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| Aufgabe | (a) Berechnen Sie nachstehende Mehrfachintegrale:
[mm] i)\integral_{0}^{1}{dy}\integral_{0}^{2}{dx yx^2}
[/mm]
[mm] ii)\integral_{0}^{2}{dx}\integral_{0}^{1}{dy yx^2}
[/mm]
(b) In Teil a) stimmen die Ergebnisse von i) und ii)¨berein. Dies ist kein Zufall, da neben dem Integranden auch die Teilmengen von [mm] \IR^2 [/mm] ubereinstimmen, ¨uber die integriert
wird. Daher k¨onnte man i) und ii) auch schreiben als [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{yx^2 dx dy} [/mm] mit D [mm] =[0;2]\times[0;1] [/mm] und
damit die Reihenfolge der Integrationen offenlassen. Berechnen Sie f¨ur nachstehende Gebiete D und
Funktionen f das Integral [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y)dx dy} [/mm] bzw [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y,z)dx dy dz}indem [/mm] Sie eine geeignete
Integrationsreihenfolge wählen:
i) [mm] f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto x^2+3y^2 [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| |y|<|x| \wedge |x|<3\}
[/mm]
[mm] ii)f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto [/mm] 1/x * [mm] cos\vektor{y \\ x} [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| 0
[mm] iii)f:\IR^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto [/mm] sin(x)+ [mm] (y+2)^2/z^2+1 [/mm]
[mm] D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| |x|,|y|,|z|<1\}
[/mm]
[mm] iv)f:\IR^+^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto [/mm] 1
[mm] D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| x+y+z=3 \wedge 0 |
Hallo ich verstehe nicht ganz wie man auf die Grenzen von den Integrallen kommt bei Teil (b) kann mir das einer Erklären, aber bitte ausfürlich , so das jeder Dumme es verstehen sollte! Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Fr 16.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (a) Berechnen Sie nachstehende Mehrfachintegrale:
> [mm]i)\integral_{0}^{1}{dy}\integral_{0}^{2}{dx yx^2}[/mm]
>
> [mm]ii)\integral_{0}^{2}{dx}\integral_{0}^{1}{dy yx^2}[/mm]
>
> (b) In Teil a) stimmen die Ergebnisse von i) und
> ii)¨berein. Dies ist kein Zufall, da neben dem Integranden
> auch die Teilmengen von [mm]\IR^2[/mm] ubereinstimmen, ¨uber die
> integriert
> wird. Daher k¨onnte man i) und ii) auch schreiben als
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{yx^2 dx dy}[/mm] mit D
> [mm]=[0;2]\times[0;1][/mm] und
> damit die Reihenfolge der Integrationen offenlassen.
> Berechnen Sie f¨ur nachstehende Gebiete D und
> Funktionen f das Integral
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y)dx dy}[/mm] bzw
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{f(x,y,z)dx dy dz}indem[/mm]
> Sie eine geeignete
> Integrationsreihenfolge wählen:
>
> i) [mm]f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto x^2+3y^2[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| |y|<|x| \wedge |x|<3\}[/mm]
>
> [mm]ii)f:\IR^2\to\IR,(x,y)\mapsto[/mm] 1/x * [mm]cos\vektor{y \\ x}[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y}\in\IR^2| 0
>
> [mm]iii)f:\IR^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto[/mm] sin(x)+ [mm](y+2)^2/z^2+1[/mm]
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| |x|,|y|,|z|<1\}[/mm]
>
> [mm]iv)f:\IR^+^3\to\IR,(x,y,z)\mapsto[/mm] 1
> [mm]D=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3| x+y+z=3 \wedge 0
>
> Hallo ich verstehe nicht ganz wie man auf die Grenzen von
> den Integrallen kommt bei Teil (b) kann mir das einer
> Erklären, aber bitte ausfürlich , so das jeder Dumme es
> verstehen sollte! Danke!
Es hilft in jedem Fall, wenn du dir die Integrationsgebiete aufmalst. Zum Beispiel bei der ersten Aufgabe: die Bedingung $|y|<|x|$ bezeichnet den Bereich zwischen den zwei Winkelhalbierenden, und $|x|<3$ schneidet das rechts und bei $x=+3$ und links bei $x=-3$ ab. Es handelt sich also um zwei Dreiecke mit jeweils einer Ecke im Ursprung.
Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Ungleichung für x: $|x|<3$ lässt sich ja auch als
[mm] -3
schreiben, womit du bereits die Grenzen für die Integration über x hast.
Es ist nun am einfachsten, die Integration über die beiden oben genannten Dreiecke getrennt zu betrachten. Für das rechte hast du [mm] $0\le [/mm] x <3$, womit gilt $|y| <|x| = x$ oder $ -x < y < +x $. Für das linke Dreieck ist [mm] $-3
[mm] \iint_D x^2+3y^2 d(x,y) = \integral_{0}^3 \left(\integral_{-x}^{+x} (x^2+3y^2) dy\right) dx + \integral_{-3}^0 \left(\integral_{+x}^{-x} (x^2+3y^2) dy\right) dx [/mm] .
Versuche dich an den anderen Aufgaben erst mal selbst!
Viele Grüße
Rainer
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