Mengenbeweis mit Ringschluss < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 27.10.2004 | | Autor: | renguard |
Ich habe diese Frage jetzt komplett revidiert
Sagt mal was haltet ihr eigentlich davon?? also bitte einmal korekturlesen.
Aufgabe: Seien A,B Teilmenge einer Menge X, beweisen Sie dass die folgenden Aussagen äuivalent sind.
a) A [mm] \subset [/mm] B
b) A [mm] \cap [/mm] B = A
c) A [mm] \cup [/mm] B = B
d) A [mm] \cap [/mm] (X \ B) = 0
e) (X \ A) [mm] \cup [/mm] B = X
Um die Äquvalenz der fünf Aussagen zu beweisen, führen sie einen Ringschluss durch, d.h. Sie zeigen a => b => c => d => e => a
Hier der erste Teil meiner Lösung (der Rest ist ja analog dazu):
Hinweis: [mm] Mg_{(a)}
a) A [mm] \subset [/mm] B
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] a=b [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] X mit [mm] Mg_{(a)}
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] a=b [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge \underbrace{\forall a=b \in A \wedge \forall a \in B}_{ ein A dazugefügt} \wedge \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] X mit [mm] Mg_{(a)}
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B = A) [mm] \subset [/mm] X
Also habe ich die Mengen einfach ausgeschrieben dementsprechend Mengen A, B hinzugefügt und umgewürfellt damit das ganze die entsprechende Reihenfolge hat um die entsprechende Aussage zu beweisen. Ist das Alles??
Ich bin mir in der Schreibweise nur nicht ganz sicher, was sagt ihr dazu??
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 Mi 02.11.2005 | | Autor: | benedikt |
Hallo!
> Aufgabe: Seien A,B Teilmenge einer Menge X, beweisen Sie
> dass die folgenden Aussagen äuivalent sind.
>
> a) A [mm]\subset[/mm] B
> b) A [mm]\cap[/mm] B = A
> c) A [mm]\cup[/mm] B = B
> d) A [mm]\cap[/mm] (X \ B) = 0
> e) (X \ A) [mm]\cup[/mm] B = X
>
> Um die Äquvalenz der fünf Aussagen zu beweisen, führen sie
> einen Ringschluss durch, d.h. Sie zeigen a => b => c => d
> => e => a
Ich habe diese Aufgabe leicht abgewandelt als Übungsaufgabe in Mathe bekommen. In meiner Version fehlt Aussage e) und der Ringschluss muss von d) nach a) durchgeführt werden. Genau da hakt es bei mir.
Wie beweise ich A [mm] \cap [/mm] (X \ B) = [mm] \emptyset [/mm] => A [mm] \subset [/mm] B?
In der Vorlesung wurde uns gesagt, dass x [mm] \in [/mm] {} grundsätzlich falsch ist und man weiterhin aus etwas Falschem im Prinzip alles folgern kann (also auch A [mm] \subset [/mm] B).
Ist das der richtige Ansatz? Wie würde ich sowas formal hinschreiben?
Danke schonmal für eure Hilfe!
Benedikt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein. Das ist nicht der richtige Ansatz: Mache es besser so:
Es sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig gewählt. Wäre $x [mm] \notin [/mm] B$, dann wäre $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B$, und daher: $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B)$, im Widerspruch zu $A [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Daher gilt doch $x [mm] \in [/mm] B$, was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Mi 02.11.2005 | | Autor: | benedikt |
Hallo Stefan!
Danke für die schnelle Antwort! Eine Frage hätte ich aber noch:
> Es sei [mm]x \in A[/mm] beliebig gewählt. Wäre [mm]x \notin B[/mm], dann wäre
> [mm]x \in X \setminus B[/mm], und daher: [mm]x \in A \cap X \setminus B[/mm],
> im Widerspruch zu [mm]A \cap X \setminus = \emptyset[/mm].
Meinst du nicht: im Widerspruch zu $A [mm] \cap [/mm] X [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \emptyset$? [/mm] Und verstehe ich es dann unformal richtig, dass $x$ Element einer Menge wäre, die laut Definition eigentlich leer sein müsste und dort der Widerspruch liegt?
Liebe Grüße
Benedikt
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> Hallo Stefan!
>
> Danke für die schnelle Antwort! Eine Frage hätte ich aber
> noch:
>
> > Es sei [mm]x \in A[/mm] beliebig gewählt. Wäre [mm]x \notin B[/mm], dann wäre
> > [mm]x \in X \setminus B[/mm], und daher: [mm]x \in A \cap X \setminus B[/mm],
> > im Widerspruch zu [mm]A \cap X \setminus = \emptyset[/mm].
