Menge aller Punkte bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:18 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie in der x-y-Ebene die Menge aller Punkte z=x+iy, für die gilt: |z|+Im(z+1)=1 und geben Sie eine Skizze an. |
Hallo,
Ich weiß nicht ganz genau, wie ich auf die y-Werte komme, bzw. ob mein Ansatz richtig ist. Es wäre nett, wenn mal jemand drüberschauen könnte und mich korrigiert bzw. Tipps gibt.
Mein Lösungsansatz:
|z|+Im(z+1)=1
[mm] \Rightarrow |z|=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] und Im(z+1)=Im(x+iy+1)=iy
(Die 1 kann für den Imaginärteil ignoriert werden, weil sie zum Realteil gehört, oder?)
[mm] \Rightarrow |z|+Im(z+1)=1=\wurzel{x^2+y^2}+iy
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+y^2}+iy=1[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
[mm] x^2+y^2+i^2y^2=1 [/mm]
[mm] x^2+y^2-y^2=1 [/mm]
[mm] x^2=1 \to x_{1,2}=\pm1
[/mm]
y könnte ja jetzt praktisch jeden Wert annehmen (das wären dann einfach nur 2 Geraden, die durch x= 1 und x=-1 gehen. Wäre das schon die Lösung?
Danke schon mal für die Hilfe
lg
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:51 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es gilt Im(x+iy+1)=y (das i gehört nicht dazu!).
Daher ändert sich auch deine Rechnung etwas.
Und dort wo du quadriert hast, musst du auch noch einmal drüberschauen. Denn [mm] (a+b)^2 [/mm] ist doch im Allgemeinen nicht [mm] a^2+b^2!
[/mm]
Ansonsten ist die Herangehensweise aber natürlich richtig. Vielleicht solltest du zu menschlicheren Zeiten noch einmal alles durchgehen. :) Gute Nacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Danke erstmal,
war wohl wirklich nicht die richtige Uhrzeit. Ich versuchs noch mal ^^
|z|+Im(z+1)=1
[mm]\Rightarrow |z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und Im(z+1)=Im(x+iy+1)=y
[mm]\Rightarrow |z|+Im(z+1)=1=\wurzel{x^2+y^2}+y[/mm]
[mm]\wurzel{x^2+y^2}+y=1[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
[mm](x^2+y^2)+2y*\wurzel{x^2+y^2}+y^2=1[/mm] [mm]\qquad |- (x^2+y^2)/-y^2/:2y[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+y^2}=\bruch{1-(x^2+y^2)-y^2}{2y}[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
[mm] x^2+y^2={(\bruch{1-(x^2+y^2)-y^2}{2y})}^2
[/mm]
[mm] x^2+y^2={(\bruch{1-x^2}{2y})}^2
[/mm]
[mm] x^2+y^2=(\bruch{1+x^2-2x}{4y^2})
[/mm]
aber irgendwie bekomm ich die Gleichung nicht so aufgelöst, dass ich auf jeder Seite nur eine Variable stehen hab. entweder is die gleichung wieder nich richtig oder ich übersehe immer irgendeinen Schritt. Vielleicht hat jémand nen Tipp für mich.
Danke schon mal für die Hilfe.
lg
Klemme
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Hallo Klemme,
> Danke erstmal,
> war wohl wirklich nicht die richtige Uhrzeit. Ich versuchs
> noch mal ^^
>
> |z|+Im(z+1)=1
> [mm]\Rightarrow |z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und Im(z+1)=Im(x+iy+1)=y
> [mm]\Rightarrow |z|+Im(z+1)=1=\wurzel{x^2+y^2}+y[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}+y=1[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
Oh wei, erst die olle Wurzel isolieren!
[mm]\sqrt{x^2+y^2}+y=1[/mm]
[mm]\gdw\sqrt{x^2+y^2}=1-y[/mm]
Nun quadrieren und alles löst sich in Wohlgefallen auf ..
>
> [mm](x^2+y^2)+2y*\wurzel{x^2+y^2}+y^2=1[/mm] [mm]\qquad |- (x^2+y^2)/-y^2/:2y[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}=\bruch{1-(x^2+y^2)-y^2}{2y}[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2={(\bruch{1-(x^2+y^2)-y^2}{2y})}^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2={(\bruch{1-x^2}{2y})}^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2=(\bruch{1+x^2-2x}{4y^2})[/mm]
>
> aber irgendwie bekomm ich die Gleichung nicht so
> aufgelöst, dass ich auf jeder Seite nur eine Variable
> stehen hab. entweder is die gleichung wieder nich richtig
> oder ich übersehe immer irgendeinen Schritt. Vielleicht
> hat jémand nen Tipp für mich.
