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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 12.07.2005 | | Autor: | Skipio |
Aus 4 gleich breiten Brettern (a) soll eine oben offene Rinne hergestellt werden, so dass zwei ihrer Wände parallel sind. Wie groß ist der Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den beiden anderen Wänden zu wählen, damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst groß wird?
[mm] A(\alpha)=2\*a^2\*\wurzel{sin(\alpha/2)}\*(1+cos(\alpha/2)
[/mm]
[mm] d/(d\alpha)A(\alpha)=a^2((1+cos(\alpha/2))-2\*sin^2(\alpha/2))/\wurzel{sin(\alpha/2)}=0
[/mm]
<=> [mm] 1/a^2\*\wurzel{sin(\alpha/2}=(1+cos(\alpha/2))-2*sin^2(\alpha/2)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 12.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nadine
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zuerst mal freuen wir uns über ne nette Begrüssung und Abschied. So wie du kann man nicht bei jemand ins Haus platzen!
Aber trotzdem zu deinem Problem: Wie bist du auf [mm] A(\alpha) [/mm] gekommen? mindestens die Wurzel darin muss falsch sein. Wenn du das noch mal überprüfst wird deine Formel schon viiiel einfacher und du kommst vielleicht allein zurecht. Sonst schreib nochmal, wie du auf deine Formel gekommen bist, und wir suchen den Fehler zusammen.
Beim Differenzieren hast du auch mehrere Fehler gemacht, aber da ja A sowieso falsch ist reden wir darüber später.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Di 12.07.2005 | | Autor: | Skipio |
Hallo, vielen Dank für die Rüge. Es tut mir wirklich leid.
Herleitung [mm] $A\left(\alpha\right)$:
[/mm]
1.
[m]A\left( \alpha \right) = \underbrace {a*b\left( \alpha \right)}_{{\text{Rechteck zwischen den parallelen Brettern}}} + \underbrace {2\left( {\frac{{b\left( \alpha \right)}}
{2}*a*\cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)}_{{\text{Dreieck unter den parallelen Brettern}}} = a*b\left( \alpha \right) + b\left( \alpha \right)*a*\cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right) = a*b\left( \alpha \right)\left( {1 + \cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)[/m]
2.
[m]a^2 = \left( {\frac{b}
{2}} \right)^2 + h^2 \Rightarrow \left( {\frac{b}
{2}} \right)^2 = a^2 - \left( {a\cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)^2 \mathop \Rightarrow \limits^{{\text{nach Kosinussatz}}} b = 2\sqrt {a^2 - \left( {a\cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)^2 }[/m]
2. in 1.
[m]A\left( \alpha \right) = a*2*\sqrt {a^2 - \left( {a\cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)^2 } *\left( {1 + \cos \left( {\frac{\alpha }
{2}} \right)} \right)[/m]
das habe ich nur noch umgeformt... wo liegt hier ein Fehler?
Danke für die Hilfe Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 12.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Herleitung [mm]A(\alpha):[/mm]
> 1.
> [mm]A(\alpha)=a\*b(\alpha){Rechteck zwischen den parallelen Brettern}+2\*(b(\alpha)/2\*a\*cos(\alpha/2)){Dreieck unter den parallelen Brettern}[/mm]
>
> [mm]=a\*b(\alpha)+b(\alpha)\*a\*cos(\alpha/2)=a\*b(\alpha)\*(1+cos(\alpha/2))[/mm]
> 2.
> [mm]a^2=(b/2)^2+h^2 =>(b/2)^2=a^2-(a\*cos(\alpha/2))^2{nach Kosinussatz} =>b=2\*\wurzel{a^2-(a\*cos(\alpha/2))^2}[/mm]
>
> 2. in 1.
>
> [mm]A(\alpha)=a\*2\*\wurzel{a^2-(a\*cos(\alpha/2))^2}\*(1+cos(\alpha/2))[/mm]
> das habe ich nur noch umgeformt... vllt liegt hier ein
> Fehler?
Ja! da liegt er [mm] 2*\wurzel{a^2-(a\*cos(\alpha/2))^2}=2a*\wurzel{1-cos(\alpha/2)^2}=2a*sin(\alpha/2)
[/mm]
übrigens kann man in dem Dreieck direkt sehen: [mm] b/2=a*sin(\alpha/2)
[/mm]
Damit hast du A [mm] =2a^{2}*sin(\alpha/2)*(1+cos(\alpha/2)
[/mm]
Jetzt die Ableitung A' [mm] =2a^{2}*(cos(\alpha/2)*(1+cos(\alpha/2)+sin(\alpha/2)*(-sin(\alpha/2))
[/mm]
vereinfachen und 0 setzen: [mm] 2a^{2} [/mm] kann man weglassen, die Klammer muss 0 sein
[mm] cos(\alpha/2)+cos(\alpha/2)^{2}-sin(\alpha/2)^{2}=0 [/mm] jetzt [mm] sin^{2} [/mm] durch [mm] 1-cos^{2} [/mm] ersetzen. dann entsteht eine quadratische Gleichung für [mm] cos(\alpha/2) [/mm] deshalb nennst du vorläufig [mm] cos(\alpha/2)=x
[/mm]
lösest die Quadratische Gleichung und findest 2 Werte für x also für [mm] cos(\alpha/2). [/mm] dann musst du nur noch feststellen, welcher das max ist.
O.K?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mi 13.07.2005 | | Autor: | Skipio |
Hallo nochmal. Vielen Dank! Der Fehler war blöd und wenn man mit so was weiterrechnet kanns ja nicht einfacher werden...
Das jetzt zu lösen war nicht mehr viel arbeit. Mein Prof wird sich freuen, der hat nämlich schon rumgemosert, weils keiner so richtig geschafft hatte.
Ein hoch auf die klugen Köpfe.
Tschö Nad
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