www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Mengenlehre" - Mengenfolge
Mengenfolge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Mengenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Mo 31.03.2008
Autor: morpheus_R

Aufgabe
Für jede Mangenfolge [mm] (A_{n}) [/mm] sei [mm] \overline{A} [/mm] := [mm] \limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n} [/mm] := [mm] \bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{k \ge n} A_{k} [/mm]
und
[mm] \underline{A} :=\limes inf_{n\rightarrow\infty}A_{n} [/mm] := [mm] \bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_{k} [/mm]

Beweisen Sie:
[mm] (\limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n})^{c} [/mm] = [mm] \limes inf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} [/mm]

Bitte, kann mir jemand helfen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Mengenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Mo 31.03.2008
Autor: morpheus_R

Bitte kann mir jemand helfen? ich bin überfragt


Bezug
        
Bezug
Mengenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mo 31.03.2008
Autor: pelzig

Hi, also für mich ist der Stoff neu, klingt aber interessant...

Hab auf Wikipedia geschaut da stehen andere Defintionen:
[mm] $\overline{A}:=\lim_{n\to\infty}\sup A_n:=\bigcap_{n=1}^\infty\left(\bigcup_{m=n}^\infty A_m\right)$ [/mm]
[mm] $\underline{A}:=\lim_{n\to\infty}\inf A_n:=\bigcup_{n=1}^\infty\left(\bigcap_{m=n}^\infty A_m\right)$ [/mm]

Dazu die anschauliche Bedeutung:
Limes superior = "Elemente, die in unendlich vielen [mm] $A_n$ [/mm] liegen"
Limes inferior = "Elemente, die in fast allen (also in unendlich vielen, aber nur in endlich vielen nicht) [mm] $A_n$ [/mm] liegen"

Demnach ist also stets [mm] $\overline{A}\supseteq\underline{A}$ [/mm] (?!?)

So jetzt zu deiner Aufgabe. Ich nehme an mit [mm] $M^c$ [/mm] meinst du das Komplement der Menge $M$, aber das Komplement bezüglich welcher Obermenge? Ich sag einfach mal wenn [mm] $A_n$ [/mm] deine Mengenfolge ist, so sei [mm] $A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ [/mm] diese Obermenge.

z.z.: [mm] $X:=\left(\lim_{n\to\infty}\sup A_n\right)^c=\lim_{n\to\infty}\inf A_n^c=:Y$ [/mm]
1) zu zeigen: [mm] $X\subseteq [/mm] Y$, d.h. [mm] $x\in X\Rightarrow x\in [/mm] Y$
Sei [mm] $x\in [/mm] X$, d.h. $x$ liegt in endlich vielen [mm] $A_n$. [/mm] Wegen [mm] $x\in A_n\Leftrightarrow x\not\in A_n^c$ [/mm] liegt x demnach auch in endlich vielen [mm] $A_n^c$ [/mm] nicht, also in unendlich vielen. Also [mm] $x\in [/mm] Y$ nach (anschaulicher) Defintion.

2) zu zeigen: [mm] $X\supseteq [/mm] Y$, d.h. [mm] $x\in Y\Rightarrow x\in [/mm] X$
(Schätze das geht genauso ^^) [mm] $\Box$ [/mm]

Das könnte man sicher irgendwie noch etwas sauberer (technischer) machen, aber ich denk anschaulich is es okay.

Bezug
        
Bezug
Mengenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Mi 02.04.2008
Autor: Merle23


> Für jede Mangenfolge [mm](A_{n})[/mm] sei [mm]\overline{A}[/mm] := [mm]\limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n}[/mm]
> := [mm]\bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{k \ge n} A_{k}[/mm]
>  und
>  [mm]\underline{A} :=\limes inf_{n\rightarrow\infty}A_{n}[/mm] :=
> [mm]\bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_{k}[/mm]
>  
> Beweisen Sie:
> [mm](\limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n})^{c}[/mm] = [mm]\limes inf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}[/mm]
>  
> Bitte, kann mir jemand helfen??
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

[mm] (\limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n})^{c}=(\bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{k \ge n} A_{k})^{c}=\bigcup_{n \ge 1} (\bigcup_{k \ge n} A_{k})^{c}=\bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_{k}^{c}. [/mm]

Kann man das einfach so machen, oder geht es nicht, weil die Vereinigungen/Durchschnitte jeweils ins Unendliche gehen?

Bezug
                
Bezug
Mengenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mi 02.04.2008
Autor: pelzig


> [mm](\limes sup_{n\rightarrow\infty}A_{n})^{c}=(\bigcap_{n \ge 1} \bigcup_{k \ge n} A_{k})^{c}=\bigcup_{n \ge 1} (\bigcup_{k \ge n} A_{k})^{c}=\bigcup_{n \ge 1} \bigcap_{k \ge n} A_{k}^{c}.[/mm]
>  
> Kann man das einfach so machen, oder geht es nicht, weil
> die Vereinigungen/Durchschnitte jeweils ins Unendliche
> gehen?

Jo geht...

1) z.z. Sei [mm] $A_k\subseteq\overline{A}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] dann ist [mm] $X:=\left(\bigcup_{k\in\IN}A_k\right)^c=\bigcap_{k\in\IN}A_k^c=:Y$ [/mm]
    Beweis: [mm] $x\in X\Leftrightarrow x\in\overline{A}\setminus\bigcup_{k\in\IN}A_k\Leftrightarrow\forall k\in\IN:x\in\overline{A}\wedge x\not\in A_k\Leftrightarrow\forall k\in\IN:x\in A_k^c\Leftrightarrow x\in [/mm] Y [mm] \Box$ [/mm]

2) z.z. Sei [mm] $A_k\subseteq\overline{A}$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] dann ist [mm] $X:=\left(\bigcap_{k\in\IN}A_k\right)^c=\bigcup_{k\in\IN}A_k^c=:Y$ [/mm]
    Beweis: [mm] $x\in X\Leftrightarrow x\in\overline{A}\setminus\bigcap_{k\in\IN}A_k\Leftrightarrow x\in\overline{A}\wedge\exists k\in\IN:x\not\in A_k\Leftrightarrow\exists k\in\IN:x\in A_k^c\Leftrightarrow x\in\bigcup_{k\in\IN}A_k^c=Y \Box$ [/mm]

(Nein, ich glaube nicht dass das wirklich jemand liest ^^)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de