | rainerS |
> ok also muss ich nur nach x und y auflösen einsetzten
> ableiten ... wenn die jeweilige auflösung nicht überall
> diffbar und ungleich null ansosnten reicht eine,
> richtig???
Die Ableitung muss ungleich 0 sein. Und es könnte Punkte geben, wo beide Auflösungen nicht diffbar oder beide Ableitungen gleich Null sind.
Im Zweifelsfall mit Lagrange-Multiplikatoren.
> ók maple spuckt mir das auch aus, aber blöde frage wie
> berechnet man so was von hand???????
>
> > Doch, das ergibt [mm]x = \pm\sqrt{\bruch{1}{\sqrt{2}} (1\pm\sqrt{5-y^2})[/mm].
Indem man [mm]x^2=z[/mm] einsetzt, die quadratische Gleichung für z löst und dann nochmal die Wurzel zieht. Aber ich war auch zu faul, es von Hand zu machen.
Gute Nacht
Rainer
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Guten Morgen vivo,
ihr seid ja sehr fleißig gewesen. Aber der 2. Teil deiner Frage
> vorallem wenn das gls
> dann gelöst ist, dann bekomm ich was? die x und y werte die
> als extremwerte in Frage kommen?
ist noch unbeantwortet
Ja: Du hast die x und y werte die als extremwerte in Frage kommen! Jetzt fehlt also noch der Nachweis, dass die 4 Werte wirklich Extrema sind.
Dazu muss ich aber schweres Geschütz auffahren (ein einfacheres Argument kenn ich nicht).
Die Neben bedingung legt eine kompakte Menge (da abgeschlossen und beschränkt) fest. Auf ihr nimmt die stetige Funktion f das Maximum und Minimum an. Also ist f(1;1)=f(-1;-1)=1 das Maximum und f(1;-1)=f(-1;1)=-1 das Minimum.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Do 19.07.2007 | | Autor: | vivo |
mit langrange: [mm] \nabla [/mm] f(x,y) + [mm] \lambda \nabla [/mm] n(x,y) = 0 (n(x,y) ist nebenbedingung)
--> y = - [mm] \lambda (4x^3 [/mm] - 2x)
x = - [mm] \lambda [/mm] 2y
überkreuz multiplizieren führt zu: - [mm] \lambda 2y^2 [/mm] = - [mm] \lambda (4x^4 [/mm] - [mm] 2x^2)
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] 2x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] so und dass jetzt in die nebenbedingung eingestetz also: [mm] x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2x^4 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] -1 = 0 lösen und somit auf die extremas kommen!
so jetzt meine frage solange die funktion aus dem [mm] \IR^2 [/mm] müsste das mit dem überkreuz multiplizieren der zwei langrange bedingungen (damit [mm] \lambda [/mm] wegfällt) und anschließendes einstzen dieser auflösung in die nebenbedingung doch immer funktionieren oder?????? denn dann bräuchte man ja kein so ein aufwendiges gls wie oben lösen!
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> mit langrange: [mm]\nabla[/mm] f(x,y) + [mm]\lambda \nabla[/mm] n(x,y) = 0
> (n(x,y) ist nebenbedingung)
>
> --> y = - [mm]\lambda (4x^3[/mm] - 2x)
> x = - [mm]\lambda[/mm] 2y
>
> überkreuz multiplizieren führt zu: - [mm]\lambda 2y^2[/mm] = -
> [mm]\lambda (4x^4[/mm] - [mm]2x^2)[/mm]
>
> [mm]y^2[/mm] = [mm]2x^4[/mm] - [mm]x^2[/mm] so und dass jetzt in die nebenbedingung
> eingestetz also: [mm]x^4[/mm] - [mm]x^2[/mm] + [mm]2x^4[/mm] - [mm]x^2[/mm] -1 = 0 lösen und
> somit auf die extremas kommen!
>
> so jetzt meine frage solange die funktion aus dem [mm]\IR^2[/mm]
> müsste das mit dem überkreuz multiplizieren der zwei
> langrange bedingungen (damit [mm]\lambda[/mm] wegfällt) und
> anschließendes einstzen dieser auflösung in die
> nebenbedingung doch immer funktionieren oder?????? denn
> dann bräuchte man ja kein so ein aufwendiges gls wie oben
> lösen!
Hallo,
ich verstehe gar nicht, was Du meinst.
Du präsentierst hier das GS
> y= - [mm]\lambda (4x^3[/mm] - 2x)
> x = - [mm]\lambda[/mm] 2y
>$ [mm] y^2 [/mm] $ = $ [mm] -x^4+x^2+1 [/mm] $ ,
das ist doch genau das von MarthaLudwig oben, bloß geringfügig umgestellt.
WIE Du das löst, ist egal. Hauptsache richtig.
> überkreuz multiplizieren führt zu: - [mm]\lambda 2y^2[/mm] = -
> [mm]\lambda (4x^4[/mm] - [mm]2x^2)[/mm]
oder [mm] \lambda=0. [/mm] Das müßte man doch auch noch untersuchen, meine ich.
> die extremas
die Extrema. Das Extremum, die Extrema.
Gruß v. Angela
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