Mehrfache Nullst. von Polynom < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper, 0 [mm] \not= [/mm] f [mm] \in [/mm] K[X] ein Polynom und a [mm] \in [/mm] K.
a) Zeigen Sie: f(a) = 0 [mm] \gdw [/mm] (x-a)|f.
b) Zeigen Sie: f(a) = f'(a) = ... = [mm] f^{m-1}(a) [/mm] = 0 [mm] \gdw (x-a)^m|f
[/mm]
c) Wie findet man algorithmisch geschickt die mehrfachen (mindestens doppelten) Nullstellen von f? (zwei Zeilen sollten dafür genügen)
d) Sei nun D = [mm] \IF_{p^n} [/mm] und a [mm] \not= [/mm] 0. Für welche m [mm] \in \IN [/mm] hat das Polynom [mm] x^m [/mm] - a keine mehrfache Nullstellen? |
Ich weiß nicht, wie ich Aufgabe c) lösen soll.
Folgendes habe ich als Tipp bekommen: Wenn z. B. a eine n-fache Nullstelle von p ist, muss die n-te Potenz von a das konstante Glied teilen.
Das hilft mir wenig, da das in einem Körper immer der Fall ist.
Ich nehme mal an, dass irgendwie die Ergebnisse von b) verwendet werden sollen.
Also dass mehrfache Nullstellen auch immer die Nullstellen der Ableitung(en) sein müssen.
Wär nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 06.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper, 0 [mm]\not=[/mm] f [mm]\in[/mm] K[X] ein Polynom und a [mm]\in[/mm]
> K.
> a) Zeigen Sie: f(a) = 0 [mm]\gdw[/mm] (x-a)|f.
> b) Zeigen Sie: f(a) = f'(a) = ... = [mm]f^{m-1}(a)[/mm] = 0 [mm]\gdw (x-a)^m|f[/mm]
Wenn $K$ ein beliebiger Koerper ist, dann ist die Aussage b) im Allgemeinen falsch. (Etwa $K = [mm] \IZ/2\IZ$ [/mm] und $f = [mm] x^2$: [/mm] $f(0) = f'(0) = f''(0) = 0$, aber [mm] $x^3 \nmid [/mm] f$.)
(Allgemein gilt die Aussage nur fuer $m < 2$.)
Der Koerper soll wahrscheinlich von Charakteristik 0 sein?
> c) Wie findet man algorithmisch geschickt die mehrfachen
> (mindestens doppelten) Nullstellen von f? (zwei Zeilen
> sollten dafür genügen)
Wenn $a$ eine mindestens doppelte Nullstelle von $f$ ist, dann ist $x - a$ ein Teiler von $f$ und von $f'$. Und umgekehrt, ist $x - a$ ein Teiler von $f$ und von $f'$, so ist $a$ mindestens eine doppelte Nullstelle von $f$.
Wenn man also den groessten gemeinsamen Teiler von $f$ und $f'$ berechnet, bekommt man ein Polynom, dessen Nullstellen gerade die mehrfachen Nullstellen von $f$ sind.
Ich vermute mal, dass in der Aufgabenstellung dies gemeint ist. (Der ggT kann ja effizient bestimmt werden.)
> d) Sei nun D = [mm]\IF_{p^n}[/mm] und a [mm]\not=[/mm] 0. Für welche m [mm]\in \IN[/mm]
> hat das Polynom [mm]x^m[/mm] - a keine mehrfache Nullstellen?
Hier kannst du den ggT von [mm] $x^m [/mm] - a$ mit seiner Ableitung berechnen (ganz allgemein, mit ein wenig Fallunterscheidung), das liefert dir eine Bedingung dafuer ob das Polynom mehrfache Nullstellen hat oder nicht.
> Ich weiß nicht, wie ich Aufgabe c) lösen soll.
> Folgendes habe ich als Tipp bekommen: Wenn z. B. a eine
> n-fache Nullstelle von p ist, muss die n-te Potenz von a
> das konstante Glied teilen.
>
> Das hilft mir wenig, da das in einem Körper immer der Fall
> ist.
Genau, der Tipp bringt dir hier nichts.
LG Felix
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
ich habe aber noch eine kleine Frage zur d):
p ist die Charakteristik des Körpers
f = [mm] x^m [/mm] - a
D( [mm] x^m [/mm] -a) = [mm] \underbrace{x^{m-1} + ... + x^{m-1}}_{m-mal} [/mm] = m (mod p) * [mm] x^{m-1}
[/mm]
das ist genau dann gleich Null, wenn m mod p = 0 oder x = 0, da K ein Körper ist und keine Nullteiler besitzt.
