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| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen G zusammen mit der Verk¨upfung
: G × G [mm] \rightarrow [/mm] G, (x, y) [mm] \rightarrow [/mm] x * y
abelsche Gruppen (kurz: (G, *) )?
[mm] (\IZ, [/mm] +)
[mm] (\IN, [/mm] +)
[mm] (\IZ, [/mm] ·) |
Also ich hab die aufgabe abgegeben und auch schon zurück, nur leider nicht viele punkte bekommen und da ich leider die übung nicht besuchen kann hab ich mir gedacht das ihr mir bestimmt helfen könnt.
Weil ich mit den Aufgaben ja für die klausur lernen muss.
Und ich gerne die einwandfrei korrekte lösung hätte damit ich das mal versteh worauf ich achten muss
1:
Asso. (a*b)*c=a*(b*c) a,b,c [mm] \in [/mm] G
+ a+(b+c)=a+(b+c) für alle a,b,c [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Ass gilt für [mm] \IZ
[/mm]
Kom: a+b = b+a für alle a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
Neu. E: e=0, 0 [mm] \in \IZ [/mm]
a= e*a =a*e=a a,e [mm] \in [/mm] G
a=a+0=0+a=a a,0 [mm] \in \IZ
[/mm]
Inverse E:
zu a das inverse ist a^' für alle [mm] a\in [/mm] G
so das gilt a+a^'=e
komut
0=0+0=0+(a+(-a))=a+(-a)+(a+(-a))=a+((-a)+a)+(-a)=a+0+(-a)=a+(-a)=0 für alle a [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Inverse elem zu a ist -a
so jetzt noch die abgeschlossenheit
a+b=c für alle a,b [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] c [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] (\IZ,+) [/mm] ist ablesche gruppe
dafür gabs 1,5 von 2 pkt und ohne begründung
2. ist keine abelsche gruppe da per def [mm] 0\notin \IN [/mm]
kein inverses zu a existiert da -a [mm] \notin \IN [/mm]
//korektör kommentag Inverse gibt es nur bei neutralem element
[mm] (\IN,+) [/mm] ist keine abelsche gruppe
weil es zusätzlich kein neutrales element hat da 0 [mm] \notin \IN [/mm]
dafür gabs nur 0,5 von 2 pkt
3:
Asso. (a*b)*c=a*(b*c) a,b,c [mm] \in [/mm] G
+ a*(b*c)=a*(b*c) für alle a,b,c [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Ass gilt für [mm] \IZ
[/mm]
Kom: a*b = b*a für alle a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
Neu. E: e=1, 1 [mm] \in \IZ [/mm]
a= e*a =a*e=a a,e [mm] \in [/mm] G
a=a*1=1*a=a a,1 [mm] \in \IZ
[/mm]
Inverse E:
zu a das inverse ist [mm] a^{-1} [/mm] für alle [mm] a\in [/mm] G
so das gilt [mm] a+a^{-1}=e
[/mm]
komu
[mm] 1=1*1=1*(a*a^{-1})=(a*a^{-1})*(a*a^{-1})=a*(a^{-1}*a)*a^{-1}=a*0*a^{-1}=a*a^{-1}=0 [/mm] für alle a [mm] \in \IZ [/mm] wiederspruch da 0 * [mm] 0^{-1} [/mm] =0 [mm] \not=1
[/mm]
hierfür gabs 1 pkt,
aber ich hab hier auch mist gebaut , und zwar das es kein [mm] a^{-1} [/mm] für a in [mm] \Iz [/mm] gibt wegen zb 1/4 [mm] \notin \IZ
[/mm]
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Hallo,
Dir fehlen beispielsweise "Kleinigkeiten" wie: "es gibt ein ... so, daß für alle...".
Die Aufgabe für [mm] (\IZ, [/mm] +) hätte ich ungefähr so gelöst:
1. Abgeschlossenheit:
Die Summe zweier ganzer Zahlen ist eine ganze Zahl, also ist [mm] \IZ [/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.
2. Assoziativität, Kommutativität:
Die Addition in [mm] \IZ [/mm] ist assoziativ und kommutativ,
d.h. für alle a,b,c [mm] \in \IZ [/mm] gilt: ...
3. Neutrales Element:
Es ist 0 das neutrale Element in [mm] (\IZ,+), [/mm] denn für alle [mm] a\in \IZ [/mm] gilt: a=a+0=0+a.
4. Inverses Element:
Jedes Element [mm] a\in \IZ [/mm] hat ein inverses, denn mit [mm] a\in \IZ [/mm] ist auch [mm] -a\in \IZ, [/mm] und es ist a+(-a)=0
Also ist [mm] (\IZ,+) [/mm] eine abelsche Gruppe.
>
> 2. ist keine abelsche gruppe da per def [mm]0\notin \IN[/mm]
Könnte es nicht ein anderes neutrales Element geben?
>
> kein inverses zu a existiert da -a [mm]\notin \IN[/mm]
>
> //korektör kommentag Inverse gibt es nur bei neutralem
> element
Da hat er recht.
>
> [mm](\IN,+)[/mm] ist keine abelsche gruppe
> weil es zusätzlich kein neutrales element hat da 0 [mm]\notin \IN[/mm]
Absolut seltsame Begründung. "weil es zusätzlich kein..." Was soll das? Zusätzlich zu was?
Gruß v. Angela
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