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Mengen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Fr 31.10.2008
Autor: jeremia

Aufgabe
Ermitteln Sie die Menge M1 über dem Grundbereich der ganzen Zahlen Z.

M1 = {x| [mm] x^{2} [/mm] + 5x - 36 : 4 - x = 1 }

Hallo,

kann mir jemand verraten, wie ich an diese Aufgabe herangehe... ich habe leider gar keine Ahnung, was ich hier überhaupt machen soll...

Viele Grüße
Jeremia

PS: Ich habe leider keinen konkreten Lösungsansatz und wäre schon dankbar, wenn sich vielleicht jemand finden würde, um mir einen zu nennen!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!

        
Bezug
Mengen: Noch einmal zur Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Fr 31.10.2008
Autor: jeremia

Muss ich hier einfach nur x ausrechnen? Aber was hat das ganze dann mit Mengen zu tun?

Bezug
        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Fr 31.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Ermitteln Sie die Menge M1 über dem Grundbereich der ganzen
> Zahlen Z.
>  
> [mm]M1 = \{x\ |\ x^2 + 5x - 36 : 4 - x = 1 \}[/mm]
>  Hallo,
>  
> kann mir jemand verraten, wie ich an diese Aufgabe
> herangehe... ich habe leider gar keine Ahnung, was ich hier
> überhaupt machen soll...
>
> Viele Grüße
>  Jeremia


hallo Jeremia,

das Lösen von Gleichungen hat mathematisch gesehen
immer mit Mengen zu tun.

Die Gleichung ist eine Aussage mit einer Variablen x.
Für x darf man Elemente aus einer vorgegebenen
Grundmenge  [mm] \IG [/mm]  einsetzen. Die Gleichung zu lösen
heisst herauszufinden, welche Elemente [mm] x\in \IG [/mm] die
Aussage erfüllen. Die Teilmenge aller solchen Elemente
ist die Lösungsmenge  [mm] \IL [/mm]  der Gleichung. Weil bei
vielen Gleichungen [mm] \IL [/mm] nur aus einem Element besteht,
wird der Mengenaspekt nicht immer klar. Aber schon
bei einer quadratischen Gleichung wie [mm] x^2=1 [/mm] hat man
eine Lösungsmenge mit 2 Elementen.

Also, du musst hier wirklich erst einmal einfach die
Gleichung auflösen. Hier zählen aber nur ganzzahlige
Lösungen, weil die Grundmenge [mm] \IZ [/mm] ist.

Bei allfälligen weiteren posts solltest du den Formel-
editor oder wenigstens richtig gesetzte Klammern
benützen.

So wie du die Gleichung geschrieben hast:

         [mm]x^{2}+ 5x - 36 : 4 - x = 1[/mm]

würde ich sie so interpretieren (nach der "Punkt-vor-Strich-Regel"):

         [mm]x^{2}+ 5x - \bruch{36}{4} - x = 1[/mm]

ich wage aber zu bezweifeln, ob das wirklich deine
Gleichung war.

LG


Bezug
                
Bezug
Mengen: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Fr 31.10.2008
Autor: jeremia

Danke für deine ausführliche Antwort...

Ja, du hast recht, die Aufgabe kam leider falsch rüber, ich wusste nur nicht, wie ich solch einen langen Bruchstrich schreiben sollte... also noch einmal :-)

M1 = {x | [mm] (x^{2} [/mm] + 5x - 36) : (4 - x) = 1}

Also ich habe das x jetzt mal ausgerechnet (durch herumprobieren) und komme auf x = -10

Schreibt man denn jetzt: M1 = -10? Und gibt es da vielleicht noch einen besseren Weg, ohne zu probieren auf die -10 zu kommen?
Danke dass du mir immer antwortest... :-)

