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| Aufgabe | Definition:
Eine Menge D [mm] \subset [/mm] X ist dicht in X , wenn [mm] \forall [/mm] ofenne Mengen U gilt dass D [mm] \cap [/mm] U [mm] \not= \{\}
[/mm]
Proposition:
D dicht in X <=> [mm] \overline{D} [/mm] = X |
Beweis:
=> [mm] \forall [/mm] U offen => (D [mm] \cap) \not= \{\}
[/mm]
X ohne [mm] \overline{D} [/mm] offen
-> (D [mm] \cap [/mm] X\ [mm] \overline{D} [/mm] ) [mm] \not= \{ \}
[/mm]
nur möglich wenn X \ [mm] \overline{D} =\{ \}
[/mm]
Den Beweis denke ich verstanden zu haben
<=
Haben wir gemacht ich verstehe ihn aber 0 %
Betrachte [mm] ((D^c)^o)^c [/mm] = [mm] \overline{D}
[/mm]
<=> [mm] (((D^c)^o)^c)^c [/mm] = [mm] \overline{D}^c
[/mm]
rechte Seite = [mm] \{\} [/mm] weil [mm] \overline{D}=X
[/mm]
Betrachte (U [mm] \cap [/mm] X) = [mm] (U\cap(D \cup D^c)) [/mm] = (U [mm] \cap [/mm] D) [mm] \cup [/mm] ( U [mm] \cap D^c) [/mm] => (D [mm] \cap [/mm] U) [mm] \not= \{ \}
[/mm]
Kann mir den beweis wer erklären??
Danke
LG
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Hallo,
> Definition:
> Eine Menge D [mm]\subset[/mm] X ist dicht in X , wenn [mm]\forall[/mm]
> ofenne Mengen U gilt dass D [mm]\cap[/mm] U [mm]\not= \{\}[/mm]
>
> Proposition:
> D dicht in X <=> [mm]\overline{D}[/mm] = X
> Beweis:
> => [mm]\forall[/mm] U offen => (D [mm]\cap) \not= \{\}[/mm]
> X ohne
> [mm]\overline{D}[/mm] offen
> -> (D [mm]\cap[/mm] X\ [mm]\overline{D}[/mm] ) [mm]\not= \{ \}[/mm]
> nur möglich
> wenn X \ [mm]\overline{D} =\{ \}[/mm]
> Den Beweis denke ich
> verstanden zu haben
Gut 
> <=
> Haben wir gemacht ich verstehe ihn aber 0 %
> Betrachte [mm]((D^c)^o)^c[/mm] = [mm]\overline{D}[/mm]
Das sind Rechenregeln. (Die Herleitung von diesen gehört nicht zum Beweis, das müsst ihr also schonmal vorher gemacht haben)
> <=> [mm](((D^c)^o)^c)^c[/mm] = [mm]\overline{D}^c[/mm]
Hier wurde auf beiden Seiten das Komplement gebildet.
> rechte Seite = [mm]\{\}[/mm] weil [mm]\overline{D}=X[/mm]
Also hast du jetzt (weil [mm] $(A^{c})^{c} [/mm] = A$):
[mm] $(D^{c})^{o} [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] (*)
Sei nun $U [mm] \subset [/mm] X$ eine beliebige offene Menge, $U [mm] \not= \emptyset$ [/mm] (das gehört mit zur Definition von Dichtheit, dass die Menge nicht leer sein darf). Wir wollen zeigen, dass $U [mm] \cap [/mm] D [mm] \not= \emptyset$. [/mm]
> Betrachte U = (U [mm]\cap[/mm] X) = [mm](U\cap(D \cup D^c))[/mm] = (U [mm]\cap[/mm] D)
> [mm]\cup[/mm] ( U [mm]\cap D^c)[/mm]
Bis hierhin sind nur Rechenregeln angewandt worden.
Angenommen, es wäre $U [mm] \cap [/mm] D = [mm] \emptyset$. [/mm] Dann wäre
$U = U [mm] \cap D^{c}$
[/mm]
Jetzt wenden wir auf beiden Seiten [mm] $()^{o}$ [/mm] (Inneres bilden) an und benutzen auf der rechten Seite eine weitere Rechenregel:
[mm] $U^{o} [/mm] = [mm] U^{o} \cap (D^{c})^{o}$
[/mm]
Weil $U$ offen ist, gilt [mm] $U^{o} [/mm] = U$. Wegen (*) folgt insgesamt: $U = [mm] =\emptyset$, [/mm] ein Widerspruch.
Viele Grüße,
Stefan
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> $ [mm] (((D^c)^o)^c)^c [/mm] $ = $ [mm] \overline{D}^c [/mm] $
Was wären das für rechenregeln? Dies war eine Aufgabe in Rahmen von Analysis 1 - Könntest du mit vlt die Regel aufschreiben sodass ich wüsste nach was ich suchen muss?
Ich kenne nur die regel: F abgeschlossen <=> [mm] F^c [/mm] offen..
