Mengenfrage und f(x,y) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi Leuds !
Ich hab zwei Fragen an euch, hab mir zu jeder Gedanken gemacht, bzw. MEINE Lösung, aber denke net, dass die wohl richtig sein wird....
1. Gegeben ist die Menge
M := [mm] \{x \in \IR^{n} : x_{1},...,x_{n} \in \IQ \}
[/mm]
Ich soll nun das das Innere, das Äußere und den Rand der Menge bestimmen.
Die Defintion vom Inneren ist ja, dass für min. ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, so dass [mm] U_{ \varepsilon}(a) \subseteq [/mm] M gilt.
Wobei [mm] U_{ \varepsilon}(a)=\{x \in R^{n} |. ||x-a||< \varepsilon\}
[/mm]
Ich würd jetzt sagen, dass [mm] \IQ [/mm] das Innere ist !
Für das Äußere muss ja gelten, dass keine [mm] \varepsilon\ [/mm] Umgebung von einem Punkt in der Menge liegt. Hier würd ich [mm] \IR \backslash\IQ [/mm] nehmen (irrat.Zahlen)
Und in der Umgebung vom Rand muss das Äußere sowie das Innere liegen.
Da würd ich nun [mm] \IR [/mm] nehmen
Bin mir da sehr unsicher, bestimmt ist es falsch ? Kann mir da jemand helfen ?
2. Frage (keine Topologie mehr)
f: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
Es gilt f(x,y)=x*y
a) Wie anscheinend gerade so aktuell ist, soll ich nun Höhenlinien zeichnen (für mehrere reelle h).
Hab dann umgestellt: y= [mm] \bruch{h}{x}, [/mm] unterschiedliche h's einsetzen (h=1;2;3,....), dann gezeichnet..
Nun die Frage: Das sieht aber eher nach Wellen zum/vom Nullpunkt aus ?? (Sowas hab ich aber noch niee im Atlas gesehen ? *g* )
Und was ist mit x=0 ? In der Zeichnung sind ja die x-Achse und die y-Achse beide Polgeraden (ich glaub das hieß in der Schule so, oder ? *g*)
b)
Vielleicht hat ja meine Überlegung auch mit der folgenden Aufgabe zu tun, wie der Graph [mm] \{ \vektor{x \\ y \\ f(x,y)} :x,y \in \IR\} [/mm] bei [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] aussieht ?
Nun ja dann ist das doch einfach [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] also der Nullvektor, also Nullpkt im [mm] \IR^{3} [/mm] ?? Oder stimmt das net ?
c)
Für welche Geraden t [mm] \to [/mm] vt (v [mm] \in \IR^{2}) [/mm] hat f(vt) ein
Minimum bzw. ein Maximum bei t = 0 ?
v ist ja [mm] \IR^{2} [/mm] und daher wird ja durch [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] eine Gerade beschrieben (a und b Komponenten von v)
Ich hab die Aufgabe nun so verstanden, dass man sich nun überlegen soll, für welche v f(vt) bei t=0 Min/Max vorliegt.
Also f(vt)= [mm] f(\vektor{ta \\ tb})=ta*tb=t^{2}*ab=t^{2}*f(a,b)
[/mm]
Minimum oder Maximum liegt dann vor, wenn f'(vt)=0 ist und f''(0) [mm] \not= [/mm] 0
Also [mm] (t^{2}*ab)'=2t*ab=0. [/mm] Wenn t=0 ist, können a,b beliebig sein. Dies würd dafür sprechen, dass v beliebig aus [mm] \IR_{2} [/mm] wäre.
Aber es gilt f''(vt)=2*ab .
Wenn nun a=0=b, dann wäre dies kein Min/Max (eventuell Sattelpkt oder wie das nochmal war).
Daher würd ich sagen, bei t=0 liegt ein Max/Min vor, wenn v [mm] \not= \vec{0}
[/mm]
Danke fürs Lesen/Antworten/Helfen/mich freuen lassen !
Namarie
Faenôl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 21.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 1. Gegeben ist die Menge
> M := [mm]\{x \in \IR^{n} : x_{1},...,x_{n} \in \IQ \}[/mm]
>
> Ich soll nun das das Innere, das Äußere und den Rand der
> Menge bestimmen.
>
> Die Defintion vom Inneren ist ja, dass für min. ein
> [mm]\varepsilon[/mm] gibt, so dass [mm]U_{ \varepsilon}(a) \subseteq[/mm] M
> gilt.