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Fr 31.10.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für deine ausführliche Antwort...
>  
> Ja, du hast recht, die Aufgabe kam leider falsch rüber, ich
> wusste nur nicht, wie ich solch einen langen Bruchstrich
> schreiben sollte... also noch einmal :-)
>  
> [mm]M1 = \{x\ |\ (x^2+ 5x - 36) : (4 - x) = 1\}[/mm]
>  
> Also ich habe das x jetzt mal ausgerechnet (durch
> herumprobieren) und komme auf x = -10
>  
> Schreibt man denn jetzt: M1 = -10? Und gibt es da
> vielleicht noch einen besseren Weg, ohne zu probieren auf
> die -10 zu kommen?
> Danke dass du mir immer antwortest... :-)
>  
> Viele Grüße


Zur Lösung der Gleichung:

        [mm] \bruch{x^2+5x-36}{4-x}=1 [/mm]

(Eingabe:   \bruch{x^2+5x-36}{4-x}=1 )

mit dem Nenner (4-x) multipliziert:          (***) nur erlaubt, falls [mm] 4-x\not= [/mm] 0  !

        [mm] x^2+5x-36=4-x [/mm]

alles nach links:

        [mm] x^2+6x-40=0 [/mm]

Faktorzerlegung:

        (x+10)*(x-4)=0

Produkt=0, wenn einer der Faktoren=0:

        x+10=0  oder x-4=0

einzelne Gleichungen gelöst:

        x=-10 oder x=4

Beide Lösungen sind ganzzahlig, aber x=4 scheidet aus,
weil dann der Nenner der gegebenen Gleichung null wird.

Was also bleibt, ist die Lösungsmenge

        [mm] M_1 [/mm] = [mm] \{-10\} [/mm]


good night !





Bezug
                                
Bezug
Mengen: Aufgabe 2
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Sa 01.11.2008
Autor: jeremia

Du bist genial... danke dafür... ich habe sogar alles verstanden :-)

Doch in der zweiten Aufgabe sieht nun wieder alles anders aus und schon weiß ich wieder nicht mehr weiter und kann auch deine Superrechnung nicht zur Hilfe nehmen :-(

Vielleicht kannst du mir ja schreiben, wie du an diese Aufgabe rangehst :-)

Ermitteln sie die Menge M2 über dem Grundbereich der ganzen Zahlen

M2 = [mm] {-\wurzel{110 + x} = x} [/mm]

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 Sa 01.11.2008
Autor: Steffi21

Hallo, du kannst die Gleichung quadrieren, du erhälst eine quadratische Gleichung in x, mit zwei Lösungen, am Ende ist aber unbedingt zu überprüfen, welche der beiden Zahlen die Ausgangsgleichung erfüllt, Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Mengen: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Sa 01.11.2008
Autor: jeremia

Hi Steffi,

danke für deine schnelle Antwort! Aber wie Quadriere ich die Gleichung?
Ich bin etwas länger schon aus der Schule und muss mir nun wieder alles aneignen... nunja... ich fange so ziemlich bei Null an :-)

Wie ist das dann mit dem Minuszeichen vor der Wurzel? Und wird der ganze Term quadriert oder fällt dabei nur die Wurzel weg und alles andere bleibt so stehen? Ich weiß es wirklich nicht :-)


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Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 01.11.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] (-\wurzel{110+x})^{2}=x^{2} [/mm]

[mm] 110+x=x^{2} [/mm]

[mm] 0=x^{2}-x+110 [/mm]

jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen, p=-1 und q=110

[mm] x_1_2=-\bruch{p}{2}\pm\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q} [/mm]

beachte unbedingt, die Probe zu machen,
(schreibe bitte deine Fragen auch wirklich als Frage, dann erscheint sie rot)
Steffi

Bezug
                                                                
Bezug
Mengen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Sa 01.11.2008
Autor: jeremia

DAAAANNNNKKKEEEE... mmh... war wohl eher ein Klacks für dich *grins*

Nunja... ich stehe vor diesen Aufgaben immer wie der Ochs vorm Tor :-)
Dabei sieht es so simpel aus...