1) m mod p [mm] \not= [/mm] 0 => x = 0 ist die einzige Lösung, aber f(0) = a [mm] \not= [/mm] 0. Also ist 0 keine mehrfache Nullstelle.
2) m mod p = 0
f(x) = [mm] x^m [/mm] - a = [mm] x^{p*i} [/mm] - a = [mm] (x^p)^i [/mm] - a
wenn i = 1 ist f(a) = 0 nach dem kleinen Satz von Fermat (und eine mehrfache Nullstelle, da f'(a) = 0).
aber was mache ich für i>1 ? Dann muss es ja nicht unbedingt eine Lösung für f(x) = 0 geben.
EDIT: f(x) = [mm] x^m [/mm] - a = [mm] x^{p*i} [/mm] - a = [mm] (x^p)^i [/mm] - 1 in f(x) = [mm] x^m [/mm] - a = [mm] x^{p*i} [/mm] - a = [mm] (x^p)^i [/mm] - a geändert.
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Also jetzt bin ich etwas verunsichert, dass niemand zu meinem Ansatz zu Aufgabe d) was sagen kann. Ist das völlig falsch so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!!
>
> ich habe aber noch eine kleine Frage zur d):
>
> p ist die Charakteristik des Körpers
>
> f = [mm]x^m[/mm] - a
>
> D( [mm]x^m[/mm] -a) = [mm]\underbrace{x^{m-1} + ... + x^{m-1}}_{m-mal}[/mm] =
> m (mod p) * [mm]x^{m-1}[/mm]
>
> das ist genau dann gleich Null, wenn m mod p = 0 oder x =
> 0, da K ein Körper ist und keine Nullteiler besitzt.
Genau.
> 1) m mod p [mm]\not=[/mm] 0 => x = 0 ist die einzige Lösung, aber
> f(0) = a [mm]\not=[/mm] 0. Also ist 0 keine mehrfache Nullstelle.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) m mod p = 0
> f(x) = [mm]x^m[/mm] - a = [mm]x^{p*i}[/mm] - a = [mm](x^p)^i[/mm] - a
> wenn i = 1 ist f(a) = 0 nach dem kleinen Satz von Fermat
> (und eine mehrfache Nullstelle, da f'(a) = 0).
> aber was mache ich für i>1 ? Dann muss es ja nicht
> unbedingt eine Lösung für f(x) = 0 geben.
>
> EDIT: f(x) = [mm]x^m[/mm] - a = [mm]x^{p*i}[/mm] - a = [mm](x^p)^i[/mm] - 1 in f(x) =
> [mm]x^m[/mm] - a = [mm]x^{p*i}[/mm] - a = [mm](x^p)^i[/mm] - a geändert.
Beachte, dass es ein $b [mm] \in \IF_{p^n}$ [/mm] mit [mm] $b^p [/mm] = a$ gibt (naemlich $b = [mm] a^{p^{n-1}}$). [/mm] Damit ist [mm] $x^m [/mm] - a = [mm] (x^i)^p [/mm] - [mm] b^p [/mm] = [mm] (x^i [/mm] - [mm] b)^p$. [/mm] Jetzt ist die Frage, ob nur nach mehrfachen Nullstellen im Koerper [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] gefragt ist, oder allgemein nach mehrfachen Nullstellen. Mehrfache Nullstellen in [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] gibt es nur dann, wenn $b$ eine $i$-te Wurzel in [mm] $\IF_{p^k}$ [/mm] hat.
Da in der Aufgabenstellung aber nur nach einer Bedingung fuer $m$ gefragt ist, ist wohl eine mehrfache Nullstelle in irgendeinem Erweiterungskoerper gefragt... (Und die hast du hier.)
LG Felix
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Vermutlich wird für c) eine einfachere Antwort erwartet:
Nach b) (wir setzen jetzt einen Körper der Charakteristik 0 voraus) sind bei einer doppelten Nullstelle sowohl f(a) als auch f'(a) gleich Null (fraglich ist noch, ob Nullstellen höherer Ordnung extra ausgeschlossen werden sollen, also f'' [mm] \ne [/mm] 0).
Technisch am einfachsten ist es nun, f' zu bilden (einfacher als ggT) und dessen Nullstellen zu bestimmen. Danach diese in f einsetzen und schauen, ob es auch davon Nullstellen sind (einfacher als umgekehrt, da grad f um 1 höher als grad f' ist).
Allerdings: Es kann sein, dass die Nullstellen von f' nur schwer (oder algebraisch gar nicht) zu bestimmen sind, weil z.B. der Grad >5 ist. Dann kann es sein, dass der ggT viel leichter auf Nullstellen zu untersuchen ist, wenn z.B. sein Grad viel geringer ist...
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Vielen Dank für eure Hilfe (alles richtig  )!
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