>
> Meinst du nicht: im Widerspruch zu [mm]A \cap X \setminus B = \emptyset[/mm]?
Hallo,
klar, das meint er. Das B ist irgendwie untergegangen.
> Und verstehe ich es dann unformal richtig, dass [mm]x[/mm] Element
> einer Menge wäre, die laut Definition eigentlich leer sein
> müsste und dort der Widerspruch liegt?
Du hast das genau richtig verstanden.
Gruß v. Angela
>
> Liebe Grüße
> Benedikt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Meinst du nicht: im Widerspruch zu [mm]A \cap X \setminus B = \emptyset[/mm]?
Ja, da war mir ein $B$ verlorengegangen. Wer es findet, bekommt (mehr als) die Hälfte ab, also ein $P$.
> Und verstehe ich es dann unformal richtig, dass [mm]x[/mm] Element
> einer Menge wäre, die laut Definition eigentlich leer sein
> müsste und dort der Widerspruch liegt?
Naja, so halbwegs. Angela wird es dir erklären... 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 02.11.2005 | | Autor: | benedikt |
Damit bin ich jedenfalls schonmal ein ganzes Stück weiter. Danke dir, Stefan!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> Sagt mal was haltet ihr eigentlich davon?? also bitte
> einmal korekturlesen.
>
> Aufgabe: seien A,B Teilmenge einer Menge X,beweis der
> Äquivlenz mit Ringschluss.
Da fehlt aber ganz schön was, das ist ja keine Fragestellung, sondern nur eine Voraussetung und ein Beweistipp.
Dann fehlen noch mehrere Aussagen, mit einer Aussage kann man keinen Ringschluss anstellen.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo!
Sorry, ich verstehe deine Aufgabe nicht so wirklich.
> Aufgabe: seien A,B Teilmenge einer Menge X,beweis der
> Äquivlenz mit Ringschluss.
>
> 1) A [mm]\subset[/mm] B
>
> Meine Lösung:
>
> Zu Zeigen: A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\subset[/mm] X [mm]\wedge[/mm] B [mm]\subset[/mm]
Was ist denn jetzt genau die Aufgabenstellung? Wenn A und B als Teilmengen von X vorausgesetzt werden, kann man das doch nicht beweisen!? Abgesehen davon bin ich der Meinung, dass die Rückrichtung verkehrt ist, wenn A und B jeweils Teilmenge von X sind, dann folgt daraus nicht, dass A eine Teilmenge von B ist!?
Und einen Ringschlussbeweis kenne ich nur bei mindestens drei Aussagen, also z. B.:
z.z.: A [mm] \gdw [/mm] B [mm] \gdw [/mm] C
das könnte man dann mit Ringschluss so zeigen:
[mm] A\Rightarrow B\Rightarrow C\Rightarrow [/mm] A.
Sorry, vielleicht verstehe ich auch etwas falsch?
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 27.10.2004 | | Autor: | renguard |
Ich habe meinen Artikel etaws revidiert, soblad ich eine Richtige Lösung habe sieht der Artikel vernünftig
Oh man, mein Artikel ist echt total falsch!!!!
Danke an euch beide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> Ich habe diese Frage jetzt komplett revidiert
>
>
> Sagt mal was haltet ihr eigentlich davon?? also bitte
> einmal korekturlesen.
>
> Aufgabe: Seien A,B Teilmenge einer Menge X, beweisen Sie
> dass die folgenden Aussagen äuivalent sind.
>
> a) A [mm]\subset[/mm] B
> b) A [mm]\cap[/mm] B = A
> c) A [mm]\cup[/mm] B = B
> d) A [mm]\cap[/mm] (X \ B) = 0
> e) (X \ A) [mm]\cup[/mm] B = X
>
> Um die Äquvalenz der fünf Aussagen zu beweisen, führen sie
> einen Ringschluss durch, d.h. Sie zeigen a => b => c => d
> => e => a
>
> Hier der erste Teil meiner Lösung (der Rest ist ja analog
> dazu):
>
> Hinweis: [mm]Mg_{(a)}
> Menge A < Menge B < Menge C, also die Anzahl der Elemente
> jeweils grösser ist, und hoffe das das so richtig ist.
