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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Mengen in Mengen
Mengen in Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Mengen in Mengen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Fr 22.10.2004
Autor: Reaper

Meine Frage was ist der Unterschied zwischen:
geg.: Menge A
1. A={1}
2. A={{1}}

oder

1.A={ [mm] \emptyset} [/mm]
2.A={{ [mm] \emptyset}} [/mm]

Besteht hierbei ein Unterschied in den Elementen die die Menge A in 1 bzw 2 besitzt oder bleiben die Elemente dadurch gleich?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Mengen in Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Fr 22.10.2004
Autor: andreas

hi

also: ich nehme mal an, dass du einsiehst, dass [m] \emptyset \not= \{\emptyset \} [/m] ist, da die erste menge kein element enthält, die zweite menge jedoch offensichtlich ein elemnet enthält. also darf man die mengenklammern um eine menge nicht weglassen, somit sind auch [m] \{A \} [/m] und [m] \{ \{ A \} \} [/m] verschiedene mengen.

grüße
andreas
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Mengen in Mengen: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Fr 22.10.2004
Autor: Reaper

[mm] \{ \emptyset \} [/mm] hat also ein Element und zwar  [mm] \emptyset [/mm]
[mm] \{ \{ \emptyset\}\} [/mm] hat demnach 2 Elemente und zwar [mm] \emptyset [/mm] und
[mm] \{ \emptyset\}, [/mm] oder liege ich da falsch?
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Mengen in Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Fr 22.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Reaper!

>  [mm]\{ \emptyset \}[/mm] hat also ein Element und zwar  [mm]\emptyset [/mm]

[ok]

>   [mm]\{ \{ \emptyset\}\}[/mm] hat demnach 2 Elemente und zwar
> [mm]\emptyset[/mm] und
> [mm]\{ \emptyset\},[/mm] oder liege ich da falsch?

Nein, das ist falsch. [mm] $\{\{\emptyset\}\}$ [/mm] hat nur ein Element, und das ist [mm] $\{\emptyset\}$. [/mm]

Die äußeren Mengenklammern deuten an, dass es sich um eine Menge handelt. Und das, was da drin steht, sind die Elemente. Es steht aber nur ein Ausdruck drin, und das ist gerade [mm] $\{\emptyset\}$. [/mm] Also ist  [mm] $\{\emptyset\}$ [/mm] das einzige Element von [mm] $\{\{\emptyset\}\}$. [/mm]

Aber wir können uns ja mal die Teilmengen anschauen:

[mm] $\{ \emptyset \}$ [/mm] hat die Teilmengen [mm] $\emptyset$ [/mm] und [mm] $\{ \emptyset \}$. [/mm]

[mm] $\{\{\emptyset\}\}$ [/mm] hat die Teilmengen [mm] $\emptyset$ [/mm] und [mm] $\{\{ \emptyset\} \}$. [/mm]

Verstehst du das? Wenn nicht, frage bitte nach, wir helfen dir. :-)

Liebe Grüße
Stefan


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Mengen in Mengen: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Fr 22.10.2004
Autor: Reaper

Was mir nicht ganz bewusst ist warum hat

[mm] \{ \{ \emptyset \} \} [/mm] nicht die Teilmengen [mm] \{ \emptyset \} [/mm] und
[mm] \{ \{ \emptyset \} \}? [/mm]

Und noch eine Frage: Ist  [mm] \{ \emptyset \} \cap \{ \{ \emptyset \} \} [/mm] =  [mm] \emptyset [/mm] ? Demnach schon oder?
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Mengen in Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Fr 22.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Reaper!

> Was mir nicht ganz bewusst ist warum hat
>  
> [mm]\{ \{ \emptyset \} \}[/mm] nicht die Teilmengen [mm]\{ \emptyset \}[/mm]
> und
> [mm]\{ \{ \emptyset \} \}? [/mm]

Nun ja, [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$ [/mm] ist ja eine Menge, die nur aus einem Element besteht, nämlich dem Element [mm] $\{\emptyset\}$. [/mm]

Stell dir also eine Menge vor, die nur ein Element besitzt: [mm] $M=\{e\}$. [/mm]

Eine Teilmenge von $M$ ist eine Menge $U$ mit $U [mm] \subset [/mm] M$. Eine einelementige Menge wie [mm] $M=\{e\}$ [/mm] hat zwei Teilmengen: die leere Menge (die ist Teilmenge jeder Menge) und die Menge [mm] $M=\{e\}$ [/mm] selbst (dies ist auch immer der Fall: eine Menge ist immer Teilmenge von sich selbst).

