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Hallo ChopSuey,
> a) Dominanzgesetz
>
> [mm]\ A \cap \emptyset = \emptyset[/mm]
>
> b) [mm]\ A[/mm] und [mm]\ B[/mm] seien Teilmengen einer Grundmenge [mm]\ E[/mm]
>
> Beweisen Sie formal durch anwenden der mengenalgebraischen
> Gesetze folgende Behauptung:
>
> [mm]\ (A \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap E = \emptyset[/mm]
>
> Hi,
>
> zu a)
>
> Ich konnte leider nirgends Informationen zum so genannten
> "Dominanzgesetz" finden.
Den Begriff höre ich auch zum ersten Mal
> Meine Frage lautet:
>
> gilt das Dominanzgesetz auch für folgende Fälle:
>
> [mm]\ A \cap \ B \cap \emptyset = \emptyset[/mm]
Ja, nimm an, es käme nicht die leere Menge raus, dann gäbe es ein Element, das [mm] $\in [/mm] A$ und [mm] $\in [/mm] B$ und [mm] $\in\emptyset$ [/mm] wäre, das wäre also Humbuk, denn die leere Menge enthält nicht so viele Elemente ...
Außerdem ist ja die Durchschnittbildung von Mengen assoziativ, das oben ist also [mm] $=A\cap(B\cap\emptyset)=A\cap\emptyset$ [/mm] nach deinem Dominanzgesetz
[mm] $=\emptyset$ [/mm] ebenfalls nach dem Dominanzgesetz
>
> [mm]\ A \cap \ B \cap \overline{B}= \emptyset[/mm]
Klar, was ist denn [mm] $B\cap\overline{B}$ [/mm] ?
>
> zu b)
> Die Aufgabe habe ich schon in einem anderen Thread (hier
> im Matheraum) gestellt, allerdings ist der Thread ein
> bisschen verwüst mit Korrekturen und ich dachte, ich
> probiers nochmal  Falls das gegen die Forenregeln
> verstoßt, bitte ich um Verzeihung und habe natürlich
> Verständnis, wenn auf b nicht näher eingegangen wird.
>
> Es gilt Aufgabe b zu beweisen und ich würde mich über
> Hinweise, Korrekturen oder Tipps freuen, sofern mein Beweis
> nicht richtig ist:
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]\ A, B \subset E[/mm]
>
> [mm]\gdw (x \in A) \vee (x \in B) \gdw x \in E[/mm]
>
> Sei nun [mm]\ x \in (A \cap B)[/mm]
>
> [mm]\ \gdw (x \in A )\wedge (x \in B) \gdw x \not\in (A \cap \overline{B}) \gdw x \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)}\ (De\ Morgan)[/mm]
>
> [mm]\ \gdw \ (A \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap E = \emptyset[/mm]
>
> Würde mich über Antworten freuen
Puh, ich würde auf Mengenebene bleiben, das wird sonst viel zu unübersichtlich:
Du brauchst nur die de Morgan'schen Regeln, um das [mm] $\overline{(\overline{A} \cup B)}$ [/mm] aufzudröseln und dann die Assoziativität und Kommutativität der Durchschnittbildung:
zum Auflösen:
[mm] $\overline{(\overline{A} \cup B)}=\overline{\overline{A}}\cap\overline{B}=A\cap\overline{B}$
[/mm]
Dann hast du also:
[mm] $(A\cap B)\cap(\overline{(\overline{A} \cup B)})\cap [/mm] E$
[mm] $=(A\cap B)\cap(A\cap\overline{B})\cap [/mm] E$
[mm] $=(A\cap A)\cap(B\cap\overline{B})\cap [/mm] E$ Assoziativität und Kommutativität.
Das nun noch vereinfachen und dann auf dein oben angesprochenes Dominanzgesetz schielen
>
> Grüße,
> ChopSuey
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:11 Mi 15.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi schachuzipus!
> > zu a)
> >
> > Ich konnte leider nirgends Informationen zum so genannten
> > "Dominanzgesetz" finden.
>
> Den Begriff höre ich auch zum ersten Mal
Ja, geht mir nicht anders. In meiner Formelsammlung findet sich $ \ A [mm] \cap \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $ und $\ A [mm] \cup [/mm] E = E$ (Für $\ A [mm] \subset [/mm] E $) unter dem Begriff "Dominanzgesetze"
> > Meine Frage lautet:
> >
> > gilt das Dominanzgesetz auch für folgende Fälle:
> >
> > [mm]\ A \cap \ B \cap \emptyset = \emptyset[/mm]
>
> Ja, nimm an, es käme nicht die leere Menge raus, dann gäbe
> es ein Element, das [mm]\in A[/mm] und [mm]\in B[/mm] und [mm]\in\emptyset[/mm] wäre,
> das wäre also Humbuk, denn die leere Menge enthält nicht so
> viele Elemente ...
Ja, logisch
> Außerdem ist ja die Durchschnittbildung von Mengen
> assoziativ, das oben ist also
> [mm]=A\cap(B\cap\emptyset)=A\cap\emptyset[/mm] nach deinem
> Dominanzgesetz
>
> [mm]=\emptyset[/mm] ebenfalls nach dem Dominanzgesetz
>
> >
> > [mm]\ A \cap \ B \cap \overline{B}= \emptyset[/mm]
>
> Klar, was ist denn [mm]B\cap\overline{B}[/mm] ?
Leere Menge natürlich, vielen Dank.
