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| Aufgabe | Welche der folgenden Gleichungen sind für alle Mengen A,B,C richtig und welche sind falsch? Begründe mit einem Beweis oder Gegenbeispiel.
a) (A [mm] \cup [/mm] B) \ B = A
b) (A [mm] \cup [/mm] B) \ C = (A \ C) [mm] \cup [/mm] (B \ C)
c) (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
d) (A \ B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) \ (B [mm] \cap [/mm] C)
e) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) |
Ich habe jeweils mit ner Wahrheitstabelle bewiesen.
Meine erste Frage ist, ob das eine gültige Beweisform ist?
Meine Lösungen sind:
a) falsche Aussage
b) wahre Aussage
c) falsche Aussage
d) wahre Aussage
e) falsche Aussage
Gibt es irgendwelche Sätze, die ich dann unter die Tabelle schreiben muss, außer qed? Also z.B. "Aus Spalte 1 und 5 folgt..." ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Fr 19.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde den Satz drunter schreiben, auch wenn es nicht notwendig verlangt ist.
Was tut deine Tabelle? je ein Element der linken und rechten Seite beschreiben? dann steht da doch direkt da ob die Aussage wahr ist? deshalb müsstest du ein Bsp chreiben, was du genau gemacht hast.
Gruss leduart
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| Aufgabe | A | B | (A [mm] \cup [/mm] B) | (A [mm] \cup [/mm] B) \ B
w| w| w| f
w| f | w | w
f | w| w | f
f | f | f | f |
Naja ich hab mal ein Beispiel für meine Tabelle zu a) aufgeschrieben.
Diese Tabelle zeigt doch, dass die Wahrheitswertverteilungen für die Spalte
(A [mm] \cup [/mm] B) \ B und die Spalte A nicht übereinstimmen. Damit lässt sich doch schlussfolgern das (A [mm] \cup [/mm] B) \ B = A eine falsche Aussage ist.
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Hallo Thomas,
ja, so ist es gut.
> A | B | (A [mm]\cup[/mm] B) | (A [mm]\cup[/mm] B) \ B
> w| w| w| f
> w| f | w | w
> f | w| w | f
> f | f | f | f
> Naja ich hab mal ein Beispiel für meine Tabelle zu a)
> aufgeschrieben.
> Diese Tabelle zeigt doch, dass die
> Wahrheitswertverteilungen für die Spalte
> (A [mm]\cup[/mm] B) \ B und die Spalte A nicht übereinstimmen.
> Damit lässt sich doch schlussfolgern das (A [mm]\cup[/mm] B) \ B =
> A eine falsche Aussage ist.
So ist es. Hier genügt ein einziges Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass die Aussage falsch ist. Das geht mit einer entsprechenden Zeile aus Deiner Tabelle oder mit einem möglichst anschaulichen Beispiel, z.B. mit [mm] A=\IN [/mm] und [mm] B=\IZ.
[/mm]
Richtig wäre hier übrigens [mm] $(A\cup B)\setminus{B}=A\setminus (A\cap [/mm] B)$.
Um die Wahrheit einer Aussage nachzuweisen, muss man allerdings die ganze Tabelle angeben.
Grüße
reverend
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Meine Frage wäre nur noch, wie ich einen geeigneten Schluss formuliere?!
Also unter meine Wahrheitstabelle müsste ich ja noch etwas schreiben.
Und muss ich am Anfang irgendwelche Bedigungen angeben.
Es sei... oder so?
(Außer natürlich: Seien A,B,C Teilmengen einer Grundmenge X)
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Hallo nochmal,
die Behauptungen sollen doch für beliebige Mengen gelten.
> Meine Frage wäre nur noch, wie ich einen geeigneten
> Schluss formuliere?!
> Also unter meine Wahrheitstabelle müsste ich ja noch
> etwas schreiben.
q.e.d. reicht völlig.
> Und muss ich am Anfang irgendwelche Bedigungen angeben.
> Es sei... oder so?
> (Außer natürlich: Seien A,B,C Teilmengen einer
> Grundmenge X)
Nein, das müssen sie nicht sein. Natürlich sind sie Teilmengen von [mm] $A\cup B\cup [/mm] C$. 
Und Du solltest Aufgabe d) nochmal überprüfen.
Dürft Ihr Venn-Diagramme verwenden? Das wäre hier sehr anschaulich.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | Lösung d) Wahrheitstabelle
A | B | C | (A \ B) | (A \ B) [mm] \cap [/mm] C | (A [mm] \cap [/mm] C) | (B [mm] \cap [/mm] C) | (A [mm] \cap [/mm] C) \ (B [mm] \cap [/mm] C)
w| w | w | f | f | w | w | f
w| w | f | f | f | f | f | f
w| f | w | w | w | w | f | w
w| f | f | w | f | f | f | f
f | w | w | f | f | f | w | f
f | w | f | f | f | f | f | f
f | f | w | f | f | f | f | f
f | f | f | f | f | f | f | f |
Ist doch ne wahre Aussage, da die Spalten 4 und 8 übereinstimmen!???
