Menge offen, abgeschlossen ? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Menge
$M = [mm] \{(x,y)\in\IR^{2}|x^2+y^2 < 100, 3
offen, abgeschlossen oder keines von beiden? |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe bin ich mir noch nicht ganz sicher mit meinen Antworten.
Die Menge ist auf jeden Fall nicht abgeschlossen, da das Komplement [mm] $\IR^{2}\textbackslash [/mm] M$ nicht offen ist. (Beispiel: Punkt (5,5)).
Es handelt sich ja bei der Menge um das Innere des Kreises um (0,0) mit Radius 10, davon jedoch nur die Punkte mit x-Koordinaten zwischen 3 und 5.
Rein vom Gefühl her würde ich sagen: Ja, diese Menge ist offen (auch, weil eben in der Definition von M überall "<" - Zeichen und keine Kleinergleich - Zeichen auftauchen). Aber wie kann ich das jetzt "formal" oder zumindest eindringlicher begründen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] $O_1= \{(x,y)\in\IR^{2}|x^2+y^2 < 100\} [/mm] $
und
$ [mm] O_2 [/mm] = [mm] \{(x,y)\in\IR^{2}| 3
Mach Dir klar, dass [mm] O_1 [/mm] und [mm] O_2 [/mm] offen sind (das ist nicht schwer zu sehen)
Deine Menge M ist dann der Durchschnitt der Beiden offenen Mengen [mm] O_1 [/mm] und [mm] O_2 [/mm] , also ein endlicher Durchschnitt offener Mengen , und dieser Schnitt ist ????
FRED
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Vielen Dank Fred,
für deine Antwort!
Ich muss blind gewesen sein - diese Tatsache, dass der Schnitt zweier offener Mengen offen ist, war zwei Aufgaben vorher zu zeigen. 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank Fred,
> für deine Antwort!
>
> Ich muss blind gewesen sein - diese Tatsache, dass der
> Schnitt zweier offener Mengen offen ist, war zwei Aufgaben
> vorher zu zeigen.
Hallo Stefan,
dann kannst Du sicher auch zeigen, dass der Schnitt von endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist.
Ist ein beliebiger Durchschnitt offener Mengen wieder offen ?
FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
> > Vielen Dank Fred,
> > für deine Antwort!
> >
> > Ich muss blind gewesen sein - diese Tatsache, dass der
> > Schnitt zweier offener Mengen offen ist, war zwei Aufgaben
> > vorher zu zeigen.
>
> Hallo Stefan,
>
> dann kannst Du sicher auch zeigen, dass der Schnitt von
> endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist.
Ich denke, ja, ist dasselbe Prinzip:
[mm] $M_{1},...,M_{r}\subset [/mm] V$ (V normierter Raum mit Norm $||.||$) offen.
Sei [mm] $x\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})$. [/mm] Zu zeigen: [mm] $\exists \varepsilon [/mm] > [mm] 0:\forall y\in [/mm] V:||y-x|| < [mm] \varepsilon \Rightarrow y\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})$.
[/mm]
Da [mm] $x\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})$, [/mm] ist [mm] $x\in M_{1}, [/mm] ..., [mm] x\in M_{r}$.
[/mm]
Für jedes [mm] $i\in\{1,...,r\}$ [/mm] gilt nun:
Da [mm] $M_{i}$ [/mm] offen: [mm] $\exists \varepsilon_{i} [/mm] > [mm] 0:\forall y\in [/mm] V:||y-x|| < [mm] \varepsilon \Rightarrow y\in M_{i}$. [/mm] (*)
Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}$.
[/mm]
Sei nun [mm] $y\in [/mm] V$ beliebig mit $||y-x|| < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}$.
[/mm]
Daraus folgt für jedes [mm] $i\in [/mm] {1,...r}$:
$||y-x|| < [mm] \varepsilon_{i}$. [/mm] Aus (*) folgt dann [mm] $y\in M_{i}$.
[/mm]
Also ist [mm] $y\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})$.
[/mm]
> Ist ein beliebiger Durchschnitt offener Mengen wieder offen
> ?
Ich denke nicht. Wenn ich zum Beispiel
[mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty}(-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) [/mm] = [-1,1]$
betrachte, scheint's nicht so zu sein.
Beim Beweis oben hapert es dann an der Stelle "Wähle [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}$", [/mm] weil ich diese Forderung für -1 und 1 nicht mehr aufrechterhalten kann (--> [mm] \varepsilon [/mm] = 0).
Stimmt das?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Stefan,
> > dann kannst Du sicher auch zeigen, dass der Schnitt von
> > endlich vielen offenen Mengen wieder offen ist.
>
> Ich denke, ja, ist dasselbe Prinzip:
> [mm]M_{1},...,M_{r}\subset V[/mm] (V normierter Raum mit Norm
> [mm]||.||[/mm]) offen.
Ich gehe mal davon aus, dass es beabsichtigt ist, dass du die Aussage nur für normierte Räume und nicht für beliebige topologische Räume zeigst? Ich vermute, ihr hattet nur normierte Räume?
> Sei [mm]x\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})[/mm]. Zu zeigen: [mm]\exists \varepsilon > 0:\forall y\in V:||y-x|| < \varepsilon \Rightarrow y\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})[/mm].
>
> Da [mm]x\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})[/mm], ist [mm]x\in M_{1}, ..., x\in M_{r}[/mm].
>
> Für jedes [mm]i\in\{1,...,r\}[/mm] gilt nun:
>
> Da [mm]M_{i}[/mm] offen: [mm]\exists \varepsilon_{i} > 0:\forall y\in V:||y-x|| < \varepsilon \Rightarrow y\in M_{i}[/mm].
> (*)
>
> Wähle [mm]\varepsilon = \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}[/mm].
>
> Sei nun [mm]y\in V[/mm] beliebig mit [mm]||y-x|| < \varepsilon = \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}[/mm].
>
> Daraus folgt für jedes [mm]i\in {1,...r}[/mm]:
>
> [mm]||y-x|| < \varepsilon_{i}[/mm]. Aus (*) folgt dann [mm]y\in M_{i}[/mm].
>
> Also ist [mm]y\in (M_{1}\cap...\cap M_{r})[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(Eine andere Möglichkeit wäre noch, den Fall endliche vieler offener Mengen per Induktion auf den Fall von zwei offenen Mengen zurückzuführen.)
> > Ist ein beliebiger Durchschnitt offener Mengen wieder offen
> > ?
>
> Ich denke nicht. Wenn ich zum Beispiel
>
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}(-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}) = [-1,1][/mm]
>
> betrachte, scheint's nicht so zu sein.
> Beim Beweis oben hapert es dann an der Stelle "Wähle
> [mm]\varepsilon = \min\{\varepsilon_{1},...,\varepsilon_{r}\}[/mm]",
> weil ich diese Forderung für -1 und 1 nicht mehr
> aufrechterhalten kann (--> [mm]\varepsilon[/mm] = 0).
Ich verstehe, was du meinst.
Also nichts zu verbessern!
Viele Grüße
Tobias
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Danke, Tobias,
für deine Antwort
Grüße,
Stefan
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