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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:24 Sa 20.11.2004 | | Autor: | destiny |
Sei M eine Menge, und sei [mm] \circ [/mm] : [mm] M^{2} \to [/mm] M eine kommutative und assoziative Operation, d.h. für alle x, y, z [mm] \in [/mm] M gilt: x [mm] \circ [/mm] y = y [mm] \circ [/mm] x und x [mm] \circ [/mm] (y [mm] \circ [/mm] z) = (x [mm] \circ [/mm] y) [mm] \circ [/mm] z.
Weiter sei n [mm] \ge1 [/mm] und [mm] \alpha: [/mm] {1, ..., n} [mm] \to [/mm] {1, ..., n} bijektiv.
Zeigen Sie, dass für alle [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} \in [/mm] M gilt:
[mm] x_{\alpha1} \circ x_{\alpha2} \circ [/mm] ... [mm] \circ x_{\alpha n} [/mm] = [mm] x_{2} \circ x_{2} \circ [/mm] ... [mm] \circ x_{n}.
[/mm]
Der Beweis dieser Aussage soll in erster Linie als Stilübung zu verstehen sein. Achten Sie darauf, einen präzisen mathematischen Beweis zu führen, und nicht bloß anschaulich zu argumentieren. Klammern darf man aufgrung der Assoziativität weglassen.
danke für eure Hilfe.
Destiny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Destiny!
Wie schon aus der Aufgabenstellung hervorgeht, scheint der Satz recht leicht nachzuvollziehen zu sein - hast du denn wirklich keine Idee? Das kann ich mir beim besten Willen nicht vorstellen. Ich gebe dir nur einen kleinen Tip, und dann bitte ich dich, wirklich mal nachzudenken und nicht sofort den nächsten zu verlangen:
Wenn beide Seiten gleich sein sollen und die Verknüpfung kommutativ ist, dann muss lediglich gezeigt werden, dass auf der rechten und linken Seite gleiche Elemente miteinander verknüpft werden (irrelevant in welcher Reihenfolge)
So, und nun du!
Gruß,
Hanno
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 23:01 So 21.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo, m00xi!
Klar hab ich eine Idee, wie ich die Aufgabe lösen kann, aber wie gesagt, die Aufgabe ist "zu einfach".
Wir haben diese Aufgabe auch nur bekommen als Stilübung, damit wir noch mal üben können, wie man einen präzisen mathematischen Beweis führt. Und genau das ist der Punkt. Ich bin mir nicht sicher, ob mein Beweis so präzise und vor allem mathematisch ist, weil wir nicht nur anschaulich argumentieren sollen.
Hier ist meine Lösung. Kannst du mal bitte schauen, ob die richtig ist, oder ob man noch was hinzufügen kann?
Danke schön!
[mm] \alpha [/mm] ist eine eindeutige Abbildung, da laut Voraussetzung [mm] \alpha [/mm] bijektiv ist. Das heißt, es gibt zu jedem n mit n [mm] \ge1 [/mm] ein [mm] \alpha [/mm] (n) mit n [mm] \ge1 [/mm] .
Nun zeige ich, dass rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleichen Elemente miteinander verknüpft sind.
Ich betrachte zunächst: [mm] x_{ \alpha(1)}
[/mm]
[mm] \alpha(1) [/mm] = 1 laut Definition von [mm] \alpha
[/mm]
Also: [mm] x_{ \alpha(1)} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
analog für [mm] x_{ \alpha(2)} [/mm] bis [mm] x_{ \alpha(n)} [/mm]
Daraus folgt, dass jeweils links und rechts die gleichen Elemente miteinander verknüpft sind. Die Aussage ist somit bewiesen.
Ähm, du siehst schon, der Beweis ist fast du einfach. Ich kann mir nicht vorstellen, dass er so aussieht. Mein Beweis war wohl nicht so mathematisch, wie es die Profs wahrscheinlich wollen.
Ich habe weder kommutativ noch assoziativ verwendet. Ich weiß aber auch nicht, wo ich es anwenden soll.
Kannst du mit bitte helfen?
Danke
Destiny
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