>
>
> a) A [mm]\subset[/mm] B
>
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] a=b [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge \forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B
> [mm]\wedge \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge \forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] X mit
> [mm]Mg_{(a)}
>
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] a=b [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge \forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B
> [mm]\wedge \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge \underbrace{\forall a=b \in A \wedge \forall a \in B}_{ ein A dazugefügt} \wedge \forall[/mm]
> a,b [mm]\in[/mm] X mit [mm]Mg_{(a)}
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B = A) [mm]\subset[/mm] X
Also, hier blicke ich überhaupt nicht durch.
Hier fehlen doch komplett die Aussagen; da stehen für mich Sätze wie:
"Für alle Menschen und Tiere gilt."
Und man fragt sich: Was gilt denn bitteschöne für alle Menschen und Tiere?
Ausserdem gebe ich einer Argumentation, die die Anzahlen der Elemente betrachtet, wenig Erfolgsaussichten.
Ich würde es so machen:
a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b)
Voraussetzung: [mm] $A\subset [/mm] B$
Zu zeigen: $A [mm] \cap [/mm] B=A$, also eine Mengengleichheit, die überlicherweise durch zwei Mengeninklusionen gezeigt wird:
Zu zeigen i) $A [mm] \cap B\subset [/mm] A$
Zu zeigen ii) $A [mm] \cap B\supset [/mm] A$
i) Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \cap B\subset [/mm] A$.
ii) Sei [mm] $x\in [/mm] A$. Wegen [mm] $A\subset [/mm] B$ gilt auch: [mm] $x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $x\in A\cap [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $A\subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
Das war's auch schon für den Schritt a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b).
Probier' die anderen Schritte mal selbst und schreib' uns deine Ergebnisse.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 30.10.2004 | | Autor: | renguard |
Also durch diese Mengen theoretischen .... steige ich echt nicht durch. Ich gehe davon aus dass die "und" Gedankentrenungen sind.
Wie kann den x [mm] \in [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] A sein. Ist x ein Element aus dem Durchschnitt von A und B ist also x [mm] \in [/mm] A. Aber wie kann A [mm] \subset [/mm] A sein. Das heist doch daß das erste A eine Teilmenge von dem zweiten A ist. Ist das mathematisch korrekt geschrieben?? Das geht doch garnicht.
Einerseits ist das ja logisch das man i) und ii) zeigt, aber die schreibweise ist für mich nicht mathematisch korrekt.
Bitte um hilfe
Mfg
renguard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 So 31.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> Also durch diese Mengen theoretischen .... steige ich echt
> nicht durch. Ich gehe davon aus dass die "und"
> Gedankentrenungen sind.
Das verstehe ich wiederum nicht. Die "und" sind logische Operatoren...
> Wie kann den x [mm]\in[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subset[/mm] A sein.
> Ist x ein Element aus dem Durchschnitt von A und B ist also
> x [mm]\in[/mm] A. Aber wie kann A [mm]\subset[/mm] A sein.
Ich fürchte, du hast meine Formeln ganz falsch gelesen; ich meinte für i) z.B. folgendes:
i) Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] A$ und [mm] $x\in [/mm] B$ (ein Element x aus dem Durschnitt zweier Mengen ist natürlich in beiden Mengen enthalten, also in der einen und in der anderen)
[mm] $\Rightarrow$ $x\in [/mm] A$ (insbesondere dann auch in nur einer der beiden Mengen)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(A [mm] \cap B)\subset [/mm] A$.
Ich habe hier gezeigt, dass jedes Element [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ auch in A enthalten sein muß.
Die mengentheoretische Schreibweise ist dafür:
$(A [mm] \cap B)\subset [/mm] A$
Und das war doch zu zeigen.
> Das heist doch
> daß das erste A eine Teilmenge von dem zweiten A ist. Ist
> das mathematisch korrekt geschrieben??
Natürlich. Bei beiden Vorkommen von A ist natürlich dieselbe Menge A gemeint.
Und da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist, gilt immer [mm] $A\subset [/mm] A$ (das Zeichen [mm] $\subset$ [/mm] meine ich hier im Sinne von [mm] $\subseteq$).
[/mm]
> Das geht doch
> garnicht.
>
> Einerseits ist das ja logisch das man i) und ii) zeigt,
> aber die schreibweise ist für mich nicht mathematisch
> korrekt.
