Menge des Quotientenrings < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Kupfer34 |
| Aufgabe 1 | Es seien R ein Integritätsbereich, [mm] S \subseteq R[/mm] \ {0} ein multiplikatives Monoid und [mm] \bar a [/mm] ein Ideal von R.
Zeigen Sie: a) die Menge [mm] S^{-1} \bar a =\{\bruch{a}{s}|a\in \bar a , s\in S \} [/mm] aller Brüche mit Zähler in [mm] \bar a [/mm] ist ein Ideal vom Quotientenring [mm] S^{-1} R [/mm]. Bestimmen Sie [mm] S^{-1} \bar a [/mm] falls [mm] \bar a\cap S\ne \emptyset [/mm] . |
| Aufgabe 2 | | b) Zeigen Sie desweiteren, jedes Ideal des Quotientenrings [mm] S^{-1} R [/mm] ist von der Form [mm] S^{-1} \bar b [/mm] für ein geeignetes Ideal [mm]\bar b [/mm] von R. |
Meine Frage bezieht sich zunächst darauf, dass ich nicht weis, wie man diese Menge in a) bestimmt. Ich habe jetzt erstmal angefangen und mir die Begrifflichkeiten deutlich gemacht. Der Zähler a soll dementsprechend aus dem Quotientenkörper stammen und soll ein Ideal dessen sein. Aber Ideale sind doch im allgemeinen Ringe ohne 1-Element. Kann das denn sein? Der Nenner es soll aus S sein und S ist lt. Aufgabenstellung ein multiplikatives Monoid (multiplikatives Inverses), also 1?
Diese Aufgaben verwirren mich und ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien R ein Integritätsbereich, [mm]S \subseteq R[/mm] \ {0}
> ein multiplikatives Monoid und [mm]\bar a[/mm] ein Ideal von R.
> Zeigen Sie: a) die Menge [mm]S^{-1} \bar a =\{\bruch{a}{s}|a\in \bar a , s\in S \}[/mm]
> aller Brüche mit Zähler in [mm]\bar a[/mm] ist ein Ideal vom
> Quotientenring [mm]S^{-1} R [/mm]. Bestimmen Sie [mm]S^{-1} \bar a[/mm]
> falls [mm]\bar a\cap S\ne \emptyset[/mm] .
> b) Zeigen Sie desweiteren, jedes Ideal des Quotientenrings
> [mm]S^{-1} R[/mm] ist von der Form [mm]S^{-1} \bar b[/mm] für ein geeignetes
> Ideal [mm]\bar b[/mm] von R.
> Meine Frage bezieht sich zunächst darauf, dass ich nicht
> weis, wie man diese Menge in a) bestimmt.
Leider weiß ich auch nicht, was der Aufgabensteller damit meint.
> Ich habe jetzt
> erstmal angefangen und mir die Begrifflichkeiten deutlich
> gemacht. Der Zähler a soll dementsprechend aus dem
> Quotientenkörper stammen und soll ein Ideal dessen sein.
$ a $ soll ein Ideal sein?? Mitnichten. [mm] $\bar [/mm] {a} $ soll ein Ideal von R sein, aber dieses ist nirgends ein Nenner.
> Aber Ideale sind doch im allgemeinen Ringe ohne 1-Element.
> Kann das denn sein?
Suche dir eure Definition von Ideal heraus und versuche alle Teile diese Definition zu zeigen. Wenn du bei einem Punkt nicht weiter kommst, verrate uns dein Problem damit.
> Der Nenner es soll aus S sein und S ist
> lt. Aufgabenstellung ein multiplikatives Monoid
> (multiplikatives Inverses), also 1?
Ist dir ubüberhaupt klar, was Lokalisierung ist, um die es hier geht? Falls nein, verstehe erstmal die Definition von $ [mm] S^{-1} [/mm] A $!
Und dann stelle am besten konkrete (!) Verständnisfragen.
> Diese Aufgaben verwirren mich und ich wäre für Hilfe sehr
> dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Sa 15.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Kupfer34!
Ergänzend zur anderen Antwort:
> Es seien R ein Integritätsbereich, [mm]S \subseteq R[/mm] \ {0}
> ein multiplikatives Monoid und [mm]\bar a[/mm] ein Ideal von R.
