Mehrdeutige Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:24 So 28.02.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit der analytischen Fortsetzung, mehrdeutigen Funktionen. Doch so richtig bekomme ich das nicht zu fassen.
Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel:
[mm] f:\IC\to\IC, z\to f(z):=z^2
[/mm]
ist eine überall reguläre und eindeutige Funktion.
Die Umkehrfunktion aber nicht. Es heißt nun, die Umkehrfunktion könne auf einem zweiblättrigen Definitionsbereich eindeutig gemacht werden und z=0 sei ein Verzeigungspunkt.
Ich habe mal gelernt, eine Funktion sei eine eindeutige Abbildung.
Wie schreibe ich denn in diesem Fall die überall eindeutige Funktion exakt auf. Und wie ist das "Aufscheiden und zusammenkleben" längs der positiven x-Achse mathematisch in diesem Fall exakt zu formulieren? Wie ist "Verzeigungspunkt" exakt definiert?
LG
gfm
Hab ich FRage nirgendswo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Hast du dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier und vor allem das hier durchgelesen?
> Ich beschäftige mich gerade mit der analytischen
> Fortsetzung, mehrdeutigen Funktionen. Doch so richtig
> bekomme ich das nicht zu fassen.
>
> Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel:
>
> [mm]f:\IC\to\IC, z\to f(z):=z^2[/mm]
>
> ist eine überall reguläre und eindeutige Funktion.
Ja.
> Die Umkehrfunktion aber nicht.
Wenn du die Umkehrfunktion auf einem Teilgebiet von [mm] $\IC$ [/mm] definieren willst, so muss es eine Gerade durch 0 geben, so dass sich das Gebiet vollstaendig auf einer Seite der Geraden befindet. Nimmst du alles was auf der einen Seite der Geraden nimmst, ist das Bild [mm] $\IC$ [/mm] ohne eine Verbinung von 0 mit [mm] $\infty$.
[/mm]
Und fuer jedes solche Gebiet hast du zwei Moeglichkeiten, die Umkehrfunktion zu definieren: ist $g : G [mm] \to \IC$ [/mm] eine solche, so ist die andere durch $-g$ gegeben. (Es gilt ja [mm] $g(z)^2 [/mm] = [mm] (-g(z))^2$.)
[/mm]
Die Idee von Riemannschen Flaechen ist, dass du jetzt solche Gebiete "zusammenklebst". Du betrachtest etwas aehnliches wie eine universelle Ueberlagerung (falls dir das was sagt, ansonsten ignorier's lieber, die formale Definition dort hilft nicht so viel weiter), wobei du strenggenommen alle Punkte von [mm] $\IC$ [/mm] weglassen musst, in denen die Ableitung von $f$ verschwindet (die Verzweigungspunkte).
Wenn du das so machst, ist die universelle Ueberlagerung eine wunderschoene Riemannsche Flaeche (eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit), auf der du die Umkehrfunktion "eindeutig" definieren kannst.
> Es heißt nun, die
> Umkehrfunktion könne auf einem zweiblättrigen
> Definitionsbereich eindeutig gemacht werden und z=0 sei ein
> Verzeigungspunkt.
Jedes Element in [mm] $\IC$ [/mm] ausser 0 hat genau zwei Urbilder unter $f$. Deswegen hat die Riemannsche Flaeche zwei Blaetter. Und 0 ist halt ein Verzweigungspunkt, weil man da nicht so genau weiss, auf welchem Blatt man sich so befindet  In den Bildern bei den Links ganz oben sieht man das auch schon als eine Art vertikale Gerade, an die sich die Blaetter anschmiegen.
> Wie schreibe ich denn in diesem Fall die überall
> eindeutige Funktion exakt auf.
Dazu brauchst du erstmal eine exakte Definition der Riemannschen Flaeche.
> Und wie ist das "Aufscheiden
> und zusammenkleben" längs der positiven x-Achse
> mathematisch in diesem Fall exakt zu formulieren? Wie ist
> "Verzeigungspunkt" exakt definiert?
Da kann man Buecher drueber schreiben... Das ist nichts was man mal eben so exakt definieren kann.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:15 Mo 01.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> Hast du dir mal
> das hier
> und vor allem
Ja, machte mich nicht viel schlauer.
> das hier
> durchgelesen?
>
Danke für den Hinweis, das ist schon viel besser und der Link dort auf matheplanet oder so, scheint auch sehr hilfreich zu sein.
> > Ich beschäftige mich gerade mit der analytischen
> Wenn du die Umkehrfunktion auf einem Teilgebiet von [mm]\IC[/mm]
> definieren willst, so muss es eine Gerade durch 0 geben, so
> dass sich das Gebiet vollstaendig auf einer Seite der
> Geraden befindet. Nimmst du alles was auf der einen Seite
> der Geraden nimmst, ist das Bild [mm]\IC[/mm] ohne eine Verbinung
> von 0 mit [mm]\infty[/mm].
>
> Und fuer jedes solche Gebiet hast du zwei Moeglichkeiten,
> die Umkehrfunktion zu definieren: ist [mm]g : G \to \IC[/mm] eine
> solche, so ist die andere durch [mm]-g[/mm] gegeben. (Es gilt ja
> [mm]g(z)^2 = (-g(z))^2[/mm].)
>
> Die Idee von Riemannschen Flaechen ist, dass du jetzt
> solche Gebiete "zusammenklebst". Du betrachtest etwas
Ja eben, "zusammenkleben".