> $ U = U [mm] \cap D^{c} [/mm] $
> Jetzt wenden wir auf beiden Seiten $ [mm] ()^{o} [/mm] $ (Inneres bilden) an und benutzen auf der rechten Seite eine weitere Rechenregel:
> $ [mm] U^{o} [/mm] = [mm] U^{o} \cap (D^{c})^{o} [/mm] $
Hat die rechenregel (A [mm] \cup B)^o [/mm] = [mm] A^o \cup B^o [/mm] damit zu tun dass die Vereinigung von offenen mengen offen ist? Und die vereinigung von abgeschlossenen mengen abgeschlossen?
LG,danke
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Hallo,
> > [mm](((D^c)^o)^c)^c[/mm] = [mm]\overline{D}^c[/mm]
> Was wären das für rechenregeln?
Nun, hier wurde eben verwendet:
[mm] $((D^{c})^{o})^{c} [/mm] = [mm] \overline{D}$.
[/mm]
Ich weiß leider nicht, unter welchen Begriff das fällt. Aber wenn das bei euch in der Vorlesung so bewiesen wurde, müsste doch vorher auch etwas zu diesen Regeln gesagt worden sein?
> Dies war eine Aufgabe in
> Rahmen von Analysis 1 - Könntest du mit vlt die Regel
> aufschreiben sodass ich wüsste nach was ich suchen muss?
> Ich kenne nur die regel: F abgeschlossen <=> [mm]F^c[/mm] offen..
Die hilft hier aber nicht.
> > [mm]U = U \cap D^{c}[/mm]
>
> > Jetzt wenden wir auf beiden Seiten [mm]()^{o}[/mm] (Inneres bilden)
> an und benutzen auf der rechten Seite eine weitere
> Rechenregel:
>
> > [mm]U^{o} = U^{o} \cap (D^{c})^{o}[/mm]
> Hat die rechenregel (A
> [mm]\cup B)^o[/mm] = [mm]A^o \cup B^o[/mm] damit zu tun dass die Vereinigung
> von offenen mengen offen ist?
Etwas.
Aber die von dir aufgeschriebene Rechenregel gilt gar nicht (bsp: A = (0,1), B = [1,2).)
Es gilt nur
$(A [mm] \cap B)^{o} [/mm] = [mm] A^{o} \cap B^{o}$
[/mm]
und
[mm] $\overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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> $ [mm] ((D^{c})^{o})^{c} [/mm] = [mm] \overline{D} [/mm] $.
> Ich weiß leider nicht, unter welchen Begriff das fällt. Aber wenn das bei euch in der Vorlesung so bewiesen wurde, müsste doch vorher auch etwas zu diesen Regeln gesagt worden sein?
Nein leider nicht. der Prof hat eine zeichung gemacht um uns das zu skizzieren. Ich hab da aber nicht wirklich was mitnehmen können davon..
Kann ich irgendwo nachschlagen bez der Rechenregel?
LG
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Hallo,
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> > [mm]((D^{c})^{o})^{c} = \overline{D} [/mm].
>
> > Ich weiß leider nicht, unter welchen Begriff das fällt.
> Aber wenn das bei euch in der Vorlesung so bewiesen wurde,
> müsste doch vorher auch etwas zu diesen Regeln gesagt
> worden sein?
> Nein leider nicht. der Prof hat eine zeichung gemacht um
> uns das zu skizzieren. Ich hab da aber nicht wirklich was
> mitnehmen können davon..
> Kann ich irgendwo nachschlagen bez der Rechenregel?
Man kann ja definieren:
[mm] $M^{o} [/mm] = [mm] \bigcup_{U \subset M, U \mbox{ offen}}U$, [/mm] und [mm] $\overline{M} [/mm] = [mm] \bigcap_{A \supset M, A \mbox{ abgeschlossen}} [/mm] A$.
Wenn du diese Definitionen hinnimmst, ist es im Wesentlichen die "De Morgansche Regel" (beim zweiten Gleichheitszeichen):
[mm] $((D^{c})^{o})^{c} [/mm] = [mm] \left(\bigcup_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}}U\right)^{c} [/mm] = [mm] \bigcap_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}} U^{c}$
[/mm]
Jetzt schreibe $A = [mm] U^{c}$ [/mm] abgeschlossen
% = [mm] \bigcap_{A^{c} \subset D^{c}, A \mbox{ abgeschlossen}} [/mm] A = [mm] \bigcap_{A \supset D, A \mbox{ abgeschlossen}} [/mm] A = [mm] \overline{D}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo, danke für die Antwort.
Ich verstehe die Gleichheit jedoch nicht:
[mm] \left(\bigcup_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}}U\right)^{c} [/mm] = [mm] \bigcap_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}} U^{c} [/mm]
Kannst du diese mir vlt. nochmal kurz erklären, wie du darauf kommst. Ich verstehe nicht ganz wieso da dann plötzlich eine Durchschnitt steht und keine vereinigung mehr.
lg
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Hallo,
> Ich verstehe die Gleichheit jedoch nicht:
> [mm]\left(\bigcup_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}}U\right)^{c}[/mm]
> = [mm]\bigcap_{U \subset D^{c}, U \mbox{ offen}} U^{c}[/mm]
> Kannst du diese mir vlt. nochmal kurz erklären, wie du
> darauf kommst. Ich verstehe nicht ganz wieso da dann
> plötzlich eine Durchschnitt steht und keine vereinigung
> mehr.
Das sind die ![[]](/images/popup.gif) De Morganschen Gesetze.
Viele Grüße,
Stefan
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