> Wobei [mm]U_{ \varepsilon}(a)=\{x \in R^{n} |. ||x-a||< \varepsilon\}[/mm]
>
> Ich würd jetzt sagen, dass [mm]\IQ[/mm] das Innere ist !
>
> Für das Äußere muss ja gelten, dass keine [mm]\varepsilon\[/mm]
> Umgebung von einem Punkt in der Menge liegt. Hier würd ich
> [mm]\IR \backslash\IQ[/mm] nehmen (irrat.Zahlen)
>
> Und in der Umgebung vom Rand muss das Äußere sowie das
> Innere liegen.
> Da würd ich nun [mm]\IR[/mm] nehmen
Du hast die Menge SEHR falsch gesehen! Q ist keine Teilmenge, also auch nicht das Innere! Es handelt sich um die Menge der n-dimensionalen Vektoren mit rationalen Koeffizienten. Du kannst ja erst mal in R oder in [mm] R^{2} [/mm] denken!
>
> 2. Frage (keine Topologie mehr)
>
> f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
> Es gilt f(x,y)=x*y
>
> a) Wie anscheinend gerade so aktuell ist, soll ich nun
> Höhenlinien zeichnen (für mehrere reelle h).
>
> Hab dann umgestellt: y= [mm]\bruch{h}{x},[/mm] unterschiedliche h's
> einsetzen (h=1;2;3,....), dann gezeichnet..
>
> Nun die Frage: Das sieht aber eher nach Wellen zum/vom
> Nullpunkt aus ?? (Sowas hab ich aber noch niee im Atlas
> gesehen ? *g* )
Was heisst hier Wellen? Wenn man in einer Richtung geht, gehen die doch rauf und runter. wenn du zu h=1,2,3 .., n die Höhenlinien Zeichnest, haben wirklich alle die x bzw. y- Achse als Assymptote.
wenn du vom 0 Punkt ausgehst auf der Winkelhalbierenden, steigst du auf einen "Berg", und der Anstieg ist immer gleich stark, 35°! wenn du senkrecht zur x oder y Achse wanderst, wird der Anstieg immer steiler, nahe bei 0 gehts noch bei großen x in y- Richtung zu gehen brauchst du Steigeisen und Seil. für xgegen Unendlich ist der Berg ein senkrechter Felsabsturz-
x und y- Achse sind die "Höhenlinien zu h=0
der 0Punkt ist ein Sattelpunkt, nach 2 Seiten (1. und 3. Quadrant) gehts rauf, h>0 auf den 2 anderen Seiten gehts runter, und wenn du mehr wandern würdest statt dich mit Mengen zu plagen hättest du auch schon mal so ne Karte mit Sattel gesehen. (Ich mach da immer meine Mittagsrast, bevors runter ins Tal oder auf den nächsten Gipfel geht.
>
> Und was ist mit x=0 ? In der Zeichnung sind ja die x-Achse
> und die y-Achse beide Polgeraden (ich glaub das hieß in der
> Schule so, oder ? *g*)
>
>
>
> b)
> Vielleicht hat ja meine Überlegung auch mit der folgenden
> Aufgabe zu tun, wie der Graph [mm]\{ \vektor{x \\ y \\ f(x,y)} :x,y \in \IR\}[/mm]
> bei [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] aussieht ?
>
> Nun ja dann ist das doch einfach [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] also
> der Nullvektor, also Nullpkt im [mm]\IR^{3}[/mm] ?? Oder stimmt das
> net ?
Graph versteh ich hier nicht, vielleicht ist der Schnitt mit der Winkelhalbierenden gemeint, dann ist es eine Spitze mit halbem Winkel 35°
>
> c)
> Für welche Geraden t [mm]\to[/mm] vt (v [mm]\in \IR^{2})[/mm] hat f(vt) ein
> Minimum bzw. ein Maximum bei t = 0 ?
>
> v ist ja [mm]\IR^{2}[/mm] und daher wird ja durch [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] +
> t* [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] eine Gerade beschrieben (a und b
> Komponenten von v)
> Ich hab die Aufgabe nun so verstanden, dass man sich nun
> überlegen soll, für welche v f(vt) bei t=0 Min/Max
> vorliegt.
