Maximum und Minimum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto x^2-y^2
[/mm]
Nimmt f ihr Maximum bzw. Minimum auf D := {(x, y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] x^2+y^2 [/mm] < 1} an? Wenn ja, wo? |
Das Max von f ist dort, wo [mm] x^2-y^2 [/mm] am größten ist, also ist y=0 und x [mm] \to \pm1, [/mm] also die Punkte (1,0) und (-1,0), die beide aber nicht im Definitionsbereich liegen, somit wird das Max nicht angenommen.
Beim Min eig. das gleich Vorgehen, [mm] x^2-y^2 [/mm] ist am kleinsten, wenn x=0 und y [mm] \to \pm1, [/mm] die Punkte (0,1)(0,-1) sind ebenfalls nicht im Definitionsbereich, also wird das Min auch nicht angenommen.
ist das richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Mo 03.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> [mm]f:\IR^2 \to \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto x^2-y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Nimmt f ihr Maximum bzw. Minimum auf D := {(x, y) [mm]\in \IR^2[/mm]
> | [mm]x^2+y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 1} an? Wenn ja, wo?
> Das Max von f ist dort, wo [mm]x^2-y^2[/mm] am größten ist, also
> ist y=0 und x [mm]\to \pm1,[/mm] also die Punkte (1,0) und (-1,0),
> die beide aber nicht im Definitionsbereich liegen, somit
> wird das Max nicht angenommen.
>
> Beim Min eig. das gleich Vorgehen, [mm]x^2-y^2[/mm] ist am
> kleinsten, wenn x=0 und y [mm]\to \pm1,[/mm] die Punkte (0,1)(0,-1)
> sind ebenfalls nicht im Definitionsbereich, also wird das
> Min auch nicht angenommen.
>
> ist das richtig so?
Genau - beides ist nicht im D (sonder in seinem Abschluss, oder eben am Rand von D). Vielleicht kannst du noch ein bisschen ableiten, um die kritischen Pkte zu begründen.
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
wie meinst du das jetzt mit ableiten? partiell nach x und nach y?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo johnyan!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 03.05.2010 | | Autor: | johnyan |
hmm, also dann nach x abgeleitet ist das 2x=0, x=0, nochmals abgeleitet ist das 2, also heißt das, wenn x=0 ist, ist das Min. erreicht.
für die ableitung nach y dementsprechen -2y=0, y=0, zweite ableitung = -2, also wenn y=0 ist das ein Max.
wie geht es dann formal mit der begründung weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:30 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist zwar gradf(0,0) = (0,0), aber f hat in (0,0) kein Extremum:
es ist
$f(t,0) = [mm] t^2 \ge [/mm] 0 =f(0,0)$ für jedes t
und
$f(0,s) = [mm] -s^2 \le [/mm] 0 =f(0,0)$ für jedes s
FRED
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> hmm, also dann nach x abgeleitet ist das 2x=0, x=0,
> nochmals abgeleitet ist das 2, also heißt das, wenn x=0
> ist, ist das Min. erreicht.
>
> für die ableitung nach y dementsprechen -2y=0, y=0, zweite
> ableitung = -2, also wenn y=0 ist das ein Max.
>
> wie geht es dann formal mit der begründung weiter?
Hallo,
das, was Du hier schreibst, ist ziemlich - selbstgebastelt.
Ich rate Dir, Dich mal anhand Deines Skriptes oder eines Lehrbuches zu informieren, wie man Extremwerte von Funktionen, die von mehr als einer Variablen abhängen, berechnet - am besten mit und ohne Nebenbedingung. (Stichworte: Gradient, kritische Punkte, Hessematrix, Lagrangemethode)
In der Klausur wird das nämlich verlangt.
Wenn Du Details dessen, was im Buch geschrieben steht, nicht verstehst, helfen wir gern weiter - aber reingeguckt haben sollte man mal...
Gruß v. Angela
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