Ich hab das nicht weiter nachgehalten; vor dem Quadrieren IMMER Qurzeln isolieren (wenn möglich)
>
> Danke schon mal für die Hilfe.
>
> lg
>
> Klemme
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hi Schachuzipus,
das is wirklich wesentlich einfacher. Also nochmal:
|z|+Im(z+1)=1
[mm]\Rightarrow |z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und Im(z+1)=Im(x+iy+1)=y
[mm]\Rightarrow |z|+Im(z+1)=1=\wurzel{x^2+y^2}+y[/mm]
[mm]\sqrt{x^2+y^2}+y=1[/mm] [mm]\qquad |-y[/mm]
[mm] \sqrt{x^2+y^2}=1-y[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
[mm] x^2+y^2=1-2y+y^2[/mm] [mm]\qquad |-y^2[/mm]
[mm] x^2=1-2y
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\bruch{-1+x^2}{2} [/mm]
Somit ist die Menge aller Punkte M={x,y| [mm] x,y\in \IR \wedge y=\bruch{-1+x^2}{2} [/mm] }
das sollte dann ne Parabel sein mit Scheitelpunkt [mm] S(0,-\bruch{1}{2})
[/mm]
Ich hoffe, das ist diesmal richtig.
lg
Klemme
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Hallo Klemme,
> Hi Schachuzipus,
>
> das is wirklich wesentlich einfacher. Also nochmal:
>
>
> |z|+Im(z+1)=1
> [mm]\Rightarrow |z|=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] und Im(z+1)=Im(x+iy+1)=y
> [mm]\Rightarrow |z|+Im(z+1)=1=\wurzel{x^2+y^2}+y[/mm]
>
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}+y=1[/mm] [mm]\qquad |-y[/mm]
>
> [mm]\sqrt{x^2+y^2}=1-y[/mm] [mm]\qquad |^2[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2=1-2y+y^2[/mm] [mm]\qquad |-y^2[/mm]
>
> [mm]x^2=1-2y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y=\bruch{-1+x^2}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Somit ist die Menge aller Punkte M={x,y| [mm]x,y\in \IR \wedge y=\bruch{-1+x^2}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
Beachte , daß [mm]1-2*y \ge 0[/mm] sein muß.
Daraus erhältst Du die Menge der x, für die das gilt.
>
> das sollte dann ne Parabel sein mit Scheitelpunkt
> [mm]S(0,-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Ich hoffe, das ist diesmal richtig.
>
> lg
>
> Klemme
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hallo mathepower,
wenn
[mm] 1-2*y\ge0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \le -\bruch{1}{2}
[/mm]
Somit ist die Menge aller Punkte M={x,y| [mm] x,y\in \IR \wedge y=\bruch{-1+x^2}{2} \wedge [/mm] y [mm] \le -\bruch{1}{2} [/mm] }
Das wäre somit nur der Punkt [mm] P(0;-\bruch{1}{2}) [/mm] ?
lg
Klemme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Und hier stand auch Unsinn.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Hallo mathepower,
>
> wenn
> [mm]1-2*y\ge0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\le -\bruch{1}{2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schon wieder Vorzeichenchaos!
Meine Güte ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hi Schachuzipus,
das is echt peinlich. ich werd aufhören, aufgaben im Kopf umzustellen. Danke für die Geduld beim korrigieren. y is dann kleiner als [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
lg
Klemme
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Hallo nochmal,
> [mm]x^2=1-2y[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y=\bruch{-1+x^2}{2}[/mm]
Uffpasse mit den Vorzeichen ...
Da stimmt was nicht!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
huch,
das is natürlich
y= [mm] \bruch {1-x^2}{2}, [/mm] dann is das ne parabel nach unten und die Menge aller Punkte ist
M={x,y| [mm] x,y\in \IR \wedge y=\bruch{-1+x^2}{2} \wedge [/mm] y [mm] \le -\bruch{1}{2} [/mm] } und die parabel muss ich dann erst ab y [mm] \le\bruch{1}{2} [/mm] zeichnen
lg
Klemme
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Hi,
> huch,
>
> das is natürlich
> y= [mm]\bruch {1-x^2}{2},[/mm] dann is das ne parabel nach unten
> und die Menge aller Punkte ist
>
> [mm] $M=\{x,y| x,y\in \IR \wedge y=\bruch{\red{1-x^2}}{2} \wedge y \le \bruch{1}{2}\}$ [/mm] und die parabel muss ich dann erst ab y [mm]\le\bruch{1}{2}[/mm]
> zeichnen
>
> lg
>
> Klemme
Naja und es muss heißen [mm] $y\leq \frac{1}{2}$.
[/mm]
Dann ist die Parabel komplett
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Hi Kamaleonti,
ja jetzt hab ichs. Danke noch für die Korrekturen.
lg
Klemme
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