>
> Also f(vt)= [mm]f(\vektor{ta \\ tb})=ta*tb=t^{2}*ab=t^{2}*f(a,b)[/mm]
>
> Minimum oder Maximum liegt dann vor, wenn f'(vt)=0 ist und
> f''(0) [mm]\not=[/mm] 0
>
> Also [mm](t^{2}*ab)'=2t*ab=0.[/mm] Wenn t=0 ist, können a,b beliebig
> sein. Dies würd dafür sprechen, dass v beliebig aus [mm]\IR_{2}[/mm]
> wäre.
>
> Aber es gilt f''(vt)=2*ab .
> Wenn nun a=0=b, dann wäre dies kein Min/Max (eventuell
> Sattelpkt oder wie das nochmal war).
>
> Daher würd ich sagen, bei t=0 liegt ein Max/Min vor, wenn v
> [mm]\not= \vec{0}[/mm]
Wenn du dir das Gebirge nach meiner Beschreibung richtig vorstellst, sind alle restlichen fragen trivial!
Gruss leduartl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Danke erstmal. Ja du hast, Recht ich sollte mehr Wandern gehen !
Aber dennoch hält sich die Trivialität in Grenzen ! *g*
Zu 1:
Stimmt, ich hab das falsch aufgeschrieben.
Ich denke, dass das innere die Vektoren aus n sind, mit rationalen Koeffizienten, z.B. in [mm] \IR^{2} \vektor{1 \\ 2 }. [/mm] Das Äußere z.B. [mm] \vektor{ \wurzel{3} \\ \wurzel{2} } [/mm] und der Rand wäre durch Vektoren aus dem [mm] \IR^{n} [/mm] gegeben, wo die Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] sind..
So meinte ich das, stimmt das denn ?
Zu der 2.
> der 0 Punkt ist ein Sattelpunkt, nach 2 Seiten (1. und 3.
> Quadrant) gehts rauf, h>0 auf den 2 anderen Seiten gehts
> runter.
Also mit dem Sattelpunkt ist eigentlich klar. 1. und 3. Quadrant gehts rauf, ich versteh aber net, warum es im 2. und 4. runter geht ? Da sieht der Graph doch genauso aus. Dort sinds auch "Bögen welche ihre Öffnung immer weg vom Nullpkt haben". Warum meinst du, dass es da runter geht?
Von dem Sinn eines Sattelpunktes ists eigentlich klar, wie zwischen zwei Kamelhöckern und links und rechts gehts runter...(Aber vom Graphen)
Du siehst, ich weiß immer noch nicht wo ich bin ?
Ich steh also in einem Tal (0). 1 und 3 Quadrant sind Berge, die vor mir emporragen. Die Mittelsenkrechte ist ein kleiner Pfad, der für Wanderer geschaffen ist. Im 2. und 4. Quadranten gehts steil runter (anscheinend).
Aber was sagt mir das zu der c). Eigentlich dürfte es nur eine Extremstelle geben (den Sattelpunkt). Wenn man von dem 2 oder 4 Quadranten kommt ist es ein Hochpunkt, wenn man von 1 und 3 kommt ein Tiefpunkt.
Die c) fragt doch aber, für welche Gerade t [mm] \to [/mm] vt f(vt) bei t=0 Hochpkt, Tiefpkt hat. Mir fehlt da nun der Zusammenhang? Welche Gerade muss ich mir da vorstellen ? Wenn ich beispielweise
v= [mm] \vektor{2 \\ 4} [/mm] nehme:
[mm] f(vt)=f(2t,4t)=8t^{2}
[/mm]
f'(vt)=16t , also Extremstelle bei t=0, also würde doch die Gerade die Bedingung erfüllen, oder ?
Bin verwirrt, ich würd sagen, dass alle Geraden das erfüllen, aber das scheint ja nicht zu stimmen....
Bitte nochmal einen Gebirgsexkurs...
Danke
Faenôl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo
Für die erste Frage empfehle ich dir mal das Studium meiner Antwort zur folgenden Frage:
https://matheraum.de/read?i=67919
Bitte denke daran, dass der [mm]\IQ^n [/mm] eine Teilmenge des [mm] \IR^n[/mm] darstellt, die nur aus einzelnen Punkten besteht (sogar nur abzählbar vielen).
Weiterhin gilt, dass [mm]\IQ^n [/mm] dicht in [mm]\IR^n [/mm] liegt, also dass in jeder noch so kleinen Epsilonumgebung eines beliebigen Punktes aus [mm]\IQ^n [/mm] sich stets ein Punkt aus [mm]\IR^n [/mm] befindet... Kommst du nun Selbst auf die Bestimmung vom Inneren, Rand und Abschluss? Was du als Äußeres bezeichnest würde ich als Komplement vom Abschluss sehen, mir ist dieser Mengenbegriff aber noch nicht untergekommen... Wie war dazu eure genaue Definition?
