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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 29.11.2005 | | Autor: | tj4life |
Hat jemand Ideen zu dieser Aufgabe?
Ich komm nicht voran!
Sei M eine Menge und R ein Ring. Versehen Sie die Menge
F(M,R):={f : M [mm] \to [/mm] R}
der R-wertigen Funktionen mit den Verknüpfungen einer Addition und einer Multiplikation.
Also mache ich:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) und
(f*g)(x)=f(x)*g(x)
Doch nun:
1. Weisen Sie nach, dass F(M,R) ein Ring ist
2. Für welche Ringe ist die Verknüpfung + bzw. die Verknüpfung * kommutativ? Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium an.
3. Sei der Ring R nullteilerfrei. Stellen Sie eine Bedingung an M, die notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür ist, dass auch F(M,R) nullteilerfrei ist.
4. Bilden die injektiven Funktionen in F(M,R) einen Unterring? Bilden die surjektiven Funktionen in F(M,R) einen Unterring? Begründung (d.h. Beweis oder Gegenbeispiel)!
5. Geben Sie ein Beispiel für einen Ring mit Eins, der einen Unterring mit Eins besitzt, wobei das Einselement des Unterrings nicht gleich dem Einselement des Rings ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 29.11.2005 | | Autor: | felixf |
Sali,
es waer schoen wenn du mal dabeischreiben wuerdest, was du dir schon dazu ueberlegt hast bzw. wie weit du gekommen bist.
> Sei M eine Menge und R ein Ring. Versehen Sie die Menge
> F(M,R):=[mm]\{f : M\to R\}[/mm]
> der R-wertigen Funktionen mit den Verknüpfungen einer
> Addition und einer Multiplikation.
>
> Also mache ich:
> (f+g)(x)=f(x)+g(x) und
> (f*g)(x)=f(x)*g(x)
>
> Doch nun:
> 1. Weisen Sie nach, dass F(M,R) ein Ring ist
Also das solltest du noch selber schaffen! Du musst einfach die Ringaxiome nachrechnen. Wieweit bist du denn gekommen?
> 2. Für welche Ringe ist die Verknüpfung + bzw. die
> Verknüpfung * kommutativ? Geben Sie ein notwendiges und
> hinreichendes Kriterium an.
Hinweis: Hat M eine spezielle Form, so ist der entstehende Ring immer kommutativ; ansonsten haengt es von R ab.
Dieser Aufgabenteil ist wirklich nicht schwer.
> 3. Sei der Ring R nullteilerfrei. Stellen Sie eine
> Bedingung an M, die notwendiges und hinreichendes Kriterium
> dafür ist, dass auch F(M,R) nullteilerfrei ist.
Du musst zwei Funktionen angeben, beide ungleich der Konstant-0-Funktion, deren Produkt gleich der Konstant-0-Funktion ist. Was muss M erfuellen, damit es sowas gibt?
> 4. Bilden die injektiven Funktionen in F(M,R) einen
> Unterring? Bilden die surjektiven Funktionen in F(M,R)
> einen Unterring? Begründung (d.h. Beweis oder
> Gegenbeispiel)!
Schau dir mal gewisse Elemente an, die in jedem Ring sein muessen.
> 5. Geben Sie ein Beispiel für einen Ring mit Eins, der
> einen Unterring mit Eins besitzt, wobei das Einselement des
> Unterrings nicht gleich dem Einselement des Rings ist.
Nimm als M eine zweielementige Menge und als R einen Ring verschieden vom Nullring, und betrachte F(M, R). Und ueberleg dir, wie du R als einen solchen Unterring von F(M, R) auffassen kannst.
HTHT & LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo!
Ich bearbeite die gleiche Aufgabe und wie das bekanntlich ja so ist liegt der Teufel im Detail. Deswegen habe ich ein paar 'triviale' Fragen und würde mich über jede Hilfe freuen.
Zu (i):
Ich nehme mir also f, g, h [mm] \in [/mm] R und prüfe nach, ob:
1. (F(M,R), +) eine abelsche Gruppe ist
2. [mm] (F(M,R)\backslash [/mm] {0}, *) assoziativ ist
3. und ob die beiden Distributivgesetze bzgl + und * gelten
Wie setze ich denn nun sauber an?
Z. B. für 1. :
[mm] \forall [/mm] f, g [mm] \in [/mm] R: (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))
Das Gleichheitszeichen rechtfertige ich dadurch, dass f(x), g(x) und h(x) in dem Ring R liegen und (R, +) folglich eine abelsche Gruppe ist. (Dieses Argument habe ich auf für den Beweis der restlichen Axiome immer wieder verwendet)
Ist das denn so formal korrekt? Irgendwie verwende ich gar nicht die aufwendig eingeführten Definition von f + g und f * g...
Zu (ii):
Ist hier herauszufinden wann (F(M,R), +) oder (R, +) kommutativ sind?
Ersteres erscheint mir eigentlich wahrscheinlicher, aber irgendwie ist dir Frage so merkwürdig...
Also ich weiß a ist hinreichend für b, wenn gilt: a [mm] \Rightarrow [/mm] b. Gilt nun nicht folgendes: (R, +) ist immer kommutativ, da R ein Ring sein soll. (F(M,R), +) ist immer kommutativ, weil F(M,R) nach (i) ebenfalls ein Ring sein soll?
Wie ich bei der Kommutativität von "*" vorgehen soll und wie ich notwendige Kriterien quasi 'errechne' weiß ich leider nicht, kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?