> Zeigen Sie: a) die Menge [mm]S^{-1} \bar a =\{\bruch{a}{s}|a\in \bar a , s\in S \}[/mm]
> aller Brüche mit Zähler in [mm]\bar a[/mm] ist ein Ideal vom
> Quotientenring [mm]S^{-1} R [/mm]. Bestimmen Sie [mm]S^{-1} \bar a[/mm]
> falls [mm]\bar a\cap S\ne \emptyset[/mm] .
> Meine Frage bezieht sich zunächst darauf, dass ich nicht
> weis, wie man diese Menge in a) bestimmt.
Du sollst sie unter der zusätzlichen Voraussetzung [mm] $\bar a\cap S\ne \emptyset$ [/mm] bestimmen.
Gemäß dieser Voraussetzung existiert ein [mm] $r\in\bar a\cap [/mm] S$.
Jetzt betrachte mal [mm] $\frac{r}{r}\in S^{-1}\bar [/mm] a$ ...
> Ich habe jetzt
> erstmal angefangen und mir die Begrifflichkeiten deutlich
> gemacht. Der Zähler a soll dementsprechend aus dem
> Quotientenkörper stammen
Nein. Er stammt aus $R$.
> und soll ein Ideal dessen sein.
Er soll Element des Ideals [mm] $\bar [/mm] a$ sein.
> Aber Ideale sind doch im allgemeinen Ringe ohne 1-Element.
Habt ihr keine explizitere Charakterisierung, wann eine Teilmenge [mm] $\bar a\subseteq [/mm] R$ ein Ideal ist?
Ich denke etwa an:
Eine Teilmenge [mm] $\overline{a}\subseteq [/mm] R$ ist ein Ideal in $R$, falls gilt:
a) [mm] $\overline{a}\not=\emptyset$
[/mm]
b) Für alle [mm] $a,b\in\overline{a}$ [/mm] ist auch [mm] $a+b\in\overline{a}$.
[/mm]
c) Für alle [mm] $a\in\overline{a}$ [/mm] und alle [mm] $r\in [/mm] R$ ist auch [mm] $r*a\in\overline{a}$.
[/mm]
> Kann das denn sein? Der Nenner es soll aus S sein und S ist
> lt. Aufgabenstellung ein multiplikatives Monoid
> (multiplikatives Inverses), also 1?
Was hat "multiplikatives Monoid" mit "multiplikatives Inverses" zu tun?
S ist doch nicht 1!
Üblicherweise nimmt man bei der Lokalisierung an:
S ist eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von $R$ mit [mm] $1\in [/mm] S$.
Mit "multiplikativ abgeschlossen" meine ich dabei: Für alle [mm] $s,t\in [/mm] S$ gilt auch [mm] $s*t\in [/mm] S$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Kupfer34 |
Hallo,
also danke erstmal für die zahlreichen Hinweise. Soweit wie ich das jetzt nachvollziehen kann, soll ich doch zeigen, dass die Menge unter der Voraussetzung [mm] \bar a\cap S\ne \emptyset [/mm] existiert. Wenn ich mir [mm] \frac{r}{r}\in S^{-1}\bar [/mm] a betrachte, dann ist das doch 1 und das ist Element von [mm] S^{-1}\bar [/mm] a.
Aber mal allgemein ist die Menge doch definiert als [mm] S^{-1} \bar [/mm] a [mm] =\{\bruch{a}{s}|a\in \bar a , s\in S \} [/mm] und das bedeutet a [mm] \in [/mm] R und s [mm] \in [/mm] R\ {0}, dh. [mm] a\sim [/mm] s : as'=a's
Ich soll jetzt aber ich zeigen, dass [mm] \frac{a}{s} [/mm] + [mm] \frac{a'}{s'} [/mm] := [mm] \frac{a*s'+s*a'}{s*s'} [/mm] und [mm] \frac{a}{s} [/mm] * [mm] \frac{a'}{s'} [/mm] := [mm] \frac{a*a'}{s*s'} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 16.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Soweit
> wie ich das jetzt nachvollziehen kann, soll ich doch
> zeigen, dass die Menge unter der Voraussetzung [mm]\bar a\cap S\ne \emptyset[/mm]
> existiert.
Nein. Die Menge
[mm] $S^{-1}\overline{a}=\{\frac{a}{s}\;|\;a\in\overline{a},s\in S\}$
[/mm]
existiert unabhängig von der Voraussetzung [mm] $\overline{a}\cap S\not=\emptyset$.
