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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 02.02.2007 | | Autor: | Zeta |
| Aufgabe | 1.
Seien a, b, c Mengen. Dann gilt:
(i) $a - b = a - (a [mm] \cap [/mm] b)$
(ii) $a - b = a~gdw~a [mm] \cap [/mm] b = [mm] \emptyset [/mm] $
(iii) $a - b = [mm] \emptyset~gdw~a \subseteq [/mm] b$
(iv) $a - (b-c) = (a - b) [mm] \cup [/mm] (a [mm] \cap [/mm] c)$
(v) $ (a-b)-c = a-(b [mm] \cup [/mm] c) $
2.
Seien a, b, c Mengen. Dann gilt (Assoziativgesetz):
(i) $(a [mm] \cup [/mm] b) [mm] \cup [/mm] c = a [mm] \cup [/mm] (b [mm] \cup [/mm] c)$
(ii) $(a [mm] \cap [/mm] b) [mm] \cap [/mm] c = a [mm] \cap [/mm] (b [mm] \cap [/mm] c)$
3.
Für alle Mengen a, b, c gilt (Distributivgesetz):
(i) $(a [mm] \cup [/mm] b) [mm] \cap [/mm] c = (a [mm] \cap [/mm] c) [mm] \cup [/mm] (b [mm] \cap [/mm] c)$
(ii) $(a [mm] \cap [/mm] b) [mm] \cup [/mm] c = (a [mm] \cup [/mm] c) [mm] \cap [/mm] (b [mm] \cup [/mm] c)$
gdw = "genau dann wenn" |
Hallo,
ich beschäftige mich im Moment mit der Mengenlehre anhand des Buches von Oliver Deiser, allerdings fehlen mir bei diesen Übungen richtige Ansätze. Wie geht man an solche Beweise ran? Ich kenne natürlich die verschiedenen Definitionen, nur wie zeige ich damit diese Aussagen?
Und noch eine kleine Frage zu der Definition des relativen Komplements:
"Seien a, b Mengen und a [mm] \subseteq [/mm] b. Dann heißt b - a das relative Komplement von a in b. Ist b fixiert, so nennen wir b - a kurz das Komplement von a und setzen [mm] $a^c [/mm] = b - a$."
Was heißt in diesem Zusammenhang "fixiert"?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Zeta
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> 1.
> Seien a, b, c Mengen. Dann gilt:
>
> (i) [mm]a - b = a - (a \cap b)[/mm]
> (ii) [mm]a - b = a~gdw~a \cap b = \emptyset[/mm]
>
> (iii) [mm]a - b = \emptyset~gdw~a \subseteq b[/mm]
> (iv) [mm]a - (b-c) = (a - b) \cup (a \cap c)[/mm]
>
> (v) [mm](a-b)-c = a-(b \cup c)[/mm]
>
> 2.
> Seien a, b, c Mengen. Dann gilt (Assoziativgesetz):
>
> (i) [mm](a \cup b) \cup c = a \cup (b \cup c)[/mm]
> (ii) [mm](a \cap b) \cap c = a \cap (b \cap c)[/mm]
>
> 3.
> Für alle Mengen a, b, c gilt (Distributivgesetz):
>
> (i) [mm](a \cup b) \cap c = (a \cap c) \cup (b \cap c)[/mm]
> (ii) [mm](a \cap b) \cup c = (a \cup c) \cap (b \cup c)[/mm]
>
> gdw = "genau dann wenn"
> Hallo,
>
> ich beschäftige mich im Moment mit der Mengenlehre anhand
> des Buches von Oliver Deiser, allerdings fehlen mir bei
> diesen Übungen richtige Ansätze. Wie geht man an solche
> Beweise ran?
Hallo,
ich will Dir das an einem Deiner Beispiele kurz andeuten, verwende ansonsten die Suchfunktion, da solltest Du haufenweise Beispiele finden.
Zu Beginn des WS ist dieses Thema stets akut.
Wenn Du an einer konkreten Stelle hängenbleibst, kannst Du aber gern wieder nachfragen!
> (i) [mm](a \cup b) \cup c = a \cup (b \cup c)[/mm]
Man zeigt das elementweise, indem man zeigt, daß jedes Element aus der linken Menge in der rechten liegt, und anschließend die umgekehrte Richtung.
Der Start:
Sei [mm] x\in [/mm] (a [mm] \cup [/mm] b) [mm] \cup [/mm] c
==> x [mm] \in [/mm] (a [mm] \cup [/mm] b) oder x [mm] \in [/mm] c
==> (x [mm] \in [/mm] a oder x [mm] \in [/mm] b) oder x [mm] \in [/mm] c
==> ...
> Und noch eine kleine Frage zu der Definition des relativen
> Komplements:
> "Seien a, b Mengen und a [mm]\subseteq[/mm] b. Dann heißt b - a das
> relative Komplement von a in b. Ist b fixiert, so nennen
> wir b - a kurz das Komplement von a und setzen [mm]a^c = b - a[/mm]."
>
> Was heißt in diesem Zusammenhang "fixiert"?
Man hat oft die Situation, daß man eine Obermenge M hat, und dann Aussagen beweist über Teilmengen dieser Obermenge M.
Für A [mm] \subseteq [/mm] M bedeutet [mm] A^c [/mm] dann M \ A, also das Komplement bezogen auf diese feste Obermenge.
Gruß v. Angela
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