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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Fr 07.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
| Aufgabe | Seien X,Y ZV mit folgender gemeinsamen Dichte:
[mm] f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases} c*e^{(-x+y/2)}, & \mbox{falls } {0 \le y \le x<\infty} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
a) sind X,Y unabhängig?
b) berechne Wert c
c) berechne Dichte und Erwartungswert von Y
d) Berechne [mm] P[X+Y\let] (t\ge0) [/mm] |
a)
X und Y sind unabhängig wenn gilt: [mm] f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)*f_{Y}(y)
[/mm]
[mm] f_{X}(x)=c \integral_{0}^{x}{e^{(-x+y/2) }dy}=c*(2*e^{-x+y/2}-2*e^{-x}) [/mm] = [mm] \\2c(e^{-x/2}-e^{-x})
[/mm]
[mm] f_{Y}(y)=c \integral_{y}^{\infty}{e^{(-x+y/2) }dx}=c*(e^{-y+y/2})=ce^{-y/2}
[/mm]
und da [mm] f_{X,Y}(x,y)\not=f_{X}(x)*f_{Y}(y) [/mm] sind X,Y nicht unabhängig. Stimmt das so?
b)
hier bin ich mir bei den Integralgrenzen nicht sicher.
Es gilt ja [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1. [/mm] Also in diesem Fall:
[mm] c*\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x}{e^{(-x+y/2)} dydx}=c*\integral_{0}^{\infty}2e^{-x/2}-2e^{-x}dx=2c
[/mm]
daher [mm] c=\bruch{1}{2}
[/mm]
c)
Dichte von Y habe ich ja in a) ausgerechnet oder?
d)
gemeinsame Verteilung bestimmen? und dann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe!
LG
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Hiho,
ein paar Rückfragen: Deine Darstellung ist nicht eindeutig, da du leider nicht konsequent den Formeleditor benutzt.
Ist deine Dichte [mm] $ce^\bruch{-x + y}{2}*1_{\{0 \le y \le x < \infty\}}$ [/mm] oder [mm] $ce^{-x +\bruch{ y}{2}}*1_{\{0 \le y \le x < \infty\}}$ [/mm] ?
Ansonsten sind deine Herangehensweisen allesamt richtig und zielführend. Kleiner Tipp noch: Ziehe aus Integralen alles unabhängige von der Integrationsvariablen vors Integral. Das macht das Lösen und die Lösung übersichtlicher.
Und ich hätte b) vor c) gelöst, denn dann musst du nicht mit einem unbekannten c vergleichen 
zu deiner Frage bei c): Ja.
zu deiner Frage bei d): Du kennst doch die gemeinsame Dichte, damit kannst du jede Verteilung ausrechnen, die von X und Y abhängt. Wie? Desweiteren ist deine Darstellung der Aufgabe nicht korrekt. Korrigier das bitte.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 08.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
Danke für deine Antwort!
Aufgabenstellung lautet so:
[mm] f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}c\cdot{}e^{(-x+\frac{y}{2})}, & \mbox{falls } {0 \le y \le x<\infty} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
auch in meiner Lösung ist überall für [mm] y/2=\frac{y}{2} [/mm] gemeint.
also bei
a)
$ [mm] f_{X}(x)=c \integral_{0}^{x}{e^{(-x+\frac{y}{2}) }dy}=c\cdot{}(2\cdot{}e^{-x+\frac{y}{2}}-2\cdot{}e^{-x}) =2c(e^{-\frac{x}{2}}-e^{-x}) [/mm] $
$ [mm] f_{Y}(y)=c \integral_{y}^{\infty}{e^{(-x+\frac{y}{2}) }dx}=c\cdot{}(e^{-y+\frac{y}{2}})=ce^{-\frac{y}{2}} [/mm] $
b)
$ [mm] c\cdot{}\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{x}{e^{(-x+\frac{y}{2})} dydx}=2c\cdot{}\integral_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{2}}-e^{-x}dx=2c [/mm] $
c)
dann ergibt sich für den Erwartungswert:
[mm] E[Y]=\integral_{0}^{\infty}{y*f_{Y}(y) dy}=\frac{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{ye^{-\frac{y}{2} dy}}=2
[/mm]
d)
Aufgabe bei lautet richtig:
Berechne P[X+Y [mm] \leq [/mm] t] (t [mm] \geq [/mm] 0)
muss ich hier zuerst Faltung verwenden um weiter zu kommen?
also [mm] f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{X}(t-x)f_{Y}(x) dx}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 08.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
> Es gilt nämlich: $ P[X + Y [mm] \le [/mm] t] = [mm] E\left[1_{\{X + Y \le t\}}\right] [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty 1_{\{X + Y \le t\}} f_{(X,Y)} (x,y)\, [/mm] dxdy $
oke das wusste ich nicht!
aber was ergibt sich jetzt für meine Integralgrenzen?
LG
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Hiho,
> aber was ergibt sich jetzt für meine Integralgrenzen?
das ist ja der Spaß an der Aufgabe.
Überleg dir mal was!
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 09.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
Habe mir folgendes überlegt:
[mm] \integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\infty}{f(x,z-x) dxdz}
[/mm]
stimmt das?
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Hiho,
> Habe mir folgendes überlegt:
> [mm]\integral_{0}^{t}\integral_{0}^{\infty}{f(x,z-x) dxdz}[/mm]
Wie kommst du darauf?
Schreib doch erstmal das hin, was du weißt. Nämlich die Grenzen die von der gemeinsamen Dichte kommen.
Und dann passt du diese auf die Zusatzbedingung $X + Y [mm] \le [/mm] t$ an.
MFG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 So 09.06.2013 | | Autor: | chr1s1 |
das war blödsinn was ich vorher hingeschrieben habe.
einmal ganz langsam:
es gilt doch
$ [mm] \integral_{0}^{x}\integral_{y}^{\infty}{f(x,y) dxdy} [/mm] $
(dies sind die Grenzen aus der gemeinsamen Dichte)
und da $x+y [mm] \leq [/mm] t$ folgt $y [mm] \leq [/mm] t-x$
mir ist nicht ganz klar wie ich diese Bedingung jetzt einbauen kann. Ich kann t-x ja nicht einfach für y einsetzten. Bitte um Hilfe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 So 09.06.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo ;)
Ich sehe nicht ganz woher die Integralgrenzen kommen bzw. dass sie stimmen.
Ich gehe bei Integralgrenzen immer so vor, dass ich sie mir skizziere.
x+y [mm] \le [/mm] t <=> 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] t-x, 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] t
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] x < [mm] \infty
[/mm]
Zeichne dir doch mal in einen Kartesischen Koordiantensystem die Geraden y=t-x, y=x ein dann müsstest du dein Integrationsgebiet erkennen.
Wenn du das Integrationsgebiet (es ist ein Dreieck) einzeichnen konntest, kannst du dir aussuchen ob du zuerst nach x oder y integrieren möchtest. Wenn du innen nach y und außen nach x integrierst musst du das Integral zerlegen, andersrum geht es in einem Wisch (ist für mich aber meist schwerer zu sehen)
LG
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