Ist es nun etwas deutlicher geworden? Falls nicht, weiter fragen
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 03.11.2004 | | Autor: | renguard |
Frage 1)
>
> i) Sei [mm]x\in A \cap B[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\in B[/mm]
> (ein Element x aus dem Durschnitt zweier Mengen ist
> natürlich in beiden Mengen enthalten, also in der einen und
> in der anderen)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] (insbesondere dann auch in nur einer
> der beiden Mengen)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](A \cap B)\subset A[/mm].
>
> Ich habe hier gezeigt, dass jedes Element [mm]x\in A \cap B[/mm]
> auch in A enthalten sein muß.
> Die mengentheoretische Schreibweise ist dafür:
> [mm](A \cap B)\subset A[/mm]
> Und das war doch zu zeigen.
>
Aber ich muss doch auch bei i) die Vorrausetzung beachten, also mit in den Beweis einbauen wie Du bei ii)
Frage 2)
> > Das heist doch
> > daß das erste A eine Teilmenge von dem zweiten A ist. Ist
>
> > das mathematisch korrekt geschrieben??
>
> Natürlich. Bei beiden Vorkommen von A ist natürlich
> dieselbe Menge A gemeint.
> Und da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist, gilt
> immer [mm]A\subset A[/mm] (das Zeichen [mm]\subset[/mm] meine ich hier im
> Sinne von [mm]\supseteq[/mm]).
>
also kann ich dann doch dann schreiben:
zu zeigen:
i)A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A
ii)A [mm] \cap [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] A "Hast recht Marc ich meinte hier [mm] \cap [/mm] nicht [mm] \cup [/mm] "
Oder nicht??
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> Frage 1)
> >
> > i) Sei [mm]x\in A \cap B[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] und [mm]x\in B[/mm]
>
> > (ein Element x aus dem Durschnitt zweier Mengen ist
> > natürlich in beiden Mengen enthalten, also in der einen
> und
> > in der anderen)
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] (insbesondere dann auch in nur
> einer
> > der beiden Mengen)
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](A \cap B)\subset A[/mm].
> >
> > Ich habe hier gezeigt, dass jedes Element [mm]x\in A \cap B[/mm]
>
> > auch in A enthalten sein muß.
> > Die mengentheoretische Schreibweise ist dafür:
> > [mm](A \cap B)\subset A[/mm]
> > Und das war doch zu zeigen.
> >
>
>
> Aber ich muss doch auch bei i) die Vorrausetzung beachten,
> also mit in den Beweis einbauen wie Du bei ii)
Nein, denn [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$ gilt bereits, ohne Voraussetzungen an die einzelnen Mengen zu stellen. Diese Inklusion gilt für alle Mengen A, B.
> Frage 2)
>
> > > Das heist doch
> > > daß das erste A eine Teilmenge von dem zweiten A ist.
> Ist
> >
> > > das mathematisch korrekt geschrieben??
> >
> > Natürlich. Bei beiden Vorkommen von A ist natürlich
> > dieselbe Menge A gemeint.
> > Und da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist, gilt
>
> > immer [mm]A\subset A[/mm] (das Zeichen [mm]\subset[/mm] meine ich hier im
>
> > Sinne von [mm]\supseteq[/mm]).
(Hier hatte ich mich natürlich vertippt, ich meinte das Zeichen [mm] $\subseteq$)
[/mm]
> also kann ich dann doch dann schreiben:
>
> zu zeigen:
> i)A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A
> ii)A [mm]\cup[/mm] B [mm]\supseteq[/mm] A
>
> Oder nicht??
Ja, wenn du beim zweiten [mm] $A\cap [/mm] B$ meintst 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 04.11.2004 | | Autor: | renguard |
1. Ja ich meinte [mm] \cap [/mm] ..... thx
1) Frage
> > >
> > > i) Sei [mm]x\in A \cap B[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] und
> [mm]x\in B[/mm]
> >
> > > (ein Element x aus dem Durschnitt zweier Mengen ist
> > > natürlich in beiden Mengen enthalten, also in der einen
>
> > und
> > > in der anderen)
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in A[/mm] (insbesondere dann auch in nur
>
> > einer
> > > der beiden Mengen)
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm](A \cap B)\subset A[/mm].
> > >
> > > Ich habe hier gezeigt, dass jedes Element [mm]x\in A \cap B[/mm]
>
> > auch in A enthalten sein muß.
> > > Die mengentheoretische Schreibweise ist dafür:
> > > [mm](A \cap B)\subset A[/mm]
> > > Und das war doch zu
> zeigen.