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:57 So 22.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zur 1 siehe Micha
> Zu der 2.
>
> > der 0 Punkt ist ein Sattelpunkt, nach 2 Seiten (1. und 3.
> > Quadrant) gehts rauf, h>0 auf den 2 anderen Seiten gehts
> > runter.
>
> Also mit dem Sattelpunkt ist eigentlich klar. 1. und 3.
> Quadrant gehts rauf, ich versteh aber net, warum es im 2.
> und 4. runter geht ? Da sieht der Graph doch genauso aus.
> Dort sinds auch "Bögen welche ihre Öffnung immer weg vom
> Nullpkt haben". Warum meinst du, dass es da runter geht?
die "bögen sind doch Höhenlinien daran sollte man Zahlen schreiben, nämlich h und im 2. und 4. Quadranten sind die immer negativer also -1,-2, etc!
Wenn du ne reihe von konzentrischen Ringen machst kann das ein Kegelberg sein oder ein Trichtertal, jenachdem, was du für Zahlen dran schreibst. Ein Talkessel und ein Berg haben dasselbe Höhenlinienbild, wenn man die Zahlen an den Höhenlinien nicht liest!
> Von dem Sinn eines Sattelpunktes ists eigentlich klar, wie
> zwischen zwei Kamelhöckern und links und rechts gehts
> runter...(Aber vom Graphen)
aber deine Beine sind im 2. und 4, Quadranten.
>
> Du siehst, ich weiß immer noch nicht wo ich bin ?
>
> Ich steh also in einem Tal (0). 1 und 3 Quadrant sind
> Berge, die vor mir emporragen. Die Mittelsenkrechte ist ein
Die Winkelhalbiernde ist ein Pfad auf dems immer steiler wird (ich glaub, das hab ich im ersten posting falsch gesagt) Wenn du nahe an der x oder y Achse entlang läufst ists glaub ich am bequemsten.
> kleiner Pfad, der für Wanderer geschaffen ist. Im 2. und 4.
> Quadranten gehts steil runter (anscheinend).
Du stehst nicht im Tal! das ist ganz weit weg bei - unendlich im 2. und 4. Qudr.
Wenn du von nem Berg kommst und wieder auf nen Berg stegst ist 0,0 der tiefste punkt, also auch ein Minimum auf dem geraden Weg. nur wenn du auf der x oder y Achse gehst gehst du bei 0 nicht über ein max oder min.
>
> Aber was sagt mir das zu der c). Eigentlich dürfte es nur
> eine Extremstelle geben (den Sattelpunkt). Wenn man von dem
> 2 oder 4 Quadranten kommt ist es ein Hochpunkt, wenn man
> von 1 und 3 kommt ein Tiefpunkt.
richtig
> Die c) fragt doch aber, für welche Gerade t [mm]\to[/mm] vt f(vt)
> bei t=0 Hochpkt, Tiefpkt hat. Mir fehlt da nun der
> Zusammenhang? Welche Gerade muss ich mir da vorstellen ?
> Wenn ich beispielweise
> v= [mm]\vektor{2 \\ 4}[/mm] nehme:
>
> [mm]f(vt)=f(2t,4t)=8t^{2}[/mm]
>
> f'(vt)=16t , also Extremstelle bei t=0, also würde doch die
> Gerade die Bedingung erfüllen, oder ?
ja!
>
> Bin verwirrt, ich würd sagen, dass alle Geraden das
> erfüllen, aber das scheint ja nicht zu stimmen....
>
> Bitte nochmal einen Gebirgsexkurs...
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 22.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
O.K, der Gebirgsexkurs ist nun klar ! Dann war mein Beweis der c) ja doch richtig, da für alle v es bei t=0 Min/Max gibt, nur bei v=Nullvektor wird keine Extremstelle durchlaufen...
Aber die Mengenfrage kapier ich net ! Hab da eh so meine Schwierigkeiten !
Fassen wir zusammen, was gilt:
[mm] \IQ^{n} [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] \IR^{n} [/mm] die nur aus einzelnen abzählbaren Punkten besteht.
