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Forum "Uni-Analysis" - Mengen,Abbildungen
Mengen,Abbildungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mengen,Abbildungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 So 24.10.2004
Autor: Marvpeiler13

Hallo, ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann. Soll zwar ganz simpel sein, aber irgendwie steig ich da nicht durch!

Seien A,B Mengen, [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung und $M1, [mm] M2\subseteq [/mm] A$ sowie $N1, [mm] N2\subseteq [/mm] B$. Zeigen Sie:

(a) [mm] M1\subseteq [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(M1) [mm] \subseteq [/mm] f(M2);
      [mm] N1\subseteq [/mm] N2 [mm] \Rightarrow f^{-1}(N1)\subseteq f^{-1}(N2). [/mm]

(b) [mm] f(M1\cap M2)\subseteq f(M1)\cap [/mm] f(M2).  Unter welcher Voraussetzung an f gilt für alle Mengen M1,M2 [mm] \subseteq [/mm] A die Beziehung [mm] f(M1\cap M2)=f(M1)\cap [/mm] f(M2)  ???????

(c) Zeigen Sie:
     [mm] f(M1\cup M2)=f(M1)\cup [/mm] f(M2)


Wer kann mir da helfen? wäre echt nett, danke! Martin

                                
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.                                                                              

        
Bezug
Mengen,Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 So 24.10.2004
Autor: Marc

Hallo Marvpeiler13,

[willkommenmr]

> Seien A,B Mengen, [mm]f:A\toB[/mm] eine Abbildung und M1,
> [mm]M2\subseteq A[/mm] sowie N1, [mm]N2\subseteq B.[/mm] Zeigen Sie:
>  
> (a) [mm]M1\subseteq[/mm] M2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(M1) [mm]\subseteq[/mm] f(M2);

Der "Trick" bei diesen Mengeninklusionen ist, diese in logische Ausdrücke umzuformulieren

Zum Beispiel bedeutet [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] folgende logische Implikation:
[mm] $x\in M_1\ \Rightarrow\ x\in M_2$ [/mm]

Du sollst nun zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] $y\in f(M_1)\ \Rightarrow\ y\in f(M_2)$ [/mm]

Da es hier nur um das Üben von Formalismen geht, führe ich mal den Beweis für diese Aufgabe vor, un du versuchst dich an den anderen Beweisen, ja? :-)

Voraussetzung: A,B Mengen, [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung und [mm] $M_1,M_2 \subseteq [/mm] A$, [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm]
Behauptung: [mm] $f(M_1)\subseteq f(M_2)$ [/mm]
Beweis:
Sei [mm] $y\in f(M_1)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert [mm] $x\in M_1$, [/mm] so dass $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (wegen [mm] $M_1\subseteq M_2$) $x\in M_2$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $f(x)\in f(M_2)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (wegen y=f(x)) [mm] $y\in f(M_2)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Behauptung. [mm] $\Box$ [/mm]

> [mm]N1\subseteq[/mm] N2 [mm]\Rightarrow f^{-1}(N1)\subseteq f^{-1}(N2). [/mm]
>  
>
> (b) [mm]f(M1\cap M2)\subseteq f(M1)\cap[/mm] f(M2).  Unter welcher
> Voraussetzung an f gilt für alle Mengen M1,M2 [mm]\subseteq[/mm] A
> die Beziehung [mm]f(M1\cap M2)=f(M1)\cap[/mm] f(M2)  ???????
>  
> (c) Zeigen Sie:
>       [mm]f(M1\cup M2)=f(M1)\cup[/mm] f(M2)
>  
>
> Wer kann mir da helfen? wäre echt nett, danke! Martin

Probiere diese Aufgabe noch nun mal selbst, wir helfen dir, wenn du ins Stocken gerätst :-)

Viele Grüße,
Marc

PS: Übrigens solltest du nach den LaTeX-Befehlen wie z.B. \subseteq ein Leerzeichen anfügen, dann werden diese Zeichen auch nicht verschluckt.