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Hallo
was machst du denn da mit den Wahrheitswertetabellen?
Das ist doch kompletter Unsinn, der sich durch den ganzen thread durchzieht.
Du kannst doch keine Mengenbeziehungen mit Wahrheitswertetabellen beweisen. Damit kann man AUSSAGEN beweisen (oder widerlegen)
Was soll denn bedeuten: "Die Menge A ist wahr" ?!
Das ist Schnappes!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Fr 19.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
kommt drauf an, wie man die Tabelle (vor)liest.
> was machst du denn da mit den Wahrheitswertetabellen?
>
> Das ist doch kompletter Unsinn, der sich durch den ganzen
> thread durchzieht.
Keineswegs.
> Du kannst doch keine Mengenbeziehungen mit
> Wahrheitswertetabellen beweisen. Damit kann man AUSSAGEN
> beweisen (oder widerlegen)
.
Ist eine Aussage über eine Mengenbeziehung keine Aussage?
> Was soll denn bedeuten: "Die Menge A ist wahr" ?!
Das meine ich: wenn die Wahrheitstabelle über ein einzelnes Element E "spricht", macht sie auch Sinn. "A ist wahr" heißt also: [mm] E\in{A}. [/mm] Dann ist die Wahrheitstabelle nichts anderes als eine Form der Verschriftlichung eines Venn-Diagramms.
> Das ist Schnappes!
Den Begriff kannte ich noch gar nicht, obwohl ich schonmal neun Monate im Rheinland (bei mir: Köln) gewohnt habe und seitdem auch oft da war.
In der Sache - wenn ich den Ausdruck denn richtig verstehe als Bezeichnung für "Quatsch, Unsinn etc." - kann ich Dir aber nicht zustimmen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Ich habe auch gelernt, das die Wahrheitstabelle eine Form von Beweis ist. Und eine Mengengleichung ist für mich eine Aussage, wenn ich ebn ein E [mm] \in [/mm] A benutze. Denn es gibt ja nun mal keine andere Möglichkeit mehr, wenn ich alle Spalten der Wahrheitstabelle ausgefüllt habe.
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Hallo,
dann sollte als Aussage [mm] $x\in [/mm] A$ usw. in den oberen Spalten stehen. Das wäre eine passende Aussage, einer Menge (und das ist $A$) kann man keinen Wahrheitswert zuordnen.
Da hilft auch das Schönlesen nichts, das ist schlichtweg falsch.
Man kann die Mengenbeziehungen in Aussagen übertragen (was du ja auch bei der Interpretation machst) und dafür dann eine WWT aufstellen.
Aber Mengen Wahrheitswerte zuzuordnen geht nicht.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Sa 20.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> dann sollte als Aussage [mm]x\in A[/mm] usw. in den oberen Spalten
> stehen. Das wäre eine passende Aussage, einer Menge (und
> das ist [mm]A[/mm]) kann man keinen Wahrheitswert zuordnen.
Ja, klar.
> Da hilft auch das Schönlesen nichts, das ist schlichtweg
> falsch.
Auch da kann ich nicht widersprechen. Mir ging es aber erst einmal um die Logik dahinter.
> Man kann die Mengenbeziehungen in Aussagen übertragen (was
> du ja auch bei der Interpretation machst) und dafür dann
> eine WWT aufstellen.
>
> Aber Mengen Wahrheitswerte zuzuordnen geht nicht.
Diese Aussage ist wahr.
Ein sauberer Aufschrieb ist da natürlich nötig, zumal wenn es sich dann um einen Beweis handeln soll.
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo Thomas000,
> Lösung d) Wahrheitstabelle
>
> A | B | C | (A \ B) | (A \ B) [mm]\cap[/mm] C | (A [mm]\cap[/mm] C) | (B [mm]\cap[/mm]
> C) | (A [mm]\cap[/mm] C) \ (B [mm]\cap[/mm] C)
> w| w | w | f | f | w | w | f
> w| w | f | f | f | f | f | f
> w| f | w | w | w | w | f | w
> w| f | f | w | f | f | f | f
> f | w | w | f | f | f | w | f
> f | w | f | f | f | f | f | f
> f | f | w | f | f | f | f | f
> f | f | f | f | f | f | f | f
Du meinst also in den Spaltenköpfen der Tabelle [mm] $x\in [/mm] A$ | [mm] $x\in [/mm] B$ | [mm] $x\in [/mm] C$ | [mm] $x\in (A\setminus [/mm] B)$ |...
> Ist doch ne wahre Aussage, da die Spalten 4 und 8
> übereinstimmen!???
Tun sie bei dir aber doch gar nicht, denn sie unterscheiden sich an der 5. Position. Ob das dein Fehler ist oder es tatsächlich so ist, habe ich nicht überprüft, das solltest du zunächst einmal tun 
Du hast aber Recht, dass die Mengengleichheit genau dann gezeigt wäre, wenn in diesen beiden Spalten dasselbe stünde.
Viele Grüße
Marc
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