(iii)
Hier wird eine genau-dann-Beziehung gefordert. Aber wie gehe ich, damit um. Der Tipp hat mir schon zwar geholfen. Vermutlich komme ich aber nicht weiter, weil ich nicht weiß was für spezielle Wahlen von M folgt.
Ich könnte mir eine Fallunterscheidung für endliches oder unendliches M vorstellen. Oder M = R. Hm, ...
(iv)
In jedem Ring muss das Nullelement der Addition sein, sowie alles Inversen der vorhandenen Elemente. Mehr fällt mir nicht ein. Hilft das schon? Ich habe auch noch Schwierigkeiten mir das vorzustellen. Der Kern von F(M,R) sind also wieder Funktion die auf die Nullfunktion geworfen werden?
(v)
Das schau ich mir am Besten erst später an.
Gruß
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 27.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Christoph!
> Ich bearbeite die gleiche Aufgabe und wie das bekanntlich
> ja so ist liegt der Teufel im Detail. Deswegen habe ich ein
> paar 'triviale' Fragen und würde mich über jede Hilfe
> freuen.
>
> Zu (i):
>
> Ich nehme mir also f, g, h [mm]\in[/mm] R und prüfe nach, ob:
> 1. (F(M,R), +) eine abelsche Gruppe ist
> 2. [mm](F(M,R)\backslash[/mm] {0}, *) assoziativ ist
> 3. und ob die beiden Distributivgesetze bzgl + und *
> gelten
>
> Wie setze ich denn nun sauber an?
>
> Z. B. für 1. :
>
> [mm]\forall[/mm] f, g [mm]\in[/mm] R: (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) +
> h(x))
> Das Gleichheitszeichen rechtfertige ich dadurch, dass
> f(x), g(x) und h(x) in dem Ring R liegen und (R, +)
> folglich eine abelsche Gruppe ist. (Dieses Argument habe
> ich auf für den Beweis der restlichen Axiome immer wieder
> verwendet)
Ja, aber du bist auch noch nicht ganz fertig! Du musst noch zeigen, dass fuer alle $f, g [mm] \in [/mm] R$ gilt $(f + g) + h = f + (g + h)$ ist! Das zeigst du, indem du fuer jedes $x [mm] \in [/mm] M$ zeigst, dass $((f + g) + h)(x) = (f + (g + h))(x)$ ist. Und wenn du jetzt die Definition von $(R, +)$ einsetzt, bekommst du die Gleichung oben die du schon begruendet hast! Und damit bist du dann fertig...
> Ist das denn so formal korrekt? Irgendwie verwende ich gar
> nicht die aufwendig eingeführten Definition von f + g und f
> * g...
>
> Zu (ii):
> Ist hier herauszufinden wann (F(M,R), +) oder (R, +)
> kommutativ sind?
Also die Addition ist immer kommutativ bei Ringen (das ist per Definition so). Die Frage ist, wann die Multiplikation kommutativ ist! Und zwar die von $F(M, R)$ in Abhaengigkeit von der von $R$!
Wenn z.B. $R$ kommutativ ist, ist dann $F(M, R)$ kommutativ? Und umgekehrt, wenn $F(M, R)$ kommutativ ist, was ist dann mit $R$ (vorsicht, hier musst du zwischen $M = [mm] \emptyset$ [/mm] und $M [mm] \neq \emptyset$ [/mm] unterscheiden!)?
> Ersteres erscheint mir eigentlich wahrscheinlicher, aber
> irgendwie ist dir Frage so merkwürdig...
>
> Also ich weiß a ist hinreichend für b, wenn gilt: a
> [mm]\Rightarrow[/mm] b. Gilt nun nicht folgendes: (R, +) ist immer
> kommutativ, da R ein Ring sein soll. (F(M,R), +) ist immer
> kommutativ, weil F(M,R) nach (i) ebenfalls ein Ring sein
> soll?
>
> Wie ich bei der Kommutativität von "*" vorgehen soll und
> wie ich notwendige Kriterien quasi 'errechne' weiß ich
> leider nicht, kann mir da jemand vielleicht weiterhelfen?
Es gilt genau dann $f g = g f$ fuer $f, g [mm] \in [/mm] R$, wenn $f(x) g(x) = g(x) f(x)$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] M$ gilt. Damit musst du arbeiten!
> (iii)
> Hier wird eine genau-dann-Beziehung gefordert. Aber wie
> gehe ich, damit um. Der Tipp hat mir schon zwar geholfen.
> Vermutlich komme ich aber nicht weiter, weil ich nicht weiß
> was für spezielle Wahlen von M folgt.
Du hast drei Faelle: $M$ besteht aus keinem, einem oder mehr als einem Element. (Tipp: im ersten Fall haengts nicht von $R$ ab, im zweiten ists genau dann nullteilerfrei, wenn $R$ das ist, und im dritten ist es nie nullteilerfrei, es sei denn $R$ ist der Nullring.)
> Ich könnte mir eine Fallunterscheidung für endliches oder
> unendliches M vorstellen. Oder M = R. Hm, ...
>
> (iv)
> In jedem Ring muss das Nullelement der Addition sein,
> sowie alles Inversen der vorhandenen Elemente. Mehr fällt
> mir nicht ein. Hilft das schon? Ich habe auch noch
Ja. Liegt die Nullfunktion denn dadrinnen? Die Antwort haengt ganz von $M$ ab: Wenn du $M$ passend waehlst, dann stimmt die Aussage (dann muss $M$ klein sein). Andernfalls stimmt sie nicht.
> Schwierigkeiten mir das vorzustellen. Der Kern von F(M,R)
> sind also wieder Funktion die auf die Nullfunktion geworfen
> werden?
Was meinst du mit "Kern"?!
LG Felix
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