McLaurinsche/Taylor-Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Ich habe vor Kurzem etwas über die McLaurinsche Reihe gelesen, und fand die Herleitung auch recht plausibel - so oft Ableiten, bis man einen Koeffizienten durch setzen von [mm]x=0[/mm] bestimmen konnte.
Als ich ein wenig weiterlas, kam dann die Taylorreihe. Dort setzt man bekanntlich für x nicht immer 0 ein, sondern lässt dies variieren, um z.B. die Logarithmusfunktion als Potenzreihe schreiben zu können. Doch wie kommt man darauf, einfach andere Werte als 0 einsetzen zu können? Damit kommt man doch nicht mehr an die Koeffizienten, wie man es bei der McLaurinschen Reihe getan hat? Das verwirrt mich im Moment und da suche ich nach einem kleinen Beweis oder einem Link, der zeigt, wie man die Existenz solcher Taylorreihen begründet.
Danke schonmal!
Gruß,
Hanno
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 18.07.2004 | | Autor: | Micha |
Die McLaurinsche Reihe ist im Grunde genommen ein Speziallfall der Taylorreihe und nicht umgekehrt.
Du kannst sagen, dass die McLaurinsche Reihe eine aus [mm] $x_0 [/mm] = 0$ normierte Reihenentwicklung ist und die Taylorreihe eine "auf der x-Achse verschobene" McLaurinreihe ist:
McLaurin:
[mm] $M_f [/mm] (x) = [mm] \summe_{k=0}^{N} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^k$
[/mm]
Taylor:
[mm] $T_f [/mm] (x) = [mm] \summe_{k=0}^{N} \frac{f^{(k)} (x_0 )}{k!} (x-x_0 )^k$
[/mm]
Du siehst, bei McLaurin ist einfach [mm] $x_0 [/mm] = 0$, oder umgekehrt, die Taylorentwicklung ist die Mclaurin-Entwicklung um [mm] $x_0$ [/mm] verschoben. (Dann muss ich auch die Ableitungen an dieser Stelle betrachten und nicht an der Stelle 0 und das ganze an [mm] $(x-x_0 [/mm] )$ entwickeln und nicht nur $x = x + 0$ )
Vielleicht hilft dir die Erklärung etwas weiter.
Gruß, Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Micha.
Wirklich weitergekommen bin ich nicht. Klar ist mir, dass durch ersetzen von [mm]x[/mm] durch [mm]x-x_0[/mm] die komplette Funktion um [mm]x_0[/mm] rechtsverschoben wird. Verständlich ( bzw. logisch, nach dem Sinn frage ich gleich noch ) ist mir dann auch, dass [mm]x_0[/mm] als Argument der Ableitung eingesetzt werden muss.
Aber wobei ich immer noch ein Brett vor dem Kopf habe ist die Frage, wieso man das überhaupt machen kann. Wenn ich mir die McLaurinsche Reihe ansehe, dann basiert die ja auf der Tatsache, dass ein Koeffizient [mm]a_i[/mm] zur Potenz[mm]x^i[/mm] ermittelt werden kann, indem man die i-te Ableitung [mm]f^{(i)}(0)[/mm] "aufruft", also mit dem Argeument 0, da dann alle x-beinhaltenden Summanden wegfallen und der Koeffizient [mm]a_i[/mm] berechenbar gemacht wird.
Dies funktioniert aber doch nur, weil ich in die Ableitungen 0 einsetze. Wenn ich jetzt etwas x-beliebiges einsetze, dann kann ich damit doch nicht mehr die Koeffizienten berechnen, was mir aber bei der Taylorreihe immernoch getan zu werden scheint. Sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, oder fehlt mir neben der obigen Erkenntnis noch etwas wichtiges?
Gruß und Dank,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 18.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Ich habe selber noch mal nachgedacht und habe es nun verstanden, ist, wenn man's weiss, ja ziemlich einfach.
Für alle Archiv-Sucher in späteren Zeiten meine Erklärung:
Bei der Mac-Laurinschen Reihe geht man davon aus, dass sich die Funktion als unendliche Summe [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{a_i\cdot x^i}[/mm] darstellen lässt. Durch i-faches Ableiten kann man dann den Koeffizienten [mm]a_i=\frac{f^{(i)}(0)}{i!}[/mm] ermitteln.
Bei der Taylorreihe ist der einzig andere Gedanke der, dass man jede Funktion als unendliche Summe [mm]\summe_{i=0}^{\infty}{a_i\cdot (x-x_0)^i}[/mm] darstellen kann. Dies ändert nichts daran, dass man die Koeffizienten durch die Ableitungen erhalten kann, jedoch muss man dann nicht mehr [mm]0[/mm] einsetzen, sondern [mm]x_0[/mm] da die Basis ja nicht mehr [mm]x[/mm] (McLaurinsche Reihe) sondern [mm]x-x_0[/mm] ist, und wo für [mm]x=x_0[/mm] die Basis den Wert 0 annimmt und der Koeffizient berechnet werden kann.
So, danke Micha nochmal.
Gruß
Hanno
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