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| Aufgabe | Es seien die beiden folgenden Mengen gegeben:
[mm] A=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{1}\le1\}
[/mm]
[mm] B=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{2}\le1\}
[/mm]
Dabei gilt [mm] ||(r,s)||_{1}=|r|+|s| [/mm] und [mm] ||(r,s)||_{2}=\wurzel{r^{2}+s^{2}}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] A\subseteq [/mm] B
b) Was muss zusätzlich zu a) gezeigt werden, sodass A=B gilt
c) Überprüfen Sie, ob A=B |
Komme bei der Aufgabe nicht wirklich voran
Hab das hier zu a)
a) z.Z.: [mm] A\subseteq [/mm] B [mm] \forall [/mm] x [mm] \in A\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
(r,s) [mm] \in\IR^{2} [/mm] sei Element von A
[mm] \Rightarrow |r|+|s|\le1\Rightarrow 0\le|r|\le1\wedge0\le|s|\le1\Rightarrow 0\le r^{2}\le1\wedge0\le s^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le\wurzel{1}\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le1\Rightarrow(r,s)\in B\Rightarrow A\subseteq [/mm] B //bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, auch wenn es meines Erachtens logisch ist
Bei b) und c) hab ich bisher leider noch nicht wirklich eine idee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 02.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
a) Aus $a,b [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgt nicht $a+b [mm] \le [/mm] 1$
b) Die umgekehrte Inklusion
c) Zeige [mm] $(1/\sqrt 2,1/\sqrt [/mm] 2)$ liegt in B, aber nicht in A.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 03.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch mal die 2 Mengen, indem du die Ränder |x|+|y| =1 und [mm] x^2+y^2=1 [/mm] zeichnest, vielleicht fällt dir dann der Beweis leichter.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:16 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es seien die beiden folgenden Mengen gegeben:
> [mm]A=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{1}\le1\}[/mm]
> [mm]B=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{2}\le1\}[/mm]
> Dabei gilt [mm]||(r,s)||_{1}=|r|+|s|[/mm] und
> [mm]||(r,s)||_{2}=\wurzel{r^{2}+s^{2}}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]A\subseteq[/mm] B
> b) Was muss zusätzlich zu a) gezeigt werden, sodass A=B
> gilt
> c) Überprüfen Sie, ob A=B
> Komme bei der Aufgabe nicht wirklich voran
> Hab das hier zu a)
>
> a) z.Z.: [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in A\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B
> (r,s) [mm]\in\IR^{2}[/mm] sei Element von A
> [mm]\Rightarrow |r|+|s|\le1\Rightarrow 0\le|r|\le1\wedge0\le|s|\le1\Rightarrow 0\le r^{2}\le1\wedge0\le s^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le\wurzel{1}\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le1\Rightarrow(r,s)\in B\Rightarrow A\subseteq[/mm]
> B //bin mir aber nicht sicher ob da0s stimmt, auch wenn es
> meines Erachtens logisch ist
Ist es nicht, denn [mm] r^2+s^2 \le (|s|+|r|)^2
[/mm]
FRED
>
> Bei b) und c) hab ich bisher leider noch nicht wirklich
> eine idee
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| Aufgabe | | Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für [mm] (|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2} [/mm] |
Sry hatte den Hinweis vergessen in die Angabe zu schreiben
[mm] (|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0 [/mm]
Dies ist wahr [mm] \forall [/mm] (r,s) [mm] \in\IR
[/mm]
Nur was bringt mir das dann?
Anhand der Zeichung der 2 Mengen sehe ich dass A eine Teilmenge von B ist
Ist mein Ansatz denn total falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}[/mm]
> Sry hatte den Hinweis
> vergessen in die Angabe zu schreiben
>
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0[/mm]
>
> Dies ist wahr [mm]\forall[/mm] (r,s) [mm]\in\IR[/mm]
>
> Nur was bringt mir das dann?
Hä ? Das bringt Dir sofort die Inklusion $ [mm] A\subseteq [/mm] B $
> Anhand der Zeichung der 2 Mengen sehe ich dass A eine
> Teilmenge von B ist
> Ist mein Ansatz denn total falsch?
Ja, Deinen Fehler hat Dir andyv schon mitgeteilt.
FRED
>
>
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Aber sagt das nicht aus, dass [mm] A\ge [/mm] B ist? Was ja aber laut Graphen nicht so ist. und dann ist A doch nicht Teilmenge von B
Oder verstehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> siehe vorherige
> Aber sagt das nicht aus, dass [mm]A\ge[/mm] B ist? Was ja aber laut
> Graphen nicht so ist. und dann ist A doch nicht Teilmenge
> von B
>
> Oder verstehe ich das falsch?
ja.
Sei (r,s) [mm] \in [/mm] A. Dann ist |r|+|s| [mm] \le [/mm] 1. Wegen
[mm] r^2+s^2 \le (|r|+|s|)^2,
[/mm]
folgt: [mm] r^2+s^2 \le [/mm] 1, also (r,s) [mm] \in [/mm] B.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Martin_Ph |
Ah stimmt wenn [mm] (|r|+|s|)^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1
[/mm]
Danke für die Hilfe!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}[/mm]
> Sry hatte den Hinweis
> vergessen in die Angabe zu schreiben
>
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0[/mm]
>
> Dies ist wahr [mm]\forall[/mm] (r,s) [mm]\in\IR[/mm]
das steht so hoffentlich nicht da, denn es ist $(r,s) [mm] \in \IR^2$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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