Meine letzte Aufgabe ist bestimmt auch wieder ganz leicht... ich würde auch gerne mal selber drauf kommen... aber irgendwie habe ich das mathematische Verständnis für solche Aufgaben nicht....

cos(3x + 12) = 1

Wie du siehst, es ändert sich etwas die Aufgabe und schon fehlt mir der Ansatz, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann / soll...
Kann man das cos auch irgendwie wegkürzen?

Oje... ich habe das schon wieder nicht als Frage definiert

Bezug
                                                                        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 01.11.2008
Autor: Steffi21

Hallo

es gilt cos(0)=1, [mm] cos(2\pi)=1 [/mm]

also 3x+12=0 somit x=-4
bzw. [mm] 3x+12=2\pi [/mm] somit [mm] x=\bruch{2}{3}\pi [/mm] -4

die Cosinusfunktion hat die Periode [mm] 2\pi, [/mm] somit
[mm] x=-4+k*2\pi, k\in\IZ [/mm]
[mm] x=\bruch{2}{3}\pi -4+k*2\pi, k\in\IZ [/mm]

Steffi




Bezug
                                                                                
Bezug
Mengen: kleine Korrektur
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 18:41 Sa 01.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  
> es gilt cos(0)=1, [mm]cos(2\pi)=1[/mm]
>
> also 3x+12=0 somit x=-4
>  bzw. [mm]3x+12=2\pi[/mm] somit [mm]x=\bruch{2}{3}\pi[/mm] -4
>  
> die Cosinusfunktion hat die Periode [mm]2\pi,[/mm] somit
> [mm]x=-4+k*2\pi, k\in\IZ[/mm]
>  [mm]x=\bruch{2}{3}\pi -4+k*2\pi, k\in\IZ[/mm]
>  
> Steffi


hallo Steffi,

mit deiner Antwort hast du mich auf einen Fehler
hingewiesen, den ich zuerst gemacht hatte - ich
habe die Gleichung nicht genau angeschaut.
Nun ist aber bei deiner Antwort auch noch ein kleiner
Fehler, es müsste heissen:

  [mm]x=\bruch{2}{3}\pi -4+k*\bruch{2}{3}\pi, k\in\IZ[/mm]

Auf den vorne stehenden Summanden  [mm] \bruch{2}{3}\pi [/mm]  kann
man dann auch verzichten.

Gruß    Al

Bezug
                                                                        
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Sa 01.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> cos(3x + 12) = 1

>  Kann man das cos auch irgendwie wegkürzen?


weg-"kürzen" kann man cos nicht

Hier muss man etwas über die Cosinusfunktion wissen.
Diese Funktion ist periodisch (Periodenlänge [mm] 2\pi), [/mm] und
alle ihre Werte liegen im Intervall  [-1 ... +1]. Bei x=0
ist einer der Hochpunkte mit y=1. Wegen der Periodizi-
tät liegen weitere Hochpunkte bei allen ganzzahligen
Vielfachen von  [mm] 2\pi. [/mm] Damit ist die Lösungsmenge
dieser Gleichung:

       [mm] \IL=\{3x+12=k*2\pi\ |\ k\in \IZ\}=\{3x=-12+k*2\pi\ |\ k\in \IZ\}=\{x=-4+k*\bruch{2\pi}{3}\ |\ k\in \IZ\} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:07 So 02.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Du bist genial... danke dafür... ich habe sogar alles verstanden :-)


Ein echtes Genie hätte sofort gemerkt, dass man die
Gleichung so lösen kann:

          [mm] \bruch{x^2+5x-36}{4-x}=1 [/mm]

          [mm] \bruch{(x+9)(x-4)}{4-x}=1 [/mm]

            $\ x+9=-1$

             $\ x=-10$

schönen Gruss !

Bezug
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