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Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mi 31.10.2012
Autor: petapahn

Hallo allerseits,
Wie kann man die Offenheit eines Intervalls ]x,y[ beweisen?
Nach Definition muss die Umgebung eine Teilmenge von ]x;y[ sein, also
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] ]x;y[ [mm] \exists \varepsilon [/mm] >0: ]x- [mm] \varepsilon; x+\varepsilon[ \subseteq [/mm] ]x;y[. Dies ist aber jetz nur eine Definition, die wahrscheinlich als Beweis nicht reichen wird. Soll ich für [mm] \varepsilon [/mm] iwelche Werte hernehmen (wenn ja welche) oder wie soll ich das beweisen?
Viele Grüße petapahn

        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mi 31.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo allerseits,
>  Wie kann man die Offenheit eines Intervalls ]x,y[
> beweisen?
>  Nach Definition muss die Umgebung

Umgebung von was?

> eine Teilmenge von ]x;y[
> sein, also
>  [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] ]x;y[

Autsch: Du darfst doch nicht [mm] $x\,$ [/mm] einmal als Intervallgrenze, und einmal
als Punkt im Intervall benutzen. Die Intervallgrenze variiert doch nicht
mit einem Punkt des Intervalles - [mm] $x,y\,$ [/mm] sind hier zwar als beliebig, aber
in einer Betrachtung dann als fest anzusehen (insbesondere ist nur
der Fall [mm] $x insbesondere offen!) Kurz: [mm] $x,y\,$ [/mm] haben während der Beweisführung
die Rolle von "Parametern"!

D.h. schreibe: [mm] $\forall x_0 \in [/mm] ]x,y[: [mm] \exists \varepsilon=\varepsilon_{x_0} [/mm] > 0$ so, dass...

> [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0: ]x-
> [mm]\varepsilon; x+\varepsilon[ \subseteq[/mm] ]x;y[. Dies ist aber
> jetz nur eine Definition,

Mit einem Fehler behaftet, wie ich Dir oben erklärte!

> die wahrscheinlich als Beweis
> nicht reichen wird.

Natürlich nicht:

> Soll ich für [mm]\varepsilon[/mm] iwelche Werte
> hernehmen (wenn ja welche) oder wie soll ich das beweisen?

Mach' Dir mal eine Skizze: Zeichne ein Intervall [mm] $]x,y[\,$ [/mm] auf dem
Zahlenstrahl ein. Nimm' einen Punkt [mm] $x_0\,$ [/mm] aus diesem Intervall
her! (Es muss [mm] $x_0 \not=x$ [/mm] und [mm] $x_0 \not=y$ [/mm] sein, weil [mm] $]x,y[\,$ [/mm]
ja eben keine "Randpunkte" (linker Rand, rechter Rand) enthält!)

Betrachte nun [mm] $\varepsilon_{x,x_0}:=|x_0-x|$ [/mm] und [mm] $\varepsilon_{y,x_0}:=|y-x_0|\,.$ [/mm] Warum sind diese beiden Werte $> [mm] 0\,$? [/mm]
Warum ist dann der kleinere dieser beiden Werte $> [mm] 0\,$? [/mm]
(Für [mm] $x_0=(x+y)/2\,$ [/mm] sind die beiden gleich - "kleinere" meint hier eben
sowas wie "kleinergleich", und nicht echt kleiner!)

Beweise: Wählt man das Minimum dieser beiden Werte als [mm] $\varepsilon=\varepsilon_{x_0}\,,$ [/mm] so folgt die Behauptung!
(D.h. ist [mm] $\varepsilon\,$ [/mm] so gewählt wie oben, so gilt: Für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm]
mit [mm] $|r-x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt schon $r [mm] \in ]x,y[\,.$) [/mm]

P.S. Alternativ kannst Du auch ein solch' offenes Intervall [mm] $]a,b[\,$ [/mm] nennen.
Dann steht da, dass Du ZU ZEIGEN hast:
Für alle $x [mm] \in [/mm] ]a,b[$ ist zu zeigen: Es existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon_x [/mm] > 0$ so,
dass...
(Die Definition speziell umschreiben bringt Dich nur auf den Weg, was Du
eigentlich ZU ZEIGEN hast - wenn man formuliert, was man beweisen will,
dann hat man das noch nicht bewiesen!)

