Mengen homöomorph, konvex, ... < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $M_1=\overline{B_1\Big(\left(-1,0,\ldots,0\right)\Big)}\cup \overline{B_1\Big(\left(1,0,\ldots,0\right)\Big)}\:\subseteq \mathbb{R}^n$ [/mm]
[mm] $M_2=\left\{x\in\mathbb{R}^2:x_1 x_2=0\right\}\:\subseteq \mathbb{R}^2$
[/mm]
a) Ist die Menge [mm] $M_2$ [/mm] homöomorph zu [mm] $\mathbb{R}$?
[/mm]
b) Ist die Menge [mm] $M_2$ [/mm] homöomorph zu [mm] $\mathbb{R}^2$?
[/mm]
c) Welche der Mengen [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] sind konvex und welche sind sternförmig bzgl. [mm] $0\in\mathbb{R}^2$? [/mm] |
Hi, ich habe da ein paar Fragen zu der obigen Aufgabe.
a)
Hier habe ich folgendermaßen argumentiert:
[mm] $M_2$ [/mm] ist nicht homöomorph zu [mm] $\mathbb{R}$: [/mm] Angenommen [mm] $f:M_2\to\mathbb{R}$ [/mm] sei eine beliebige Homöomorphie. Dann folgt: [mm] $M_2\setminus\{(0,0)\}\to \mathbb{R}\setminus f\big((0,0)\big)$, [/mm] denn $f$ ist ja bijektiv.
[mm] $M_2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] hat ja nun 4 Wegzusammenhangskomponenten (im folgenden kurz: WZHK), [mm] $\mathbb{R}\setminus f\big((0,0)\big)$ [/mm] aber nur zwei, nämlich [mm] $\left(-\infty,f\big((0,0)\big)\right)$ [/mm] und [mm] $\left(f\big((0,0)\big),\infty\right)$. [/mm] Die WZHK von [mm] $\mathbb{R}\setminus f\big((0,0)\big)$ [/mm] sind ja, denke ich mal klar, da muss ich wahrscheinlich nichts weiter zeigen, aber sollte ich für [mm] $M_2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] erst noch zeigen, dass es aus 4 WZHK besteht(, und nicht wie [mm] $M_2$ [/mm] aus nur einer WZHK, da [mm] $M_2$, [/mm] wie in einer vorherigen Aufgabe gezeigt, wegzusammenhängend ist)? Wie ginge das am besten?
b) Hier gehe ich wieder davon aus, das beide Mengen nicht homöomorph sind, mit dem gleichen Argument wie in a), nur dass dieses Mal [mm] $\mathbb{R}^2\setminus f\big((0,0)\big)$ [/mm] bei einer beliebigen Homöomorphie [mm] $f:M_2\to\mathbb{R}^2$ [/mm] ja eigentlich sogar (noch) wegzusammenhängend sein müsste, aber wie zeigt man das? Ich müsste ja weiterhin zu jedem Punktepaar in [mm] $\mathbb{R}^2\setminus f\big((0,0)\big)$ [/mm] einen Weg finden können, denn "ich komme ja einfach um [mm] $f\big((0,0)\big)$ [/mm] herum", anders als im [mm] $\mathbb{R}$, [/mm] aber wie ich das zeigen könnte, dazu habe ich gerade keine vernünftige Idee. Ich hab mir zwar überlegt, man könnte es so machen, dass man einen Ball um [mm] $f\big((0,0)\big)$ [/mm] legt, der ja wegzusammenhängend ist, und davon dann den Radius gegen 0 laufen lässt (dann wäre ja, sozusagen [mm] $\mathbb{R}^2\setminus f\big((0,0)\big)=\mathbb{R}^2\setminus B_{\varepsilon\to 0}\left(f\big((0,0)\big)\right)$, [/mm] oder so, aber irgendwie weiß ich nicht, ob mir das was bringt. Eine vernünftige Aussage daraus abzuleiten, gelingt mir gerade nämlich nicht. :/
c) Hier habe ich bis jetzt nur (eventuell) gezeigt, dass [mm] $M_2$ [/mm] nicht konvex ist, weil für [mm] $(-1,0),\:(0,1)\in M_2$ [/mm] gilt, dass [mm] $\sigma[(-1,0),\:(0,1)]$ [/mm] (also die Strecke zwischen beiden Punkten) nicht in [mm] $M_2$ [/mm] liegt, denn für [mm] $\sigma[(-1,0),\:(0,1)]=\gamma(t)=(-1,0)+t\cdot(0,1)$ ($\gamma:[0,1]\to M_2$) [/mm] gilt ja mit [mm] $\gamma(0.5)=(-0.5,0.5)\notin M_2$, [/mm] da [mm] $-0.5\cdot 0.5=-0.25\neq [/mm] 0$. Geht die Sternförmigkeit von [mm] $M_2$ [/mm] ohne Fallunterscheidungen, oder muss ich einfach für jeden Fall (x<0,y=0; x>0,y=0;x=0,y<0;x=0,y>0) zeigen, dass dort alle Wege zu $(0,0)$ in [mm] $M_2$ [/mm] enthalten sind?