Daher hat auch [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$ [/mm] zwei Teilmengen: Die leere Teilmenge, [mm] $\emptyset$, [/mm] und die Menge selbst, [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$. [/mm]

Wäre [mm] $\{ \emptyset \}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$, [/mm] dann müsste ja [mm] $\emptyset$ [/mm] (das einzige Element von [mm] $\{ \emptyset \}$) [/mm] in [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$ [/mm] enhalten sein. Ist es aber nicht, da [mm] $\{ \{ \emptyset \} \}$ [/mm] nur das einzige Element [mm] $\{ \emptyset \}$ [/mm] enthält.

> Und noch eine Frage: Ist  [mm]\{ \emptyset \} \cap \{ \{ \emptyset \} \}[/mm]
> =  [mm]\emptyset[/mm] ? Demnach schon oder?

[ok] (Sehr gut! [super])

Liebe Grüße
Stefan

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Mengen in Mengen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:41 Sa 23.10.2004
Autor: Reaper

Danke für die tollen Antworten!
Aber ich muss noch einmal lästig sein

Also hat demnach A= [mm] \{1, \{A \} \} [/mm] nicht soviele Teilmengen(nämlich 3) wie  A= [mm] \{1, A \} [/mm] (nämlich 4), aber gleich viele Elemente, oder?

Aus A= [mm] \{1, A \} [/mm] ergibt sich ja das Russel'sche Paradoxon, also ein Widerspruch in sich selbst.

Laut Cantor muss eine Menge "wohlunterschiedene Objekte" besitzen, welche ein "Ganzes" bilden. Kriterien die hier wohl nicht erfüllt sind da die
Menge A sich selbst enthält. A [mm] \in [/mm] A

Also muss folgendes gelten A [mm] \in [/mm] A  [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \not\in [/mm] A

Warum muss dann aus z.b. M [mm] \not\in [/mm] M  [mm] \Rightarrow [/mm] M [mm] \in [/mm] M folgen?





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Mengen in Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:52 Sa 23.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Reaper!


> Also hat demnach A= [mm]\{1, \{A \} \}[/mm] nicht soviele
> Teilmengen(nämlich 3) wie  A= [mm]\{1, A \}[/mm] (nämlich 4), aber
> gleich viele Elemente, oder?

Also: [mm] $B=\{1,\{A\}\}$ [/mm] besitzt  genauso viele Teilmengen (nämlich 4) wie [mm] $C=\{1,A\}$. [/mm] (Jede zweielementige Menge besitzt [mm] $2^2=4$ [/mm] Elemente.)

Der Ausdruck $A= [mm] \{1,A\}$ [/mm] ist mengentheoretisch (wie du selber sagst) undefiniert.

> Laut Cantor muss eine Menge "wohlunterschiedene Objekte"
> besitzen, welche ein "Ganzes" bilden. Kriterien die hier
> wohl nicht erfüllt sind da die
> Menge A sich selbst enthält. A [mm]\in[/mm] A
>  
> Also muss folgendes gelten A [mm]\in[/mm] A  [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\not\in[/mm]
> A
>  
> Warum muss dann aus z.b. M [mm]\not\in[/mm] M  [mm]\Rightarrow[/mm] M [mm]\in[/mm] M
> folgen?

Dieser Widerspruch tritt auf, wenn man

$A = [mm] \{M \, : \, M \notin A\}$ [/mm]

setzt.

Wäre $A [mm] \in [/mm] A$, dann wäre nach Definition von $A$ gerade $A [mm] \notin [/mm] A$, Widerspruch.

Wäre $A [mm] \notin [/mm] A$, dann wäre nach Definition von $A$ gerade $A [mm] \in [/mm] A$,
Widerspruch.

Daher kam es zu dieser Forderung.

Genaueres musst du aber in entsprechenden Büchern nachlesen, da über diese Dinge mein diesbezügliches Wissen (noch ;-)) nicht hinausreicht.

Liebe Grüße
Stefan
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Mengen in Mengen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Sa 23.10.2004
Autor: Reaper

Dank der Antworten hab ich das Ganze erst wirklich verstanden :)
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