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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Do 24.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hallo liebe Forenmitglieder 
Hätte eine Frage zur Mengen- und [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Ich bin auf der Suche nach einer Mengenalgebra, die keine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist. Eine Mengenalgebra ist unter allen endlichen Mengenoperationen abgeschlossen. Eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist unter allen abzählbaren Mengenoperationen abgeschlossen.
Sei z.B. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{\emptyset, 1, 2 \} [/mm] und [mm] \mathcal{P}(\Omega)=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\Omega \}.
[/mm]
Wäre dies ein Beispiel für eine Mengenalgebra, die keine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist?
Weil es keine unendlich viele Teilmengen A [mm] \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] gibt, mit [mm] A_{k},k=1,2,..., \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \mathcal{P}(\Omega)?
[/mm]
Und wäre folgendes ein Beispiel für eine typische [mm] \sigma-Algebra?
[/mm]
[mm] \Omega=\IN [/mm] mit [mm] \mathcal{P}(\IN)?
[/mm]
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrRiese!
> Hätte eine Frage zur Mengen- und [mm]\sigma-Algebra.[/mm] Ich bin
> auf der Suche nach einer Mengenalgebra, die keine [mm]\sigma[/mm] -
> Algebra ist. Eine Mengenalgebra ist unter allen endlichen
> Mengenoperationen abgeschlossen. Eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist
> unter allen abzählbaren Mengenoperationen abgeschlossen.
>
> Sei z.B. [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{\emptyset, 1, 2 \}[/mm] und
> [mm]\mathcal{P}(\Omega)=\{\emptyset, \{1\},\{2\},\Omega \}.[/mm]
>
> Wäre dies ein Beispiel für eine Mengenalgebra, die keine
> [mm]\sigma[/mm] - Algebra ist?
Nein. [mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ist für jede Menge [mm] $\Omega$ [/mm] eine Sigma-Algebra auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
> Weil es keine unendlich viele Teilmengen A [mm]\subset \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> gibt, mit [mm]A_{k},k=1,2,..., \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \mathcal{P}(\Omega)?[/mm]
Z.B. für [mm] $A_k=\{1\}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gilt schon [mm] $\bigcup_{k=1}^\infty A_k=\{1\}\in\mathcal{P}(\Omega)$.
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] irgendein Mengensystem.
Gäbe es gar keine Folge [mm] $(A_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] (was übrigens [mm] $\mathcal{A}=\emptyset$ [/mm] implizierte), so wäre [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung!
Die Abgeschlossenheit von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] unter abzählbarer Vereinigung fordert nicht die Existenz einer Folge [mm] $(A_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] sondern dass für jede Folge [mm] $(A_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] auch [mm] $\bigcup_{k\in\IN}A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] gilt.
> Und wäre folgendes ein Beispiel für eine typische
> [mm]\sigma-Algebra?[/mm]
> [mm]\Omega=\IN[/mm] mit [mm]\mathcal{P}(\IN)?[/mm]
Du suchst eine "typische" [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IN$?
[/mm]
Zunächst einmal fallen mir die trivialen Sigma-Algebren [mm] $\{\emptyset,\IN\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] ein.
Eine nichttriviale Sigma-Algebra wäre z.B. das 4-elementige Mengensystem [mm] $\{\emptyset,A,A^c,\IN\}$ [/mm] für eine feste Teilmenge [mm] $\emptyset\not=A\subsetneq\IN$.
[/mm]
Ein Beispiel für eine Algebra über [mm] $\IN$, [/mm] die keine Sigma-Algebra ist, ist
[mm] $\{A\subseteq\IN\;|\;A\text{ endlich oder }A^c\text{ endlich}\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Bin grad noch am Überlegen, warum [mm]\{A \subseteq \IN | A endlich oder A^{C} endlich \}[/mm]
> keine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist...
Nennen wir diese Algebra mal [mm] $\mathcal{A}$.
[/mm]
> Denn man könnte doch bestimmen [mm]A_{k}=A, \forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
> und somit [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k}[/mm] = A [mm]\subseteq \IN.[/mm]
Mit [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] meinst du?
Für Abgeschlossenheit unter abzählbarer Vereinigung muss [mm] $\bigcup_{k\in\IN}A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] für JEDE Folge [mm] $(A_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $A_k\in\mathcal{A}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gelten.
Betrachte z.B. mal die durch [mm] $A_k:=\{2k\}$ [/mm] gegebene Folge.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 24.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
ok, ich probiere mal kurz alle Punkte bei diesem Beispiel abzuhaken, um mich besser in diese Thematik reinzuknobeln.. :-D
Also z.z. [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \{A \in \IN | A endlich oder A^{C} endlich \} [/mm] ist Mengenalgebra:
i) [mm] \emptyset [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \emptyset \subset \IN \Rightarrow \emptyset \in \mathcal{A}
[/mm]
ii) Sei A [mm] \in \mathcal{A}. [/mm] Nur wie könnte man jetzt zeigen [mm] A^{C} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ? Theoretisch könnte [mm] A^{C} [/mm] = [mm] \infty [/mm] gelten...
iii) [mm] A_{1}, A_{2} \in \mathcal{A} \Rightarrow A_{1},A_{2} [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} \in \mathcal{A}
[/mm]
Danke für die Geduld^^ 
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also z.z. [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\{A \in \IN | A endlich oder A^{C} endlich \}[/mm]
> ist Mengenalgebra:
(Kleiner Tippfehler: Es muss [mm] $A\subseteq\IN$ [/mm] statt [mm] $A\in\IN$ [/mm] heißen.)
> i) [mm]\emptyset[/mm] < [mm]\infty[/mm]
Du meinst: [mm] $\emptyset$ [/mm] ist endlich.
(In Zeichen kannst du das durch [mm] $|\emptyset|<\infty$ [/mm] ausdrücken.)
Im Folgenden gilt Analoges.
> und [mm]\emptyset \subset \IN \Rightarrow \emptyset \in \mathcal{A}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ii) Sei A [mm]\in \mathcal{A}.[/mm] Nur wie könnte man jetzt zeigen
> [mm]A^{C}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ? Theoretisch könnte [mm]A^{C}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> gelten...
Wegen [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] ist $A$ endlich oder [mm] $A^c$ [/mm] endlich.
Im letzteren Fall ist [mm] $A^c\in\mathcal{A}$ [/mm] klar.
Im erstgenannten Fall ist [mm] $(A^c)^c=A$ [/mm] endlich und damit [mm] $A^c\in \mathcal{A}$.
[/mm]
> iii) [mm]A_{1}, A_{2} \in \mathcal{A} \Rightarrow A_{1},A_{2}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm]
Nein. Es folgt nur [mm] $A_1$ [/mm] endlich oder [mm] $(A_1)^c$ [/mm] endlich sowie [mm] $A_2$ [/mm] endlich oder [mm] $(A_2)^c$ [/mm] endlich.
> [mm]\Rightarrow A_{1} \cup A_{2}[/mm] < [mm]\infty \Rightarrow A_{1} \cup A_{2} \in \mathcal{A}[/mm]
Damit hast du den ersten Fall, dass [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] endlich sind, erledigt.
Untersuche nun den Fall, dass [mm] $(A_1)^c$ [/mm] oder [mm] $(A_2)^c$ [/mm] endlich ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Fr 25.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Achso, vielen Dank
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