> > Mein Ansatz:
> >
> > [mm]\ A, B \subset E[/mm]
> >
> > [mm]\gdw (x \in A) \vee (x \in B) \gdw x \in E[/mm]
> >
> > Sei nun [mm]\ x \in (A \cap B)[/mm]
> >
> > [mm]\ \gdw (x \in A )\wedge (x \in B) \gdw x \not\in (A \cap \overline{B}) \gdw x \not\in \overline{(\overline{A} \cup B)}\ (De\ Morgan)[/mm]
>
> >
> > [mm]\ \gdw \ (A \cap B)\cap\overline{(\overline{A} \cup B)}\cap E = \emptyset[/mm]
>
> >
> > Würde mich über Antworten freuen
>
> Puh, ich würde auf Mengenebene bleiben, das wird sonst viel
> zu unübersichtlich:
>
> Du brauchst nur die de Morgan'schen Regeln, um das
> [mm]\overline{(\overline{A} \cup B)}[/mm] aufzudröseln und dann die
> Assoziativität und Kommutativität der Durchschnittbildung:
>
> zum Auflösen:
>
> [mm]\overline{(\overline{A} \cup B)}=\overline{\overline{A}}\cap\overline{B}=A\cap\overline{B}[/mm]
>
> Dann hast du also:
>
> [mm](A\cap B)\cap(\overline{(\overline{A} \cup B)})\cap E[/mm]
>
> [mm]=(A\cap B)\cap(A\cap\overline{B})\cap E[/mm]
>
> [mm]=(A\cap A)\cap(B\cap\overline{B})\cap E[/mm] Assoziativität und
> Kommutativität.
>
> Das nun noch vereinfachen und dann auf dein oben
> angesprochenes Dominanzgesetz schielen
Hier ist es wirklich übersichtlicher. Deine Lösung impliziert, dass also eine Schnittmenge beliebig vieler Mengen dann $\ [mm] \emptyset [/mm] $ ist, sobald eines der Mengen leer ist.
Demnach sind meine Annahmen also für a und b richtig.
Vielen Dank !
>
> >
> > Grüße,
> > ChopSuey
> >
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
ja, (a) ist schon richtig, aber ich kapiere deinen Ansatz in (b) irgendwie nicht, abgesehen davon, dass einige Äquivalenzen nicht stimmen ...
Vllt. kannst du ein paar Worte dazu verlieren, wieso fängst du zB mit $(x [mm] \in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] E $ an?
(Dort erschließt sich mir [mm] $\Leftarrow$ [/mm] nicht)
Dann im nächsten Schritt: wieso "nur" [mm] $x\in(A\cap [/mm] B)$ ?
Du hast ja ganz formal eine Mengengleichheit zu zeigen, also [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\supset$
[/mm]
Da [mm] $\emptyset$ [/mm] Teilmenge jeder Menge, also insbesondere Teilmenge des ganzen Gezumsels auf der linken Seite ist, bleibt nur die Richtung [mm] $\subset$
[/mm]
Also zu zeigen: [mm] $x\in$ [/mm] "gesamte linke Seite" [mm] $\Rightarrow x\in\emptyset$
[/mm]
[mm] $x\in(A\cap B)\cap\overline{(\overline{A}\cup B)}\cap [/mm] E [mm] \Rightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin(\overline{A}\cup B)\wedge x\in [/mm] E$
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in A\wedge x\in\overline{B}\wedge x\in [/mm] E$
usw.
Aber in der Aufgabenstellung steht ja auch "... mit mengenalgebr. Gesetzen ..."
Hmm, naja, mir ist dein Ansatz halt irgendwie nicht so klar ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Fr 17.10.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi schachuzipus,
> ja, (a) ist schon richtig, aber ich kapiere deinen Ansatz
> in (b) irgendwie nicht, abgesehen davon, dass einige
> Äquivalenzen nicht stimmen ...
Sind hier die Äquivalenzzeichen die falschen, oder wirklich zu beiden Seiten hin unfug?
> Vllt. kannst du ein paar Worte dazu verlieren, wieso fängst
> du zB mit [mm](x \in A) \vee (x \in B) \gdw x \in E[/mm] an?
>
> (Dort erschließt sich mir [mm]\Leftarrow[/mm] nicht)
Du hast natürlich recht, das war ein dummer Fehler, die Äquivalenz in beide richtungen zu machen, obwohl sie nur nach rechts gilt.
> Dann im nächsten Schritt: wieso "nur" [mm]x\in(A\cap B)[/mm] ?
Nun, ich dachte, dass, wenn ich die ganze linke Seite beweisen will, dass ich eben mit [mm]x\in(A\cap B)[/mm] beginne und dann zeige, dass in den weiteren Schnittmengen das x kein Element ist. Vermutlich sehr weit hergeholt und falsch.
Blöd, dass ich da immer so ums Eck denke....und dann noch falsch.
> Du hast ja ganz formal eine Mengengleichheit zu zeigen,
> also [mm]\subset[/mm] und [mm]\supset[/mm]
>
> Da [mm]\emptyset[/mm] Teilmenge jeder Menge, also insbesondere
> Teilmenge des ganzen Gezumsels auf der linken Seite ist,
> bleibt nur die Richtung [mm]\subset[/mm]
>
> Also zu zeigen: [mm]x\in[/mm] "gesamte linke Seite" [mm]\Rightarrow x\in\emptyset[/mm]
>
> [mm]x\in(A\cap B)\cap\overline{(\overline{A}\cup B)}\cap E \Rightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\notin(\overline{A}\cup B)\wedge x\in E[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in A\wedge x\in\overline{B}\wedge x\in E[/mm]
>
> usw.
>
> Aber in der Aufgabenstellung steht ja auch "... mit
> mengenalgebr. Gesetzen ..."
>
> Hmm, naja, mir ist dein Ansatz halt irgendwie nicht so klar
> ...
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Danke für Deinen Ansatz!
Grüße
ChopSuey
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