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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 02.02.2009 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass f¨ur zwei skalare Funktionen f, g und alle [mm] \vec{x} \varepsilon \IR^{3} [/mm] gilt:
(f * [mm] g)(\vec{x}) [/mm] = (g * [mm] f)(\vec{x}) [/mm] .
Hinweis: Finden Sie f¨ur das Faltungsintegral eine geeignete Koordinatentransformation
[mm] \vec{y} \mapsto \vec{v}(\vec{y}), [/mm] welche [mm] \IR^{3} [/mm] bijektiv auf [mm] \IR^{3} [/mm] abbildet. |
Hallo,
also das Faltintegral ist gegeben durch (f * [mm] g)(\vec{x}) [/mm] := [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{\IR^{3}}^{}{} f(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y})g(\vec{y}) dy_{1} dy_{2} dy_{3}.
[/mm]
Und als Hinweis soll man ja Koordinatentransformation benutzen, nur hab ich irgendwie keine ahnung wie ich das machen soll und vorallem welche.
Es gibt ja Polar Kugel und Zylinderkoordinaten...und unabgängige irgendwie die mal selber wählen kann.
Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass f¨ur zwei skalare Funktionen f, g und alle
> [mm]\vec{x} \varepsilon \IR^{3}[/mm] gilt:
> (f * [mm]g)(\vec{x})[/mm] = (g * [mm]f)(\vec{x})[/mm] .
>
> Hinweis: Finden Sie f¨ur das Faltungsintegral eine
> geeignete Koordinatentransformation
> [mm]\vec{y} \mapsto \vec{v}(\vec{y}),[/mm] welche [mm]\IR^{3}[/mm] bijektiv
> auf [mm]\IR^{3}[/mm] abbildet.
>
> Hallo,
> also das Faltintegral ist gegeben durch (f * [mm]g)(\vec{x})[/mm]
> :=
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{\IR^{3}}^{}{} f(\vec{x}[/mm]
> - [mm]\vec{y})g(\vec{y}) dy_{1} dy_{2} dy_{3}.[/mm]
> Und als Hinweis
> soll man ja Koordinatentransformation benutzen, nur hab ich
> irgendwie keine ahnung wie ich das machen soll und vorallem
> welche.
Wie waer's mit [mm] $\vec{y} \mapsto \vec{x} [/mm] - [mm] \vec{y}$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 05.02.2009 | | Autor: | xcase |
hmm...also ich hab leider nicht so viel ahnung was ich damit anfangen soll.
Kann ich die abbildungsvorsschrift dann einfach einsetzen und muss dann noch das Integral berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 05.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> hmm...also ich hab leider nicht so viel ahnung was ich
> damit anfangen soll.
Schonmal was von der Substitutionsregel fuer Integrale gehoert?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 05.02.2009 | | Autor: | xcase |
ja also klar hab ich davon mal schon gehört nur ich komm mit dem dt und so dann immer nicht klar, weil das muss man ja dann immer anpassen.
also soweit ich das jetzt verstanden habe haben wir die abbildungsvorschrift y -> x - y
d.h. es ergibts sich [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{\IR^{3}}^{}{}f(\vec{y})g(\vec{x}-\vec{y})dy_{1}dy_{2}dy_{3}, [/mm] oder?
jetzt "einfach" [mm] \vec{x}-\vec{y} [/mm] substituieren vllt?
Tut mir leid wenn ich nicht viel von MAthe vertehe aber ich komm hier leider nicht weiter.
MfG Tomi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:11 Fr 06.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Tomi
> ja also klar hab ich davon mal schon gehört nur ich komm
> mit dem dt und so dann immer nicht klar, weil das muss man
> ja dann immer anpassen.
> also soweit ich das jetzt verstanden habe haben wir die
> abbildungsvorschrift y -> x - y
> d.h. es ergibts sich
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{\IR^{3}}^{}{}f(\vec{y})g(\vec{x}-\vec{y})dy_{1}dy_{2}dy_{3},[/mm]
> oder?
Hast du das einfach so eingesetzt, also $y$ durch $x - y$ ersetzt, oder hast du dir Gedanken gemacht warum du das ueberhaupt darfst?
Kennst du ![[]](/images/popup.gif) diesen oder einen aehnlichen Satz (auch gern als mehrdimensionale Substitutionsregel bezeichnet)?
> jetzt "einfach" [mm]\vec{x}-\vec{y}[/mm] substituieren vllt?
Wie meinst du das jetzt?
Und weisst du eigentlich was da am Ende rauskommen soll? Schreib das doch mal hin (mit Integralen!).
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Fr 06.02.2009 | | Autor: | xcase |
na wir müssen zeigen, dass (f*g)(x) = (g*f)(x) .
was am ende für ein ergebnis jetzt beim faltungsintegral rauskomen muss? hmmm ich weiss ehrlich gesagt nicht.
Transformationssatz hab ich auf jeden fall schonmal was von gehört ja. Wie ich das anwenden soll kA.
und y -> x-y hab ich so eingesetzt ja weil das unsere abbildungsvorschrift ist.
warum wir sie so gewählt haben, keine ahnung.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 06.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:07 Fr 06.02.2009 | | Autor: | xcase |
hallo....ja ich bin ja eigentlich nicht so aber ich weiss nicht wie ich weiter kommen soll und sitz hier seit stunden an den HA und komm nicht weiter.
das problem ist wir brauchen die punkte unbedingt das wir die klausur mitschribeen können, natürlich nicht euer problem aber fals wer etwas mehr als nen ansatz schreib wäre ich natrlich dankbar.
ich freu mich natürlich auch über jeden ansatz^^
MfG Tomi
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Hallo xcase,
> Zeigen Sie, dass für zwei skalare Funktionen f, g und alle
> [mm]\vec{x} \varepsilon \IR^{3}[/mm] gilt:
> (f * [mm]g)(\vec{x})[/mm] = (g * [mm]f)(\vec{x})[/mm] .
>
> Hinweis: Finden Sie für das Faltungsintegral eine
> geeignete Koordinatentransformation
> [mm]\vec{y} \mapsto \vec{v}(\vec{y}),[/mm] welche [mm]\IR^{3}[/mm] bijektiv
> auf [mm]\IR^{3}[/mm] abbildet.
> Hallo,
> also das Faltintegral ist gegeben durch
> [mm](f * g)(\vec{x}):= \integral\integral\integral_{\IR^{3}}^{}{} f(\vec{x}-\vec{y})g(\vec{y}) dy_{1} dy_{2} dy_{3}.[/mm]
> Und als Hinweis
> soll man ja Koordinatentransformation benutzen, nur hab ich
> irgendwie keine Ahnung wie ich das machen soll und vor allem
> welche.
> Es gibt ja Polar Kugel und Zylinderkoordinaten...
Sowas (mit Winkeln) brauchst du sicher nicht, denn es
geht ja schliesslich um eine blosse Parallelverschiebung:
[mm] $\vec{v}(\vec{y})=\vec{x}-\vec{y}$
[/mm]
Falls du das mit einer Matrix beschreiben willst:
[mm] $\vec{v}(\vec{y})=\pmat{-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}*\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm]
Darauf kannst du nun wohl die Transformationsformel
anwenden.
LG
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