[/mm]
Aber im Fall [mm] $\overline{a}\cap S\not=\emptyset$ [/mm] hat sie eine bemerkenswerte Gestalt, die sich sehr einfach beschreiben lässt.
> Wenn ich mir [mm]\frac{r}{r}\in S^{-1}\bar[/mm] a
> betrachte, dann ist das doch 1
Ja, [mm] $\frac{r}{r}$ [/mm] ist das 1-Element vom Quotientenring [mm] $S^{-1}R$.
[/mm]
Warum das?
Das 1-Element von [mm] $S^{-1}R$ [/mm] lautet bekanntlich (?) [mm] $\frac{1}{1}$.
[/mm]
Warum gilt [mm] $\frac{r}{r}=\frac{1}{1}$ [/mm] in [mm] $S^{-1}R$?
[/mm]
> und das ist Element von
> [mm]S^{-1}\bar[/mm] a.
Ja.
Also ist [mm] $S^{-1}\overline{a}$ [/mm] ein Ideal von [mm] $S^{-1}R$, [/mm] dass das 1-Element von [mm] $S^{-1}R$ [/mm] enthält.
Was gilt für Ideale, die das 1-Element enthalten?
> Aber mal allgemein ist die Menge doch definiert als [mm]S^{-1} \bar a =\{\bruch{a}{s}|a\in \bar a , s\in S \}[/mm] und das bedeutet
> a [mm]\in[/mm] R und s [mm]\in[/mm] R\ {0},
Ja, [mm] $a\in\overline{a}$ [/mm] impliziert [mm] $a\in [/mm] R$ und [mm] $s\in [/mm] S$ impliziert [mm] $s\in R\setminus\{0\}$.
[/mm]
> dh. [mm]a\sim[/mm] s : as'=a's
Nein.
Die zur Definition von [mm] $S^{-1}R$ [/mm] verwendete Äquivalenzrelation auf der Menge
[mm] $\{(r,s)\;|\;r\in R, s\in S\}$
[/mm]
ist definiert durch:
[mm] $(r,s)\sim(r',s'):\iff [/mm] r*s'=r'*s$.
> Ich soll jetzt aber ich zeigen, dass [mm]\frac{a}{s}[/mm] +
> [mm]\frac{a'}{s'}[/mm] := [mm]\frac{a*s'+s*a'}{s*s'}[/mm] und [mm]\frac{a}{s}[/mm] *
> [mm]\frac{a'}{s'}[/mm] := [mm]\frac{a*a'}{s*s'}[/mm] ?
Nein, das sollst du nicht zeigen.
Das ist die Definition der Addition bzw. Multiplikation im Ring [mm] $S^{-1}R$.
[/mm]
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> ist definiert durch:
>
> [mm](r,s)\sim(r',s'):\iff r*s'=r'*s[/mm].
>
In nicht nullteilerfreien Ringen ist die Äquivalenz $ [mm] r/s=r'/s'\iff [/mm] rs'=r's $ nicht notwendigerweise erfüllt. Es gilt dort $ r/s=r'/s' $ genau dann, wenn $ rs'-r's $ Nullteiler ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
Edit: sry vergessen dass wir hier einen Int.bereich haben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 16.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> > ist definiert durch:
> >
> > [mm](r,s)\sim(r',s'):\iff r*s'=r'*s[/mm].
> >
>
> In nicht nullteilerfreien Ringen ist die Äquivalenz
> [mm]r/s=r'/s'\iff rs'=r's[/mm] nicht notwendigerweise erfüllt.
Das stimmt natürlich. Ich vermute, dass der/die Fragensteller(in) Lokalisierung nur in Integritätsringen kennengelernt hat.
> Es
> gilt dort [mm]r/s=r'/s'[/mm] genau dann, wenn [mm]rs'-r's[/mm] Nullteiler
> ist.
Das dürfte (nach der mir bekannten Definition der Lokalisierung) so im Allgemeinen nicht stimmen.
Ich kenne die Bedingung, dass für $r/s=r'/s'$ nicht irgendein Ringelement [mm] $t\not=0$ [/mm] mit $t*(rs'-r's)=0$ existieren muss, sondern ein Element [mm] $t\in [/mm] S$ mit $t*(rs'-r's)=0$.
Viele Grüße
Tobias
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Ja, du hast natürlich Recht.
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