Kannst Du die Riemansche Fläche für mein Beispiel aufschreiben? Oder wie die Umkehrkehrfunktion zu obigem Beispiel korrekt auf ihr definiert ist?
Ich hatte mich mal mit n-Dimensionel diff'baren relleen Mannigfaltikeiten beschäftigt und hatte dort den Eindruck, dass dort nicht so rumlaviert wird mal für einfache Funktionen, deren korrekte Version auf der entsprechenden Riemanfläche, die sie regulär macht, anzugeben.
Wenn ich aber mal im Internet google nach "Riemannsche Flächen" dann findet man entweder ein rumlavieren oder Texte mit "Garben, Keimen, Wolkenkratzern, Teichmüllern, Homotopien, Kohomologien und was weiß ich noch alles."
Gibt es denn keine Texte, die einen anhand von einfachen Beipielen exakt formuliert diese Begriffe näher bringen? Ich meine nicht nur über irgendwelche Schnitte und zusammnekleben reden, sondern das auch in mathematischer Notation formulieren.
> Da kann man Buecher drueber schreiben... Das ist nichts was
> man mal eben so exakt definieren kann.
Man kann auch über das reelle Zahlenintervall [0,1] beliebige viele Seiten füllen.
Ich suche ja nur was zu finden, was nicht NUR anschaulich ist, sondern mathematisch verständlich für den (sonst ganz gut Bescheid wissenden) Newbie zu diesem Thema ist.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:00 Di 02.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> Kannst Du die Riemansche Fläche für mein Beispiel
> aufschreiben? Oder wie die Umkehrkehrfunktion zu obigem
> Beispiel korrekt auf ihr definiert ist?
Also ich habe keine Ahnung auf dem Gebiet und habe auch nix dazu gefunden, aber ich weiß schon so ungefähr, was ne MF ist. Daher mal mein "educated guess": [mm] $$R:=\{(z,w)\in\IC^2\mid z=w^2\}$$ [/mm] Wahrscheinlich sollte man den Punkt (0,0) noch rausnehmen, denn wenn man sich das ganze mal in [mm]\IR[/mm] anschaut sieht man ja, dass diese Menge am Punkt 0 nicht lokal euklidisch ist, eben weil 0 ein Verzweigungspunkt ist.
Die Wurzelfunktion wäre nun einfach die Projektion [mm] $\pi_2:\IC^2\ni(z,w)\mapsto w\in\IC$ [/mm] eingeschränkt auf $R$.
Ok. Ich fand das war doch ein netter Versuch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Di 02.03.2010 | | Autor: | gfm |
> ne MF ist. Daher mal mein "educated guess":
> [mm]R:=\{(z,w)\in\IC^2\mid z=w^2\}[/mm] Wahrscheinlich sollte man
D.h. also, wenn wir ein [mm] f:D\to [/mm] f(D) vorgegeben haben, dann liefert
[mm] \pi: Graph(f)\to [/mm] D eine Art Umkehrung, nur nicht mehr auf dem Bild von f, sondern auf dem Graphen. [mm] \pi [/mm] sei die Projektion auf die erste "Koordinate".
Das ist jetzt aber noch nichts funktionentheoretisch Spezifisches, oder. Das könnte man ja auf beliebige Funktionen ziwschen beliebigen Mengen anwenden, richtig?
> den Punkt (0,0) noch rausnehmen, denn wenn man sich das
> ganze mal in [mm]\IR[/mm] anschaut sieht man ja, dass diese Menge am
> Punkt 0 nicht lokal euklidisch ist, eben weil 0 ein
> Verzweigungspunkt ist.
Also auch wenn ich eine Parabel bei (0,0) unters Mikroskop lege, sehe ich einen Abschnitt eines [mm] R^1, [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mi 03.03.2010 | | Autor: | pelzig |
> D.h. also, wenn wir ein [mm]f:D\to[/mm] f(D) vorgegeben haben, dann
> liefert
>
> [mm]\pi: Graph(f)\to[/mm] D eine Art Umkehrung, nur nicht mehr auf
> dem Bild von f, sondern auf dem Graphen. [mm]\pi[/mm] sei die
> Projektion auf die erste "Koordinate".
>
> Das ist jetzt aber noch nichts funktionentheoretisch
> Spezifisches, oder. Das könnte man ja auf beliebige
> Funktionen ziwschen beliebigen Mengen anwenden, richtig?
Ja, aber man hat hier zumindest (hoffe ich...) eine eindimensionale komplexe MF.
> > den Punkt (0,0) noch rausnehmen, denn wenn man sich das
> > ganze mal in [mm]\IR[/mm] anschaut sieht man ja, dass diese Menge am
> > Punkt 0 nicht lokal euklidisch ist, eben weil 0 ein
> > Verzweigungspunkt ist.
>
> Also auch wenn ich eine Parabel bei (0,0) unters Mikroskop
> lege, sehe ich einen Abschnitt eines [mm]R^1,[/mm] oder?
Ja Stimmt, hatte da ein falsches Bild im Kopf. Aber wenn du das ganze z.B. mit [mm] $\IR\ni x\mapsto x^3$ [/mm] dann ist es bei 0 nicht lokal euklidisch, weil man im negativen dann zwei neue "Äste" bekommt, die sich in 0 verzweigen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 03.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 08.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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