[mm] \IQ^{n} [/mm] liegt dicht in [mm] \IR^{n}, [/mm] also dass in jeder noch so kleinen Epsilonumgebung eines beliebigen Punktes aus [mm] \IQ^{n} [/mm] sich stets ein Punkt aus [mm] \IR^{n} [/mm] befindet...
Definitionen:
Das Innere von M besteht aus den allen Punkten, die eine vollständig in M enthaltene Umgebung besitzen.(Die größte offene Teilmenge von M).
Das Menge des Äußeren von M besteht aus allen Punkten, die eine vollständig nicht in M enthaltene Umgebung besitzen.
Natürlich gilt dann auch Innere(M) = Äußere( [mm] \backslash [/mm] M)
Der Rand ist die Menge aller Punkte, die weder im Inneren noch im Äußeren von M liegen. Alle Umgebungen eines Randpunktes aus M enthalten sowohl Punkte im Inneren als auch Punkte im Äußeren von M.
Der Abschluss ist doch dann eigentlich die Vereinigung von der Menge M mit ihrem Rand.
> Kommst du nun Selbst auf die Bestimmung vom Inneren, Rand und Abschluss?
Nee, komm ich irgendwie net ! *menno*
Ich würd ja sagen, dass die Definition der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] der Definition vom Randpunkt ähnelt....
Die Umgebung der Punkte des Äußeren darf nicht in M liegen.
[mm] \IR [/mm] kann es demnach nicht sein.
Auch [mm] \IR \backslash \IQ [/mm] kann es nicht sein, da in der Umgebung ein x [mm] \in \IQ [/mm] liegen würde... (oder ?)
Angenommen der Rand wäre [mm] \IQ. [/mm] Dann müsste in jeder beliebigen Epsilon Umgebung Punkte aus dem Inneren und aus dem Äußeren liegen.
Dann müßte aber das Äußere [mm] \IR [/mm] sein (aber das hatte ich ja gerade ausgeschlossen)
*arghhhh*
Kann mir bitte jemand helfen ?
Faenôl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 So 22.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Fassen wir zusammen, was gilt:
> [mm]\IQ^{n}[/mm] ist eine Teilmenge des [mm]\IR^{n}[/mm] die nur aus
> einzelnen abzählbaren Punkten besteht.
> [mm]\IQ^{n}[/mm] liegt dicht in [mm]\IR^{n},[/mm] also dass in jeder noch so
> kleinen Epsilonumgebung eines beliebigen Punktes aus
> [mm]\IQ^{n}[/mm] sich stets ein Punkt aus [mm]\IR^{n}[/mm] befindet...
>
> Definitionen:
> Das Innere von M besteht aus den allen Punkten, die eine
> vollständig in M enthaltene Umgebung besitzen.(Die größte
> offene Teilmenge von M).
>
> Das Menge des Äußeren von M besteht aus allen Punkten, die
> eine vollständig nicht in M enthaltene Umgebung besitzen.
>
> Natürlich gilt dann auch Innere(M) = Äußere( [mm]\backslash[/mm]
> M)
>
> Der Rand ist die Menge aller Punkte, die weder im Inneren
> noch im Äußeren von M liegen. Alle Umgebungen eines
> Randpunktes aus M enthalten sowohl Punkte im Inneren als
> auch Punkte im Äußeren von M.
>
> Der Abschluss ist doch dann eigentlich die Vereinigung von
> der Menge M mit ihrem Rand.
>
> > Kommst du nun Selbst auf die Bestimmung vom Inneren, Rand
> und Abschluss?
>
> Nee, komm ich irgendwie net ! *menno*
>
Ok fangen wir am Besten mit dem Inneren von [mm]\IQ^{n}[/mm] an. Wir wissen bereits, dass [mm]\IQ^{n}[/mm] in [mm]\IR^{n}[/mm] nicht kontinuierlich ist, sondern aus vielen einzelnen Punkten jeweils besteht. Ein einzelner Punkt ist immer eine abgeschlossene Menge, und deren Inneres ist leer. Bilden wir nun die Vereinigung aller dieser Punkte um zu [mm]\IQ^{n}[/mm] zu gelangen, so haben wir eine (abzählbare) Vereinigung abgeschlossener Mengen mit jeweils leerem Innerem...
Nunja und damit ergibt sich, dass das Innere von [mm]\IQ^{n}[/mm] auch leer ist.