Und wie gesagt: Nimm' dann für $x [mm] \in [/mm] ]a,b[$ die Abstände von [mm] $x\,$ [/mm] zu
- dem linken Intervallrandpunkt [mm] $a\,$ [/mm]
- dem rechten Intervallrandpunkt [mm] $b\,$ [/mm]
und setze [mm] $\varepsilon=\varepsilon_x$ [/mm] dann als "den kleineren" (kleiner
im Sinne von "kleinergleich") dieser beiden Abstände fest!  
Das ist das gleiche wie oben, aber vielleicht irritieren Dich so die
Variablenbezeichnungen weniger...?!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Mi 31.10.2012
Autor: petapahn

Danke für die ausführliche Antwort. Das mit dem x war eine Unaufmerksamkeit von mir. Ich habe den Beweis auch soweit verstanden, nur eine Zeile von dir leuchtet mir nicht ein:
> Für alle [mm]r \in \IR[/mm]
>  mit [mm]|r-x_0| < \varepsilon[/mm] folgt schon
> [mm]r \in ]x,y[\,.[/mm])
>  

Denn wenn man zb annimmt dass [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \varepsilon_{x,x_{0}} [/mm] und die Zahl r liegt ganz nah an y, dann ist doch r-x > [mm] \varepsilon, [/mm] obwohl r [mm] \in [/mm] ]x,y[

Bezug
                        
Bezug
Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mi 31.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke für die ausführliche Antwort. Das mit dem x war
> eine Unaufmerksamkeit von mir. Ich habe den Beweis auch
> soweit verstanden, nur eine Zeile von dir leuchtet mir
> nicht ein:
>  > Für alle [mm]r \in \IR[/mm]

>  >  mit [mm]|r-x_0| < \varepsilon[/mm] folgt
> schon
> > [mm]r \in ]x,y[\,.[/mm])
>  >  
> Denn wenn man zb annimmt dass [mm]\varepsilon[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{x,x_{0}}[/mm] und die Zahl r liegt ganz nah an y,
> dann ist doch r-x > [mm]\varepsilon,[/mm] obwohl r [mm]\in[/mm] ]x,y[

kannst Du die Frage präziser stellen - ich verstehe gerade nicht, was
Du eigentlich fragen willst:
Dass für alle $r [mm] \in ]x_0-\varepsilon,\;x_0+\varepsilon[$ [/mm] auch $r [mm] \in ]x,y[\,$ [/mm]
gilt, folgt alleine wegen der Dreiecksungleichung. (Schreib's Dir hin!)

Und für alle $r [mm] \in ]x_0-\varepsilon,\;x_0+\varepsilon[$ [/mm] gilt zwangsweise
[mm] $$|r-x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon\,,$$ [/mm]

denn es gelten ja die beiden Ungleichungen
  1. [mm] $r-x_0 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
und
  2. [mm] $-\varepsilon [/mm] < [mm] r-x_0$ [/mm]
genau dann, wenn [mm] $|r-x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Beweis' das, wenn's unklar  
ist!

(Und natürlich: Wenn ich $r [mm] \to [/mm] y$ streben lasse, verlasse ich - eventuell
(man kann hier sagen, in welchem Falle das passieren kann: Und zwar,
wenn [mm] $x_0$ [/mm] echt näher an [mm] $x\,$ [/mm] liegt als an [mm] $y\,$) [/mm] - irgendwann [mm] $]x_0-\varepsilon,\;x_0+\varepsilon[$ [/mm]
bei obiger Wahl von [mm] $\varepsilon\,.$ [/mm] Aber für $r' [mm] \notin ]x_0-\varepsilon,\;x_0+\varepsilon[$ [/mm]
behaupten wir ja auch nix... also warum willst Du $r [mm] \to [/mm] y$ laufen lassen?)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Mi 31.10.2012
Autor: petapahn

Danke, jetzt hab ichs verstanden. Ich habe mit meiner Frage gemeint, dass wenn r [mm] \in [/mm] ]x;y[, dass dann nicht gilt: |r- [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Aber das ist ja gar nicht relevant, sondern nur das Umgekehrte. Und das gilt!
Vielen Dank nochmal
petapahn

Bezug
                                        
Bezug
Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Mi 31.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke, jetzt hab ichs verstanden. Ich habe mit meiner Frage
> gemeint, dass wenn r [mm]\in[/mm] ]x;y[, dass dann nicht gilt: |r-
> [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm] Aber das ist ja gar nicht relevant,
> sondern nur das Umgekehrte. Und das gilt!

genau! :-)

> Vielen Dank nochmal

Gerne!

Gruß,
  Marcel

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