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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:02 So 26.10.2008 | | Autor: | aga88 |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 So 26.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Agata,
ist es tatsächlich wahr, dass, wie mir auch meine 3 schulpflichtigen Kinder, Bekannte, die Lehrer sind, und meine an einer Hochschule tätige Frau versichern, Mengenlehre total aus dem Mathe-Lehrplan an Schulen gestrichen wurde? Ich muss es wohl oder übel glauben.
Also dann:
Nachdem M aufzählend, N aber beschreibend angegeben wurde ist es sinnvoll, N erstmal in die aufzählende Schreibweise zu überführen.
Die Beschreibung sagt, dass die Elemente aus M quadriert und dann um 1 subtrahiert werden sollen [mm] (x^{2} [/mm] - 1).
Dies ergibt N = {3, 0, -1, 8, 15} oder schöner sortiert N = {-1, 0, 3, 8, 15}. Bei Mengen kommt es auf die Sortierung nicht an, doppelte Elemente werden nur einmal aufgeführt.
a) |M| = 7, |N| = 5 (der Betrag einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.)
b) M [mm] \cap [/mm] N = {-1, 0, 3} (den Durchschnitt zweier Mengen bilden die Elemente, die beiden Mengen gemeinsam sind)
M [mm] \cup [/mm] N = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 8, 15} (die Vereinigung zweier Mengen bilden die Element beider Mengen zusammen, die Mengen werden also einfach zusammengeschüttet)
Mit M und N kann ich nichts anfangen.
c) {(x,y) [mm] \in [/mm] MxN | x=y} = {(-1,-1),(0,0), (3,3)} (ein kartesisches Produkt zweier Mengen MxN ist zunächst einmal die Menge aller Paare (x,y) mit x [mm] \in [/mm] M und y [mm] \in [/mm] N; dabei kommt es auf die Reihenfolge innerhalb des Paares an, also (1,2) ist nicht gleich (2,1). Hier wurde jetzt noch eine bestimmte Eigenschaft der Paare gefordert, nämlich x = y; dies erfüllen nur die oben angegebenen Paare.)
{(x,y) [mm] \in [/mm] MxN | x<y} = {(-2,-1), (-2,0), (-2,3), (-2,8), (-2,15), (-1,0), (-1,3), (-1,8), (-1,15), (0,3), (0,8), (0, 15), (1,3), (1,8), (1,15), (2,3), (2,8), (2,15), (3,8), (3,15), (4,8), (4,15)} (ich hoffe ich habe keines verrgessen)
d) {A [mm] \in \mathcal{P}(N) [/mm] | |A| = 3} = {{-1,0,3}, {-1,0,8}, {-1,0,15}, {-1,3,8}, {-1,3,15}, {-1,8,15},{0,3,8}, {0,3,15}, {0,8,15}, {3,8,15}}
Hierbei kommen jetzt mehrere neue Begriffe zur Anwendung. Zunächst muss man sich klarmachen, dass man auch Mengen als Elemente von Mengen auffassen kann.
Eine Teilmenge A einer Menge M ist ein Ausschnitt der Menge (eben ein Teil, wie der Name schon sagt), dabei ist die leere Menge Teilmenge jeder Menge und jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
Eine Potenzmenge [mm] \mathcal{P} [/mm] (N) einer Menge N ist die Menge aller Teilmengen von N, die leere Menge und die Menge selbst eingeschlossen. Ist |N| = n so ist die Anzahl der Teilmengen von N, also [mm] |\mathcal{P}(N)| [/mm] = [mm] 2^{n}. [/mm] Hier soll nun die Menge der dreielementigen Teilmengen gebildet werden. Dies sind [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] = 10 Elemente.
Soweit der Crashkurs in Mengenlehre.
Gruß
Uli
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