Menge aller Abbildungen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 So 03.02.2019 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Aussage aus der Literatur:
Die Menge [mm] $X^{\{1,2,...,n\}}$ [/mm] aller Abbildungen von [mm] $\{1,2,...,n\}$ [/mm] nach $X$ ist nichts anderes, als die Menge aller n-Tupel über X, also gleich [mm] $X^{n}$ [/mm] dem n-fachen kartesischen Produkt von $X$ mit sich selbst. |
Ich zeige nun, dass die Aussage unwahr ist:
Sei $X := [mm] \{a, b\}$
[/mm]
[mm] $X^{\{1,2\}}$ [/mm] ist die Menge aller Abbildungen von [mm] $\{1,2\}$ [/mm] nach $X = [mm] \{a,b\}$. [/mm] Nach der obigen Definition ist dies gleich der Menge aller n-Tupel. Diese sind schnell aufgezählt: [mm] \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}. [/mm] Dies soll nach Definition jedoch mit dem n-fachen kartesischen Produkt von $X$ mit sich selbst übereinstimmen. Dieses ist [mm] $X^{2} [/mm] = [mm] \{a,b\}\times \{a,b\} [/mm] = [mm] \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$
[/mm]
Damit ist [mm] $\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \not= \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$
[/mm]
Ich nehme an, dass ich Unrecht habe. Wo ist mein Denkfehler?
Grüße
Thomas
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Hiho,
> Ich zeige nun, dass die Aussage unwahr ist:
Mutig.
> Ich nehme an, dass ich Unrecht habe. Wo ist mein Denkfehler?
Das nehm ich mal vorweg: Ja hast du.
> Sei [mm]X := \{a, b\}[/mm]
> [mm]X^{\{1,2\}}[/mm] ist die Menge aller
> Abbildungen von [mm]\{1,2\}[/mm] nach [mm]X = \{a,b\}[/mm].
> Nach der obigen Definition ist dies gleich der Menge aller n-Tupel.
Ja.
> Diese sind schnell aufgezählt: [mm]\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}.[/mm]
Nö.
Es ist $n=2$, aber das was du aufgeschrieben hast sind keine 2-Tupel über X, sondern das sind 2 Tupel aus [mm] $\{1,2\} \times [/mm] X$.
2-Tupel über X haben die Form $(x,y)$ mit $x,y [mm] \in [/mm] X$.
D.h. in deinem Fall sind alle 2-Tupel über X eben: $(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)$
Und: Das passt ganz wunderbar zur Literaturaussage, dass ist nämlich nichts anderes als [mm] $X^2$
[/mm]
Die Idee hinter der Aussage aus deiner Literatur ist eigentlich ganz einfach: Du möchtest alle Abbildungen von [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] nach X charakterisieren.
Da du einen endlichen Urbildraum betrachtest, sind sämtliche mögliche Funktionen $f$ also eindeutig durch die endlich vielen Funktionswerte [mm] $f(1),\ldots,f(n)$ [/mm] bestimmt.
Bezeichnen wir nun $f(1) = [mm] x_1, \ldots, [/mm] f(n) = [mm] x_n$ [/mm] so ist jede Funktion also eindeutig bestimmt durch das n-Tupel [mm] $(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$. [/mm] Umgekehrt definiert mir genauso jedes n-Tupel eine mögliche Funktion [mm] $\{1,\ldots,n\} \to [/mm] X$
Aber: Deine Unklarheit kommt eher aus der etwas schwammigen Aussage aus deiner Literatur.
Mathematisch sauberer formuliert müsste die Aussage nämlich lauten:
Die Menge $ [mm] X^{\{1,2,...,n\}} [/mm] $ aller Abbildungen von $ [mm] \{1,2,...,n\} [/mm] $ nach $X$ kann interpretiert werden als die Menge aller n-Tupel über X, also gleich $ [mm] X^{n} [/mm] $ dem n-fachen kartesischen Produkt von $ X $ mit sich selbst.
Wobei "interpretiert werden" meint, es gibt eine natürliche bijektive Abbildung von der Menge $ [mm] X^{\{1,2,...,n\}} [/mm] $ auf [mm] $X^n$, [/mm] nämlich gerade die oben beschriebene Abbildung:
$f [mm] \mapsto (f(1),\ldots,f(n))$
[/mm]
Denn: Natürlich unterscheiden sich die Mengen schon.
[mm] $X^{\{1,2,...,n\}}$ [/mm] ist eine Menge von Funktionen
[mm] $X^n$ [/mm] ist eine Menge von n-Tupeln mit Elementen aus $X$.
Folglich können beide Mengen im Allgemeinen nicht gleich sein.
Aber man kann sie miteinander über eine Bijektion identifizieren.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 03.02.2019 | | Autor: | magics |
Hallo Gono,
ich korrigiere zunächst meinen Fehler und schreibe [mm] $X^{\{1,2\}} [/mm] = [mm] X^{2} [/mm] = [mm] \{(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)\}$. [/mm] Die Menge [mm] $X^{2}$ [/mm] ist also so zu verstehen, dass es die Abbildungen
[mm] $f_1: [/mm] f(1) = a, f(2) = a$,
[mm] $f_2: [/mm] f(1) = a, f(2) = b$,
[mm] $f_3: [/mm] f(1) = b, f(2) = a$,
[mm] $f_4: [/mm] f(1) = b, f(2) = b$
gibt. Zum Beispiel ist das n-Tupel $(b,a)$ eindeutig charakteristisch für [mm] $f_3$ [/mm] von oben. Ist das korrekt?
> Aber: Deine Unklarheit kommt eher aus der etwas schwammigen
> Aussage aus deiner Literatur.
> Mathematisch sauberer formuliert müsste die Aussage
> nämlich lauten:
> Die Menge [mm]X^{\{1,2,...,n\}}[/mm] aller Abbildungen von
> [mm]\{1,2,...,n\}[/mm] nach [mm]X[/mm] kann interpretiert werden als die
> Menge aller n-Tupel über X, also gleich [mm]X^{n}[/mm] dem n-fachen
> kartesischen Produkt von [mm]X[/mm] mit sich selbst.
>
> Wobei "interpretiert werden" meint, es gibt eine
> natürliche bijektive Abbildung von der Menge
> [mm]X^{\{1,2,...,n\}}[/mm] auf [mm]X^n[/mm], nämlich gerade die oben
> beschriebene Abbildung:
> [mm]f \mapsto (f(1),\ldots,f(n))[/mm]
Danke! Im Buch steht tatsächlich (weiter oben), dass man das "auffassen kann als...". Diese kleine aber entscheidende Formulierung habe ich völlig ignoriert und so kam eins zum andern.
Grüße
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Mo 04.02.2019 | | Autor: | Marc |
Hallo magics,
> ich korrigiere zunächst meinen Fehler und schreibe
> [mm]X^{\{1,2\}} = X^{2} = \{(a,a),(a,b)(b,a)(b,b)\}[/mm]. Die Menge
> [mm]X^{2}[/mm] ist also so zu verstehen, dass es die Abbildungen
>
> [mm]f_1: f(1) = a, f(2) = a[/mm],
> [mm]f_2: f(1) = a, f(2) = b[/mm],
> [mm]f_3: f(1) = b, f(2) = a[/mm],
>
> [mm]f_4: f(1) = b, f(2) = b[/mm]
>
> gibt. Zum Beispiel ist das n-Tupel [mm](b,a)[/mm] eindeutig
> charakteristisch für [mm]f_3[/mm] von oben. Ist das korrekt?
Das ist vollkommen korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Marc
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