Was ist dann das Äußere? Nun das ist die größte offene Menge des Komplements, also von [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm]. Der [mm]\IR^{n}[/mm] war kontinuierlich, und wir haben jeweils eine abgeschlossene (einpunktige) Menge herausgenommen. Also ist [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm] auch offen und nach Definition unser Äußeres (es kann keine größere offene Menge geben, die im Komplement liegt, da das Komplement insgesamt schon das Äußere ist).
Was ist nun der Rand und der Abschluss?
Nun der Rand waren alle Punkte, die in jeder noch so kleinen Umgebung einen Punkt von der Menge und vom Komplement enthält. Aus der Dichtheit folgt dann unmittelbar, dass für jeden Punkt es in jeder noch so kleinen Umgebung einen Punkt aus dem Komplement gibt. Und der Punkt selbst idst selbstredend auch in der Umgebung. Damit folgt dass jeder Punkt von [mm]\IQ^{n}[/mm] ein Randpunkt ist!
Der Abschluss ist dann [mm]\IQ^{n}[/mm] mit Rand von [mm]\IQ^{n}[/mm] vereinigt, also wieder [mm]\IQ^{n}[/mm].
Gruß Micha
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 22.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
O.K, mit den Erklärungen verstehs ich jetzt besser:
Aber eine Frage noch zum Äußeren:
> Was ist dann das Äußere? Nun das ist die größte offene
> Menge des Komplements, also von [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm].
> Der [mm]\IR^{n}[/mm] war kontinuierlich, und wir haben jeweils eine
> abgeschlossene (einpunktige) Menge herausgenommen. Also ist
> [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm] auch offen und nach Definition
> unser Äußeres (es kann keine größere offene Menge geben,
> die im Komplement liegt, da das Komplement insgesamt schon
> das Äußere ist).
Das Äußere soll nun [mm] \IR^{n} \subset \IQ^{n} [/mm] sein ? Aber der [mm] \IR^{n} [/mm] ist doch keine Teilmenge vom [mm] \IQ^{n}, [/mm] eher doch andersrum ???
Es gilt doch:
Innere(M) = Äußere( [mm] \backslash [/mm] M)={}
bzw. Äußere(M)=Innere( [mm] \backslash M)=\IR^{n} [/mm] oder nicht ?
Warum ist das Äußere nicht [mm] \IR^{n} [/mm] ???
Faenôl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 22.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hi !
>
> O.K, mit den Erklärungen verstehs ich jetzt besser:
> Aber eine Frage noch zum Äußeren:
>
> > Was ist dann das Äußere? Nun das ist die größte offene
> > Menge des Komplements, also von [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm].
> > Der [mm]\IR^{n}[/mm] war kontinuierlich, und wir haben jeweils eine
> > abgeschlossene (einpunktige) Menge herausgenommen. Also ist
> > [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm] auch offen und nach Definition
> > unser Äußeres (es kann keine größere offene Menge geben,
> > die im Komplement liegt, da das Komplement insgesamt schon
> > das Äußere ist).
>
> Das Äußere soll nun [mm]\IR^{n} \subset \IQ^{n}[/mm] sein ? Aber der
> [mm]\IR^{n}[/mm] ist doch keine Teilmenge vom [mm]\IQ^{n},[/mm] eher doch
> andersrum ???
>
> Es gilt doch:
> Innere(M) = Äußere( [mm]\backslash[/mm] M)={}
> bzw. Äußere(M)=Innere( [mm]\backslash M)=\IR^{n}[/mm] oder nicht ?
>
> Warum ist das Äußere nicht [mm]\IR^{n}[/mm] ???
>
Das war leider ein Eingabe Fehler von mir, ich meinte eigentlich [mm]\IR^{n} \setminus \IQ^{n}[/mm].
Das Äußere kann nicht [mm]\IR^{n}[/mm] sein, weil [mm]\IQ^{n} \subset \IR^{n}[/mm] (an der Stelle ist das jetzt richtig mi den Teilmengen...)
Damit ist [mm]\IR^{n}[/mm] nicht das Komplement von [mm]\IQ^{n}[/mm]
Gruß Micha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 22.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
O.K, wenn du dich verschrieben hast, dann macht es Sinn und ich versteh es auch ! Hatte gerade aber auch nen Denkfehler ! [mm] \IR^{n} [/mm] kann nicht Äußeres sein, dass hatte ich ja schon mal alleine widerlegt.
Hatte ich ja mit meiner anfänglichen Vermutung, dass
[mm] R^{n} \backslash \IQ^{n} [/mm] das äußere ist, Recht !
Danke
Faenôl
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