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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Sin777 |
| Aufgabe | Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B:
A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset [/mm] <=> A \ B=A |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bemerkung: Das ist mein erster Versuch selbst einen (etwas) aufwändigeren Beweis auf die Beine zu stellen und ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mögliche Fehler korrigiert und natürlich auch einen Lösungsvorschlag gebt. Mein Problem ist, dass mir der Sachverhalt an sich klar ist, ich mich aber schwer damit tue, meine Gedanken auf Papier zu bringen. Vielleicht habt ihr ja ein paar Tips?
Der Beweis gliedert sich in zwei Fälle:
I.)
zu zeigen ist: A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset [/mm] => A \ B=A
Prämisse: A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset
[/mm]
Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei Fälle:
i) x [mm] \in [/mm] A \ B => (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) => x [mm] \in [/mm] A => A \ B [mm] \subset [/mm] A
ii) x [mm] \in [/mm] A => [mm] x\not\in [/mm] B (Prämisse der Teilmengenimplikation) => (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) = A \ B und somti ist A [mm] \subset [/mm] A [mm] \backslash [/mm] B
II.)
zu zeigen ist: A \ B=A => A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset
[/mm]
Prämisse: A \ B=A
Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei Fälle:
i) [mm] \emptyset \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B, da die leere Menge ein Element von jeder Menge ist.
ii) A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset \emptyset, [/mm] da aus der Prämisse A \ B=A folgt, dass A und B kein gemeinsames Element haben.
q.e.d.
Gruß Andy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B:
>
> A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] <=> A \ B=A
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bemerkung: Das ist mein erster Versuch selbst einen (etwas)
> aufwändigeren Beweis auf die Beine zu stellen und ich
> wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mögliche Fehler
> korrigiert und natürlich auch einen Lösungsvorschlag
> gebt. Mein Problem ist, dass mir der Sachverhalt an sich
> klar ist, ich mich aber schwer damit tue, meine Gedanken
> auf Papier zu bringen. Vielleicht habt ihr ja ein paar
> Tips?
>
>
>
> Der Beweis gliedert sich in zwei Fälle:
>
> I.)
> zu zeigen ist: A /cap B= /emptyset => A \ B=A
> Prämisse: A /cap B= /emptyset
>
> Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei
> Fälle:
>
> i) x /in A \ B => (x /in A /wedge x /not/in B) => x /in A
> => A \ B /subset A
>
> ii) x /in A => x /not/in B (Prämisse der
> Teilmengenimplikation) => (x /in A /wedge x /not/in B) = A
> \ B und somti ist A /subset A /backslash B
>
>
> I.)
> zu zeigen ist: A \ B=A => A /cap B= /emptyset
> Prämisse: A \ B=A
>
> Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei
> Fälle:
>
> i) /emptyset /subset A /cap B, da die leere Menge ein
> Element von jeder Menge ist.
>
> ii) A /cap B /subset /emptyset, da aus der Prämisse A \
> B=A folgt, dass A und B kein gemeinsames Element haben.
>
> q.e.d.
das ganze ist zu unleserlich und mir gerade auch formal nicht ganz klar, was Du da teilweise machst (was vielleicht alleine aus der Unleserlichkeit kombiniert mit meiner geraden etwas "Nachdenkfaulheit" auch aufgrund der späten Stunde zustandekommt -also bewerte das bitte nicht!).
Edit: Es lag' wirklich an beidem, meiner Müdigkeit und der Unleserlichkeit. Mittlerweile sehe ich, dass das alles sehr vernünftig war.
Aber ich mache es nun einfach so, dass ich Dir mal selbst den Beweis in Worten wiedergebe:
1.: $$A [mm] \cap B=\emptyset \Rightarrow [/mm] A [mm] \setminus B=A\,.$$
[/mm]
Es gelte $A [mm] \cap B=\emptyset\,.$ [/mm] Wir zeigen nun, dass sowohl
[mm] $$\alpha) [/mm] A [mm] \setminus B\subseteq [/mm] A$$
als auch
[mm] $$\beta) [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$$
gilt, denn daraus folgt dann die Gleichheit der Mengen [mm] $A\,$ [/mm] und $A [mm] \setminus [/mm] B$ .
Dabei ist [mm] $\alpha)$ [/mm] trivial, denn jedes Element, dass in [mm] $A\,$ [/mm] und nicht in [mm] $B\,$ [/mm] liegt, liegt weiterhin in [mm] $A\,.$
[/mm]
Zu [mm] $\beta)$:
[/mm]
Ist $x [mm] \in A\,,$ [/mm] so haben wir zu zeigen, dass dann $x$ nicht in [mm] $B\,$ [/mm] ist. Wäre nun $x [mm] \in B\,,$ [/mm] so wäre $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap B\,,$ [/mm] also [mm] $\{x\} \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ im Widerspruch zu $A [mm] \cap B=\emptyset\,.$ [/mm] Also folgt aus $x [mm] \in A\,,$ [/mm] dass $x [mm] \notin B\,,$ [/mm] und da das für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt, folgt für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus B\,,$ [/mm] also $A [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \setminus B\,.$
[/mm]
2. In 1. ersetze [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] durch [mm] $\Leftarrow$:
[/mm]
Gelte $A=A [mm] \setminus B\,.$ [/mm] Hier bietet sich nun ein Widerspruchsbeweis an. (Man kann den Beweis aber durchaus auch direkt führen, wobei [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ klar ist.)
