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Gegeben seien die nichtleeren Mengen A, B und die Abbildung f : A --> B . Zeigen sie :
Die Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn eine Abbildung g : B --> A existiert mit g o f = id A.
So, und hier sehe ich absolut kein land, denn ich weiß nicht wie ich ansetzen soll :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo rotespinne!
Wir müssen ja zwei Richtungen zeigen.
Zunächst müssen wir zeigen:
Wenn $f:A [mm] \to [/mm] B$ injektiv ist, dann gibt es eine Funktion $g:B [mm] \to [/mm] A$ mit $g [mm] \circ f=id_A$
[/mm]
Nun, wir wählen uns ein [mm] $a_0 \in [/mm] A$ beliebig aus und definieren uns:
$g: [mm] \begin{array}{ccc} B & \to & A\\[5pt] b & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ccc} a & , & \mbox{falls es ein} \ a \in A \ \mbox{gibt mit} \ f(a)=b,\\[5pt] a_0 & , & \mbox{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$
[/mm]
Da $f$ injektiv ist, ist $g$ wohldefiniert. Weiterhin gilt nach Konstruktion:
$g(f(a)) = a$ für alle $a [mm] \in [/mm] A$.
Die Umkehrung lautet wie folgt:
Wenn es eine Funktion $g:B [mm] \to [/mm] A$ gibt mit $g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_A$, [/mm] dann ist $f$ injektiv.
Sie ist sehr einfach zu beweisen:
Für $x,y [mm] \in [/mm] A$ folgt aus $f(x)=f(y)$ sofort
$x = g(f(x)) = g(f(y)) = y$,
was gerade bedeutet, dass $f$ injektiv ist.
Weitere "interessante" Sätze zu dem Thema findest du  hier und hier.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Fr 13.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
Vielen Vielen dank für die Mühe :) Ich werde nach dem selben Scheme nun mal versuchen bei meiner teilaufgabe b voranzukommen.
wenn ich fragen habe komme ich zurück :)
DANKE DANKE DANKE
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