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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 So 01.06.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Menge
[mm] M=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}\subseteq \IR^4
[/mm]
linear unabhängig ist. Bildet die Menge M eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] (Begründung) |
So, habe wieder eine neue Aufgabe:
habe sie wie folgt gelöst:
[mm] \lambda_1*a_1+\lambda_2*a_2+\lambda_3*a_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_1*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda_3*\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\lambda_1*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] 2\lambda_1+2\lambda_3=0 [/mm] --> [mm] \lambda_1= -\lambda_3
[/mm]
[mm] 4\lambda_1+\lambda_2+5\lambda_3=0
[/mm]
[mm] 7\lambda_1+8\lambda_2+\lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_1+3\lambda_2+4\lambda_3=0
[/mm]
nun habe ich in die 2.te Gleichunge [mm] \lambda_1= -\lambda_3 [/mm] eingesetzt:
[mm] \lambda_1= -\lambda_3 [/mm]
[mm] -4\lambda_3+\lambda_2+5\lambda_3=0 [/mm] --> [mm] \lambda_2= -\lambda_3 [/mm] bzw. [mm] \lambda_3= -\lambda_2 [/mm]
[mm] -7\lambda_3+8\lambda_2+\lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_1+3\lambda_2+4\lambda_3=0
[/mm]
nun habe ich in die 3.te Gleichung [mm] \lambda_2= -\lambda_3 [/mm] eingesetzt damit ich zeigen kann das [mm] \lambda_3=0 [/mm] :
[mm] \lambda_1= -\lambda_3 [/mm]
[mm] \lambda_2= -\lambda_3 [/mm]
[mm] -7\lambda_3-8\lambda_3+\lambda_3=0-->14\lambda_3=0--> \lambda_3=0
[/mm]
da [mm] \lambda_3= -\lambda_2:
[/mm]
[mm] \lambda_1+3\lambda_2-4\lambda_2=0 -->\lambda_1-\lambda_2=0-->\lambda_1=\lambda_2
[/mm]
[mm] \lambda_1= -\lambda_3 [/mm]
[mm] \lambda_2= -\lambda_3 [/mm]
[mm] \lambda_3=0
[/mm]
[mm] \lambda_1=\lambda_2
[/mm]
reicht das nun als Beweis dass meine Vektoren linear unabhängig sind?? Passt auch die Schreibweise oder habe ich das Beispiel eher kryptisch gelöst?
Nun widme ich mich der Basis:
grundsätzlich ist es ja so: wenn die Dimension eines Vektorraumes bekannt ist (in meinem Fall [mm] \IR^4 [/mm] )und man genau so viele linear unabhängige Vektoren hat, hat man automatisch auch eine Basis.
Ich habe drei linear unabhängige Vektoren--> somit ist meine Basis NICHT [mm] \IR^4. [/mm] Kann ich dann automatisch annehmen dass meine Basis [mm] \IR^3 [/mm] ist?
Muss ich das jetzt noch irgendwie beweisen oder reicht das so?
LG
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Hallo,
> Untersuchen Sie, ob die Menge
>
> [mm]M=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\end{Bmatrix}\subseteq \IR^4[/mm]
>
> linear unabhängig ist. Bildet die Menge M eine Basis des
> [mm]\IR^4[/mm] (Begründung)
> So, habe wieder eine neue Aufgabe:
>
> habe sie wie folgt gelöst:
>
> [mm]\lambda_1*a_1+\lambda_2*a_2+\lambda_3*a_3=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_1*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda_2*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}+\lambda_3*\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}=\lambda_1*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]2\lambda_1+2\lambda_3=0[/mm] --> [mm]\lambda_1= -\lambda_3[/mm]
>
> [mm]4\lambda_1+\lambda_2+5\lambda_3=0[/mm]
> [mm]7%5Clambda_1%2B8%5Clambda_2%2B%5Clambda_3%3D0[/mm]
> [mm]\lambda_1+3\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
>
> nun habe ich in alle Gleichungen [mm]\lambda_1= -\lambda_3[/mm]
> eingesetzt:
>
> [mm]\lambda_1= -\lambda_3[/mm]
> [mm]-4\lambda_3+\lambda_2+5\lambda_3=0[/mm] --> [mm]\lambda_2= -\lambda_3[/mm]
> bzw. [mm]\lambda_3= -\lambda_2[/mm]
> [mm]-7\lambda_3+8\lambda_2+\lambda_3=0[/mm]
> [mm]-\lambda_1+3\lambda_2+4\lambda_3=0[/mm]
>
> nun habe ich das eingesetzt damit ich zeigen kann das
> [mm]\lambda_3=0[/mm] :
>
> [mm]\lambda_1= -\lambda_3[/mm]
> [mm]\lambda_2= -\lambda_3[/mm]
> [mm]-7\lambda_3-8\lambda_3+\lambda_3=0-->14\lambda_3=0--> \lambda_3=0[/mm]
>
> da [mm]\lambda_3= -\lambda_2:[/mm]
>
> [mm]-\lambda_1+3\lambda_2-4\lambda_2=0 -->-\lambda_1-\lambda_2=0-->-\lambda_1=\lambda_2[/mm]
>
> [mm]\lambda_1= -\lambda_3[/mm]
> [mm]\lambda_2= -\lambda_3[/mm]
> [mm]\lambda_3=0[/mm]
> [mm]-\lambda_1=\lambda_2[/mm]
>
> reicht das nun als Beweis dass meine Vektoren linear
> unabhängig sind?? Passt auch die Schreibweise oder habe
> ich das Beispiel eher kryptisch gelöst?