Wir nehmen an, es wäre $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \not=\emptyset\,.$ [/mm] Dann gibt es ein Element [mm] $x_0$ [/mm] aus dem Schnitt zwischen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,,$ [/mm] d.h. [mm] $x_0$ [/mm] liegt sowohl in [mm] $A\,$ [/mm] als auch in [mm] $B\,.$ [/mm] Dieses [mm] $x_0$ [/mm] liegt also in [mm] $A\,,$ [/mm] und weil [mm] $x_0$ [/mm] auch in [mm] $B\,$ [/mm] liegt, kann dieses [mm] $x_0$ [/mm] nicht mehr in $A [mm] \setminus [/mm] B$ liegen. Dann ist aber [mm] $A\,$ [/mm] sicher keine Teilmenge mehr von $A [mm] \setminus B\,,$ [/mm] insbesondere können die beiden Mengen [mm] $A\,$ [/mm] und $A [mm] \setminus [/mm] B$ dann nicht mehr gleich sein, was sie aber nach Annahme waren. Widerspruch.
Beste Grüße,
Marcel
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> Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B:
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> A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] <=> A \ B=A
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Bemerkung: Das ist mein erster Versuch selbst einen (etwas)
> aufwändigeren Beweis auf die Beine zu stellen und ich
> wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mögliche Fehler
> korrigiert und natürlich auch einen Lösungsvorschlag
> gebt. Mein Problem ist, dass mir der Sachverhalt an sich
> klar ist, ich mich aber schwer damit tue, meine Gedanken
> auf Papier zu bringen. Vielleicht habt ihr ja ein paar
> Tips?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich hab' in Deinem Text mal gefühlte 100 Schrägsstriche in die andere Richtung gedreht, und nun kann man alles lesen. (Tip für die Zukunft: es gibt eine Vorschaufunktion.)
Ich finde, Du hast Deinen Beweis schon richtig gut hinbekommen!
Mir gefällt, daß
- Du erkannt hast, daß zwei Beweisrichtungen zu zeigen sind,
- Du weißt, daß man für Mengengleichheit zwei Teilmengenbeziehungen zu zeigen hat,
- Du beides auch deutlich formulierst,
- Du für jede Beweisrichtung die Voraussetzung ausdrücklich hinschreibst.
Wenn Du im Studium so gründlich und übersichtlich weiterarbeitest, räumst Du Dir allein dadurch einen ganzen Berg Steine aus dem Weg.
>
>
> Der Beweis gliedert sich in zwei Fälle:
>
> I.)
> zu zeigen ist: A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] => A \ B=A
> Prämisse: A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm]
>
> Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei
> Fälle:
>
> i) x [mm]\in[/mm] A \ B => (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B) => x [mm]\in[/mm] A
XXX> => A \ B [mm]\subset[/mm] A
Schreib hier lieber: also ist A \ B [mm]\subset[/mm] A,
denn es ergibt sich A \ B [mm]\subset[/mm] A ja nicht allein aus [mm] x\in [/mm] A, sondern aus der kompletten Folgerungskette.
>
> ii) x [mm]\in[/mm] A => [mm]x\not\in[/mm] B (Prämisse der
> Teilmengenimplikation)
Was genau meinst Du damit?
Spendiere ruhig ein paar Worte:
Sei [mm] x\in [/mm] A.
Nach Voraussetzung ist A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm]
Also haben A und B kein gemeinsames Element.
Folglich ist [mm] x\not\in [/mm] B.
Also gilt
> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
==> [mm] x\in [/mm] A \ B
XXX> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B) = A \ B
Diese Forumlierung ist nicht richtig.
Richtig wäre hier (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B) [mm] \gdw x\in [/mm] A \ B
oder auch (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B) ==> [mm] x\in [/mm] A \ B
> und somti ist A [mm]\subset[/mm] A [mm]\backslash[/mm] B
Genau.
>
>
> II.)
> zu zeigen ist: A \ B=A => A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm]
> Prämisse: A \ B=A
>
> Der Beweis der Gleichheit gliedert sich wiederum in zwei
> Fälle:
>
> i) [mm]\emptyset \subset[/mm] A [mm]\cap[/mm] B, da die leere Menge ein
> Element von jeder Menge ist.
Nein. Sie ist eine Teilmenge einer jeden Menge.
>
> ii) A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subset \emptyset,[/mm] da aus der Prämisse A \ B=A folgt,
> dass A und B kein gemeinsames Element haben.
Das sollte genauer sein, denn Du sagst ja nicht, wie es folgt.
Ich würde dies mit einem Widerspruchsbeweis machen - wie, das hat Dir Marcel vorgemacht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Fr 27.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Beweisen Sie für beliebige Mengen A, B:
> >
> > A [mm]\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] <=> A \ B=A
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Bemerkung: Das ist mein erster Versuch selbst einen (etwas)
> > aufwändigeren Beweis auf die Beine zu stellen und ich
> > wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mögliche Fehler
> > korrigiert und natürlich auch einen Lösungsvorschlag
> > gebt. Mein Problem ist, dass mir der Sachverhalt an sich
> > klar ist, ich mich aber schwer damit tue, meine Gedanken
> > auf Papier zu bringen. Vielleicht habt ihr ja ein paar
> > Tips?
>
> Hallo,
>
> .
>
> Ich hab' in Deinem Text mal gefühlte 100 Schrägsstriche
> in die andere Richtung gedreht, und nun kann man alles
> lesen. (Tip für die Zukunft: es gibt eine
> Vorschaufunktion.)
>
> Ich finde, Du hast Deinen Beweis schon richtig gut
> hinbekommen!
nach einem erholsamen Schlaf, und weil ich nun dank Dir den Text auch vernünftig lesen kann, muss ich zugeben, dass ich mich da gestern extrem geirrt habe und der Beweis eigentlich wirklich gelungen war. 
Beste Grüße,
Marcel
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