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Maximumprinzip: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Di 09.12.2008
Autor: grenife

Aufgabe
Sei [mm] $\Delta:=\Delta_1(0)$ [/mm] und sei
[mm] $f:\mathbb{C}\setminus \left\{2\right\}\to\mathbb{C},\ z\to\frac{z^2+2}{z-2}$ [/mm]
gegeben. Bestimmen Sie [mm] $|f|_{\overline{\Delta}}:=\sup\left\{|f(z)|\ | z\in\overline{\Delta}\right\}$. [/mm]

Hallo zusammen,

wäre toll, wenn jemand meinen Lösungsansatz kommentieren könnte.

Die Funktion $f$ ist im Bereich [mm] $\mathbb{C}\setminus \left\{2\right\}$ [/mm] als rationale Funktion komplex differenzierbar. Die Einheitskreisschreibe [mm] $\Delta:=\Delta_1(0)$ [/mm] liegt in diesem Bereich. Damit kann die Mittelwertungleichung bzw. die Variante von Landau verwendet werden:
Für alle [mm] $z\in\Delta$ [/mm] gilt: [mm] $|f(z)|\leq |f|_{\partial\Delta}$. [/mm]

An dieser Stelle hakt es noch etwas, da ich nicht wirklich sehe, wie ich $|f(z)|$ auf dem Rand des Einheitskreises abschätzen kann. Vielleicht hat ja jemand einen Tipp für mich.

Vielen Dank und viele Grüße
Gregor

        
Bezug
Maximumprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 09.12.2008
Autor: fred97

Sei |z| = 1. Dann ist 1 [mm] \le [/mm] |z-2|, also [mm] \bruch{1}{|z-2|} \le [/mm] 1.

Somit: |f(z)|  [mm] \le |z^2+2| \le |z|^2+2 [/mm] = 3


Es ist f(1) = -3, also |f(1)| = 3.

Fazit : max { |f(z)| :  |z| = 1} = 3


FRED

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