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| Aufgabe | Gebe die Menge alle x [mm] \in \IR [/mm] mit
|12-3x| < |2x-5|
als Vereinigung von möglichst wenigen Intervallen an. |
Hallo,
habe ich die richtige Lösung?
[mm] ]\bruch{17}{5},7[ [/mm] und [mm] ]7,\infty[
[/mm]
Wahrscheinlich nicht :-(
Gruß,
Anna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Anna,
das erste Intervall scheint zu stimmen, das zweite kann nicht sein, denn
wenn $x>7$, dann ist $12-3x<0 [mm] \Rightarrow [/mm] |12-3x|=3x-12$ und $2x-5>0 [mm] \Rightarrow [/mm] |2x-5|=2x-5$
Damit hättest du die Ungleichung $3x-12<2x-5 [mm] \gdw [/mm] x<7$
Das ist aber ein Widerspruch zu $x>7$
PS: Wenn du deine Rechnungen - zumindest im Ansatz - mitpostest, ist das Kontrollieren einfacher 
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich habe Fallunterscheidung gemacht.
Auf das zweite Intervall bin ich durch den Fall
|12-3x| [mm] \ge [/mm] 0 und |2x-5| < 0 gekommen.
d.h.
12-3x < 5-2x
12 < 5-2x+3x
7 < -2x + 3x
7 < x
Aber dass mit dem Widerspruch von Dir sehe ich natürlich ein.
Wo ist da mein Denkfehler?
Gruß,
Anna
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Hallo nochmal,
damit [mm] 12-3x\ge [/mm] 0 und 2x-5<0 sind, ergibt sich für x die Einschränkung:
[mm] 12\ge [/mm] 3x und 2x<5
also [mm] x\le [/mm] 4 und [mm] x<\frac{5}{2}, [/mm] also insgesamt [mm] x<\frac{5}{2}
[/mm]
Damit ergibt sich für [mm] $x<\frac{5}{2}$ [/mm] für die Ungleichung $|12-3x|<|2x-5|$:
[mm] 12-3x<5-2x\gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] x>7
Also muss [mm] x<\frac{5}{2} [/mm] und gleichzeitig $x>7$ sein, und das ist nicht möglich, also keine Lösung in diesem Falle
Gruß
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ja genau so hatte ich es. Mein Denkfehler war also, dass dann nicht x>7 gilt sondern halt [mm] \emptyset. [/mm] Danke!
Also gibt es nur das eine Intervall, korrekt?
Gruß,
Anna
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jo, das denke ich auch
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 So 15.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Super. Dann lag ich ja gar nicht so verkehrt 
Viiiielen Dank!
Gruß,
Anna
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Hallo,
noch eine andere Sache: Wenn |x-2|+|4x-1| [mm] \le [/mm] 7 gegeben ist, dann liegt es ja auf der Hand, dass das Intervall der Menge [mm] ]-\infty,2] [/mm] sein muss.
Ich wollte das nun ebenfalls mit Fallunterscheidung beweisen.
Für den Fall x-2 [mm] \ge [/mm] 0 und 4x - 1 <0
bekomme ich x [mm] \ge [/mm] 2 und x > [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus, also x [mm] \ge [/mm] 2
x - 2 + 1 - 4x [mm] \le [/mm] 7 ergibt x [mm] \ge [/mm] - [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
Aber x kann doch nicht x [mm] \ge [/mm] 2 sein? Wo ist da mein Denkfehler?
Gruß,
Anna
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Hallo Anna und Moment mal
Wenn [mm] $x-2\ge [/mm] 0$, also [mm] $x\ge2$ [/mm] ist, so ist doch [mm] $4x\ge [/mm] 8$ und damit [mm] $4x-1\ge [/mm] 7$
Damit sind beide Ausdrücke innerhalb der Beträge für [mm] $x\ge [/mm] 2$ positiv und du hast die Ungleichung:
[mm] $|x-2|+|4x-1|\le 7\gdw 5x\le 10\gdw x\le [/mm] 2$
Also [mm] $x\ge 2\wedge x\le 2\Rightarrow [/mm] x=2$
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
> Wenn [mm]x-2\ge 0[/mm], also [mm]x\ge2[/mm] ist, so ist doch [mm]4x\ge 8[/mm] und
> damit [mm]4x-1\ge 7[/mm]
>
> Damit sind beide Ausdrücke innerhalb der Beträge für [mm]x\ge 2[/mm]
> positiv und du hast die Ungleichung:
>
> [mm]|x-2|+|4x-1|\le 7\gdw 5x\le 10\gdw x\le 2[/mm]
Öhm! Klar. Logisch! Ich glaube die Sonne (ver)blendet mich
Aber nur noch mal kurz für mein Verständnis: Ich mache ja die Fallunterscheidung und bekommen dann ja immer raus, ob x größer/gleich oder kleiner Null ist.
Wenn es größer-gleich Null, also positiv, dann lasse ich einfach in der Gleichung die Betragsstriche weg. Ansonsten halt - davor. Mein Fehler war gewesen, dass ich einfach vom Ausgangsfall (also größergleich oder kleiner Null gesetzt) ausgegangen bin und unabhängig von diesem Ergebnis einfach identisch die Fallunterscheidung in die Gleichung eingesetzt habe. Verwirrend. Doof Ok, nun habe ich es aber richtig wiedergegeben respektive verstanden, oder?
Danke!
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 18.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo jnochmal,
neben dem Fall $x\ge 2$ bleibt ja noch zu untersuchen,m was mit $x<2$ los ist.
Fall2: $x<2$
(2.1) $x<2\wedge x\ge\frac{1}{4}$
$\Rightarrow |x-2|+|4x-1|\le 7\gdw 2-x+4x-1\le 7\gdw x\le2$
Also isgesamt für diesen Fall $x\ge 2 \wedge x<2$, also $x\in [\frac{1\{4},2)$
(2.2) $x<2\wedge x<\frac{1}{4}$
$\Rightarrow |x-2|+|4x-1|\le 7\gdw 2-x+1-4x\le 7\gdw ....... x\ge -\frac{4}{5}$
Damit als Vereinigung aller drei Lösungsmengen:
$\IL=[-\frac{4}{5},2]$
Gruß
schachuzipus
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Hi,
stark. Ich hatte auch [mm] ]-\bruch{4}{5},2] [/mm] raus. Dachte aber eigentlich, dass es - [mm] \infty [/mm] sein muss? Aber ehrlich gesagt, wenn jetzt darüber nachdenke, kann es gar nicht - [mm] \infty [/mm] sein. Keine Ahnung was ich mir dabei gedacht hatte.
Danke!
Gruß,
Anna
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Hallo nochmal,
ein kleiner Tipp vllt. noch.
Du kannst das zeichnerisch immer sehr gut kontrollieren:
Schreibe die Ungleichung um zu [mm] $|x-2|\le [/mm] 7-|4x-1|$
Dann zeichne die Betragsfunktionen auf beiden Seiten, dann siehst du wo sie sich schneiden.
"Kleinergleich" bedeutet dann, dass der Graph der Funktion auf der linken Seite unterhalb des Graphen der Funktion auf der rechten Seite verläuft. (einschließlich Schnittpunkten).
Gruß
schachuzipus
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