Bei [mm] $M_1$ [/mm] hab ich keine Ahnung. Ich habe vorher (hoffentlich korrekterweise) gezeigt, dass [mm] $M_1$ [/mm] wegzusammenhängend ist (weil [mm] $(0,\ldots,0)\in\mathbb{R}^n$ [/mm] in beiden abgeschlossenen Bällen enthalten ist, und Bälle, ich hoffe auch mal abgeschlossene Bälle, konvex und damit wegzusammenhängend sind), aber wie das jetzt genau mit der Sternförmigkeit (wahrscheinlich bzgl. [mm] $0\in\mathbb{R}^{\color{red}n}$, [/mm] nehme ich an) und der Konvexität gehen soll, weiß ich nicht, ehrlich gesagt. Ich denke aber, dass [mm] $M_1$ [/mm] zumindest sternförmig ist, was sich wahrscheinlich auch über die Konvexität der einzelnen Bälle begründen lässt, aber bei der Konvexität bin ich noch nicht weiter. Kann man das genauso machen wie bei [mm] $M_2$, [/mm] also zeigen, dass der Weg von irgendeinem Punkt des ersten Balls zu irgendeinem Punkt des zweiten Balls nicht in der Menge liegt? Muss ich das überhaupt allgemein zeigen, oder könnte ich das auch einfach für, beispielsweise, $n=2$ widerlegen?
Ich wäre, wie immer, für Tipps und Korrekturen dankbar!
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Ich habe eben noch mal eine andere Aufgabe auf dem Zettel gelöst, wo ich bewiesen habe, dass, wenn [mm] $A,B\in\mathbb{K}^n$ [/mm] sternförmige Mengen bzgl. a sind, [mm] $A\cup [/mm] B$ und [mm] $A\cap [/mm] B$ ebenfalls sternförmig sind bzgl. a.
Kann ich dann einfach für [mm] $M_1$ [/mm] schreiben:
[mm] $\overline{B_1\Big(\left(-1,0,\ldots,0\right)\Big)}$ [/mm] und [mm] $\overline{B_1\Big(\left(1,0,\ldots,0\right)\Big)}$ [/mm] sind konvex, also auch sternförmig bzgl. [mm] $0\in\mathbb{R}^n$, [/mm] also ist [mm] $M_1=\overline{B_1\Big(\left(-1,0,\ldots,0\right)\Big)}\cup \overline{B_1\Big(\left(1,0,\ldots,0\right)\Big)}\:\subseteq \mathbb{R}^n$ [/mm] auch sternförmig bzgl. [mm] $0\in\mathbb{R}^n$?
[/mm]
Kann man so auch [mm] $M_2$ [/mm] angehen, und wenn ja: wie? 
Entschuldigung übrigens für die kurze Frist, aber ich bin erst recht spät dazu gekommen, mich eingehend mit den Aufgaben zu beschäftigen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 17.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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