Bezug
        
Bezug
Mengen,Abbildungen: nicht verstanden
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:22 Di 26.10.2004
Autor: maria

Ich habe dieselben Aufgaben zu lösen, aber kann die Lösungsmöglichkeit von dem ersten Teil nicht nachvollziehen und habe somit auch Probleme mit den nachfolgenden Aufgaben. Marc, kannst du deine Lösung vielleicht ausführlicher schreiben oder kann mir jemand einen Hinweis geben?

Bezug
                
Bezug
Mengen,Abbildungen: OK, aber
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:08 Di 26.10.2004
Autor: Marc

Hallo maria,

> Ich habe dieselben Aufgaben zu lösen, aber kann die
> Lösungsmöglichkeit von dem ersten Teil nicht nachvollziehen
> und habe somit auch Probleme mit den nachfolgenden
> Aufgaben. Marc, kannst du deine Lösung vielleicht
> ausführlicher schreiben oder kann mir jemand einen Hinweis
> geben?

Einfacher ist, denke ich, du sagst mir, an welcher Stelle du etwas nicht verstanden hast, sonst werde ich vielleicht an der falschen Stelle zu ausführlich.

Bis gleich,
Marc

Bezug
                        
Bezug
Mengen,Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Di 26.10.2004
Autor: maria

du schließt von y [mm] \in [/mm] f(M1)  sofort auf y [mm] \in [/mm] f(M2) , mit der Begründung, dass  aus x [mm] \in [/mm] M1  x [mm] \in [/mm] M2 folgt. Damit soll ich den Ausdruck [mm] M1\subseteq [/mm] M2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(M1) [mm] \subseteq [/mm] f(M2) schon gezeigt haben????

Bezug
                                
Bezug
Mengen,Abbildungen: in Worten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:03 Mi 27.10.2004
Autor: Marc

Hallo maria,

> du schließt von y [mm]\in[/mm] f(M1)  sofort auf y [mm]\in[/mm] f(M2) , mit
> der Begründung, dass  aus x [mm]\in[/mm] M1  x [mm]\in[/mm] M2 folgt. Damit
> soll ich den Ausdruck [mm]M1\subseteq[/mm] M2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(M1)
> [mm]\subseteq[/mm] f(M2) schon gezeigt haben????

Was soll ich dazu anderes sagen ausser "Ja"?

Ich umschreibe es nochmal in Worten.
Ich werde zeigen, dass jedes Element y aus [mm] f(M_1) [/mm] auch in [mm] f(M_2) [/mm] liegt (das ist gleichbedeutend mit [mm] $f(M_1)\subseteq f(M_2)$). [/mm]

Ich nehme mir ein beliebiges Element [mm] $y\in f(M_1)$ [/mm] her. Zu diesem gibt es ein Urbild x (also f(x)=y).
Dieses Urbild x liegt natürlich in [mm] $M_1$ [/mm] (da y aus [mm] f(M_1) [/mm] ist.)
Nun ist aber jedes Element x aus [mm] M_1 [/mm] auch in der Menge [mm] M_2 [/mm] enthalten (wegen [mm] $M_1\subseteq M_2$). [/mm]
(Zur Verdeutlichung: Es gilt [mm] $x\in M_1$ [/mm] und [mm] $x\in M_2$) [/mm]
Also liegt y=f(x) auch in der Menge [mm] f(M_2). [/mm]

Das war in Worten nochmal mein ursprünglicher Beweis, ich hoffe, es ist klarer geworden.
Sonst frage bitte nach.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Mengen,Abbildungen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Mi 27.10.2004
Autor: maria

Dank dir, Marc. Inzwischen habe ich auch die restlichen Aufgaben bearbeitet. Ob ich es nun richtig verstanden habe, wird sich nächste Woche zeigen, wenn wir die Übungsaufgaben zurückbekommen. Ich kann dir ja bescheid sagen :-) Danke für die Arbeit, die du dir mit mir gemacht hast. Gruß, Maria

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