> > >
> >
> >
> > Aber ich muss doch auch bei i) die Vorrausetzung
> beachten,
> > also mit in den Beweis einbauen wie Du bei ii)
>
> Nein, denn [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] gilt bereits, ohne
> Voraussetzungen an die einzelnen Mengen zu stellen. Diese
> Inklusion gilt für alle Mengen A, B.
>
Wiso gilt [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] bereits?? ich muss das doch erst aus a) A [mm] \subset [/mm] B folgern.
bei a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) ii) hast du doch auch mit A [mm] \subset [/mm] B angefangen und daraus die Folgerung geschlossen.
2)Frage
Ich habe mich mal versucht an b) [mm] \rightarrow [/mm] C), mal schauen was du sagst:
Vorraussetzung A [mm] \cap [/mm] B = A
zu zeigen A [mm] \cup [/mm] B = B
gezeigt wird also:
i) A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
ii) A [mm] \cup [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] B
zu i) Sei x [mm] \in [/mm] A, wegen A [mm] \cap [/mm] B = A gilt auch x [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B
zu ii) Sei x [mm] \in [/mm] A, wegen A cap B = A gilt auch x [mm] \in [/mm] B und [mm] B\A [/mm] = C mit y [mm] \in [/mm] C (Da ja A [mm] \subset [/mm] B, ist B ja grösser, also ist C die Differenz)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B y [mm] \wedge \in [/mm] C
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \supseteq [/mm] B
Mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo renguard,
> > > Aber ich muss doch auch bei i) die Vorrausetzung
> > beachten,
> > > also mit in den Beweis einbauen wie Du bei ii)
> >
> > Nein, denn [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] gilt bereits, ohne
> > Voraussetzungen an die einzelnen Mengen zu stellen. Diese
>
> > Inklusion gilt für alle Mengen A, B.
> >
> Wiso gilt [mm]A\cap B\subseteq A[/mm] bereits?? ich muss das doch
> erst aus a) A [mm]\subset[/mm] B folgern.
Zum dritten Mal: Nein.
Es gilt immer [mm]A\cap B\subseteq A[/mm], ohne zusätzliche Voraussetzungen an die Mengen zu stellen.
Diese Beziehung habe ich ja bereits formal gezeigt (ohne Verwendung der Voraussetzungen), deswegen hier noch eine Plausibilitätserklärung:
Auf der linken Seite von $A [mm] \cap B\subseteq [/mm] A$ wird die Menge A mit der Menge B geschnitten, d.h. [mm] $A\cap [/mm] B$ enthält nur Elemente A und zwar solche, die in A und in B liegen. Das Wichtige ist aber doch, dass jedes Element aus [mm] $A\cap [/mm] B$ ein Element aus A sein muß, damit ist die Inklusion doch bereits gezeigt.
> bei a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) ii) hast du doch auch mit A [mm]\subset[/mm] B
> angefangen und daraus die Folgerung geschlossen.
Da hat man die Voraussetzung ja auch benötigt, aber die andere Inklusion ist eben so trivial, dass man keine weiteren Voraussetzungen benötigt.
> 2)Frage
>
> Ich habe mich mal versucht an b) [mm]\rightarrow[/mm] C), mal
> schauen was du sagst:
>
> Vorraussetzung A [mm]\cap[/mm] B = A
>
> zu zeigen A [mm]\cup[/mm] B = B
> gezeigt wird also:
> i) A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] B
> ii) A [mm]\cup[/mm] B [mm]\supseteq[/mm] B
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , sehr gut.
> zu i) Sei x [mm]\in[/mm] A,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du mußt dir ein Element aus der linken Seite der Inklusion hernehmen, also [mm] $x\in A\cup [/mm] B$ und dann zeigen, dass es auch in der rechten Menge B liegt.
> zu ii) Sei x [mm]\in[/mm] A
s.o.
Um Mengeninklusionen [mm] $\blue{C}\subseteq \red{D}$ [/mm] bzw. [mm] $\red{D}\supseteq \blue{C}$ [/mm] zu zeigen nimmst du dir immer ein Element der blauen Menge her und zeigst, dass es auch in der roten Menge enthalten ist:
Sei [mm] $x\in\blue{C}$ $\Rightarrow$ [/mm] blabla [mm] $\Rightarrow$ [/mm] blabla [mm] $\Rightarrow$ $x\in\red{D}$ $\Rightarrow$ $\blue{C}\subseteq \red{D}$.
[/mm]
Es ist immer dieses Vorgehensweise.
Viele Grüße,
Marc
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