So kann man sagen. Es ist tatsächlich [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 [/mm] und damit die drei Vektoren linear unabhängig, aber deine Rechnung ist sehr mühsam nachzuvollziehen. Weshalb machst du das nicht entweder mit Gauß oder sonst wenigstens strikt nach dem Additionsverfahren?
>
> Nun widme ich mich der Basis:
>
> grundsätzlich ist es ja so: wenn die Dimension eines
> Vektorraumes bekannt ist (in meinem Fall [mm]\IR^4[/mm] )und man
> genau so viele linear unabhängige Vektoren hat, hat man
> automatisch auch eine Basis.
>
> Ich habe drei linear unabhängige Vektoren--> somit ist
> meine Basis NICHT [mm]\IR^4.[/mm] Kann ich dann automatisch annehmen
> dass meine Basis [mm]\IR^3[/mm] ist?
>
Schlage mal den Begriff Basis nochmals nach. Mir scheint, das ist dir noch nicht so ganz klar. Außerdem war ja nur gefragt, ob die drei Vektoren eine Basis des [mm] \IR^4 [/mm] sind, und das kann man ohne weitere Rehnung verneinen, weil man für eine Basis hier natürlich vier (linear unabhängige!) Vektoren bräuchte.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 So 01.06.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke!
Naja ich habe es versucht so aufzulösen wie es in meinem Mathe-Skipt steht(das darf ich ja bei der Prüfung verwenden). Der Prof. verwendete auch 3 Vektoren aber mit nur drei Koordinaten...
Bezüglich der Basis:
da für [mm] \IR^4 [/mm] vier linear unabhängige Vektoren benötigt werden, habe ich mir gedacht dass für [mm] \IR^3 [/mm] drei linear unabhängige Vektoren benötigt werden und die habe ich ja...
Meine Freundin meinte auch dass ich nicht (mit Basis [mm] \IR^3) [/mm] hinschreiben solle- Fehlerpotential.
Wollte mit trotzdem sicher sein...aber von dir bekam ich dieselbe Antwort 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 So 01.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Meine Freundin meinte auch dass ich nicht (mit Basis
> [mm]\IR^3)[/mm] hinschreiben solle- Fehlerpotential.
Das hätte nicht nur Fehlerpotential sondern es wäre ein Fehler. Mir scheint wie gesagt, dass du gedanklich die Begriffe Vektorraum bzw. Unterraum auf der einen und Basis auf derr anderen Seite noch nicht sauber genug voneinander trennst.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 So 01.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
> Naja ich habe es versucht so aufzulösen wie es in meinem
> Mathe-Skipt steht(das darf ich ja bei der Prüfung
> verwenden). Der Prof. verwendete auch 3 Vektoren aber mit
> nur drei Koordinaten...
>
> Bezüglich der Basis:
>
> da für [mm]\IR^4[/mm] vier linear unabhängige Vektoren benötigt
> werden, habe ich mir gedacht dass für [mm]\IR^3[/mm] drei linear
> unabhängige Vektoren benötigt werden und die habe ich
> ja...
Na sowas ! Ich habe 2 Katzen und 2 Brüder. Die Katzen sind aber nicht meine Brüder: Woran mag das wohl liegen ?
FRED
> Meine Freundin meinte auch dass ich nicht (mit Basis
> [mm]\IR^3)[/mm] hinschreiben solle- Fehlerpotential.
> Wollte mit trotzdem sicher sein...aber von dir bekam ich
> dieselbe Antwort
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:43 So 01.06.2014 | | Autor: | Marie886 |
Also ein Vektorraum wird durch die einzelnen Vektoren aufgespannt.
Diese Vektoren besitzen Koordinaten, wodurch die Vektoren einem eindeutigen Ort zugeschrieben werden können, die dann die Basis bestimmen.
Und weil die Basis durch die Koordianten der Vektoren beschrieben wird, kann die Basis auch nicht [mm] \IR^3 [/mm] sein (weil ich ja 4 Koordianten habe)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 So 01.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Also ein Vektorraum wird durch die einzelnen Vektoren
> aufgespannt.
Das ergibt so keinerlei Sinn, man versteht nicht einmal, was du mit diesem Satz zum Ausdruck bringen möchtest.
> Diese Vektoren besitzen Koordinaten, wodurch die Vektoren
> einem eindeutigen Ort zugeschrieben werden können, die
> dann die Basis bestimmen.
Das trifft i.a. nicht zu, meinst du das jetzt allgemein oder speziell auf diese Aufgabe bezogen?
> Und weil die Basis durch die Koordianten der Vektoren
> beschrieben wird, kann die Basis auch nicht [mm]\IR^3[/mm] sein
> (weil ich ja 4 Koordianten habe)?
Auch hier wieder: völlig unverständlich.
Bitte mache dir erst einmal klar, was du eigentlich wissen möchtest und formuliere dann dein Anliegen präziser. Außerdem erscheint es mir geboten, dass du erst einmal ein Lehrbuch oder Skript studierst, um dir die ganzen Definitionen klar zu machen.
Gruß, Diophant
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