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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Mengenl + Wahrscheinlichkeiten
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Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 09.06.2012
Autor: hase-hh

Aufgabe
Für drei Ereignisse seien folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:

P(A)= 0,5   P(B)= 0,7   P(C)= 0,3

P(A [mm] \cup [/mm] B)= 0,85   P(A [mm] \cup [/mm] C)= 0,65   P(B [mm] \cup [/mm] C)= 0,75.

Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. P(A [mm] \cap [/mm] B)

2. [mm] P(\overline{A \cup C}) [/mm]

3. [mm] P(\overline{B} \cup \overline{C}) [/mm]

4. P(C \ B)

5. P( [mm] \overline{A} \cap [/mm] B]

6. P(B|C)

7. P(C|B)

Moin Moin,

bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?


zu den übrigen Aufgaben:

1. P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cup [/mm] B)
    = 0,5 +0,7 -0,85 = 0,35

2. [mm] P(\overline{A \cup C}) [/mm] = 1 - P(A [mm] \cup [/mm] C)
   = 1 - 0,65 = 0,35

3. [mm] P(\overline{B} \cup \overline{C}) [/mm] = [mm] P(\overline{B \cap C}) [/mm]
   = 1 - P(B [mm] \cap [/mm] C)
   = 1- (P(B) +P(C) - P(B [mm] \cup [/mm] C))
   = 1 - (0,7 + 0,3 - 0,75)
   = 0,75

4.  P(C \ B) = P(C [mm] \cap \overline{B}) [/mm]

Hier habe ich zunächst P(C [mm] \cap [/mm] B) ausgerechnet...

P(C [mm] \cap [/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm] \cup [/mm] B)
   = 0,3 + 0,7 -0,75
   = 0,25

und dann

P(C \ B) = P(C) - P(C [mm] \cap [/mm] B)

  = 0,3 -0,25 = 0,05


5. P( [mm] \overline{A} \cap [/mm] B]

keine Idee




Bedingte Wahrscheinlichkeiten...

6. P(B|C) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(C)} [/mm]

   = [mm] \bruch{0,25}{0,3} [/mm] = 0,8333


7. P(C|B) = [mm] \bruch{P(B \cap C)}{P(B)} [/mm]

   = [mm] \bruch{0,25}{0,7} \approx [/mm] 0,3571


Danke & Gruß!











        
Bezug
Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: zu 5.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Sa 09.06.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Für drei Ereignisse seien folgende Wahrscheinlichkeiten
> gegeben:
>  
> P(A)= 0,5   P(B)= 0,7   P(C)= 0,3
>  
> P(A [mm]\cup[/mm] B)= 0,85   P(A [mm]\cup[/mm] C)= 0,65   P(B [mm]\cup[/mm] C)= 0,75.
>  
> Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
>  
> 1. P(A [mm]\cap[/mm] B)
>  
> 2. [mm]P(\overline{A \cup C})[/mm]
>  
> 3. [mm]P(\overline{B} \cup \overline{C})[/mm]
>  
> 4. P(C \ B)
>  
> 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>  
> 6. P(B|C)
>  
> 7. P(C|B)
>  Moin Moin,
>  
> bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?

wie wäre es, folgendes auszunutzen?
$$B=(A [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup} \overline{A}) \cap [/mm] B=(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}(\overline{A} \cap B)\,.$$ [/mm]

Dabei steht [mm] $\stackrel{\text{d}}{\cup}$ [/mm] für "disjunkte Vereinigung" - was Dir natürlich insbesondere deshalb weiterhilft, weil Du einerseits schon [mm] $P(B)\,$ [/mm] kennst, und andererseits gemäß 1.) $P(A [mm] \cap [/mm] B)$ ja berechnen solltest (was übrigens korrekt von Dir ausgerechnet wurde).
(Tipp: Erinnere Dich, wie man $P(X [mm] \cup [/mm] Y)$ berechnen kann, wenn $X [mm] \cap Y=\emptyset\,.$ [/mm] (In meiner Notation würde ich also kurz schreiben: Wie berechnet man $P(X [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}Y)\,$?)) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Sa 09.06.2012
Autor: hase-hh

Moin Marcel, moin @all !!

naja nicht ganz. Bei Aufgabe 4. waren keine Komplementärmengen ( wie bspw.  [mm] \overline{A} [/mm] ) enthalten.

Also Du sagst:

P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P(B)

P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B))

P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm] B)) = P(B)

[mm] P(\overline{A} \cap [/mm] B)) = P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B)

   = 0,7 - 0,35  = 0,35

Und das wars dann schon?






Bezug
                        
Bezug
Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Sa 09.06.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Moin Marcel, moin @all !!
>  
> naja nicht ganz. Bei Aufgabe 4. waren keine
> Komplementärmengen ( wie bspw.  [mm]\overline{A}[/mm] ) enthalten.

aber Du hattest sie doch selbst korrekt ins Spiel gebracht - darf ich Dich bei Aufgabe 4.) an Deine erste Zeile erinnern:

> P(C \ B) = P(C $ [mm] \cap \overline{B}) [/mm] $

Na? Siehst Du's?

> Also Du sagst:
>  
> P( (A [mm]\cup \overline{A}) \cap[/mm] B) = P(B)

[mm] $$\red{\gdw}$$ [/mm]
  

> $P( (A [mm] \cup \overline{A}) \cap [/mm] B) = P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup (\overline{A} \cap [/mm]  B))$

[mm] \red{=P(B)}$ [/mm]

[mm] $$\red{\gdw}$$ [/mm]
  

> P((A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup (\overline{A} \cap[/mm] B)) = P(B)

[mm] $$\red{\gdw}$$ [/mm]

> [mm]P(\overline{A} \cap[/mm] B)) = P(B) - P(A [mm]\cap[/mm] B)



wobei diese letzte Äquivalenz eben gilt, weil $P((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \stackrel{\text{d}}{\cup}(\overline{A}\cap [/mm] B))=P(A [mm] \cap B)+P(\overline{A}\cap B)\,.$ [/mm]
  
Also folgt

[mm] $$\red{P(\overline{A} \cap B)}=$$ [/mm]

> = 0,7 - 0,35  = 0,35
>  
> Und das wars dann schon?

Ja. Ich hab' nur mal den mathematischen Zusammenhang zu Deiner Auflistung von Gleichungen ergänzt. (Und ein, zwei sinnvolle Ergänzungen!) ;-) Aber verstanden hast Du das - sofern [mm] $P(B)=0,7\,$ [/mm] vorgegeben war und Du $P(A [mm] \cap [/mm] B)=0,35$ berechnet hattest - ich gehe mal davon aus, dass Du abschreiben kannst, deswegen habe ich das nicht nochmal geprüft.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Sa 09.06.2012
Autor: ms2008de

Hallo,
>  Moin Moin,
>  
> bei Aufgabe 5 komme ich nicht weiter. Was muss ich da tun?
>  
>
> zu den übrigen Aufgaben:
>  
> 1. P(A [mm]\cap[/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm]\cup[/mm] B)
> = 0,5 +0,7 -0,85 = 0,35
>  

stimmt

> 2. [mm]P(\overline{A \cup C})[/mm] = 1 - P(A [mm]\cup[/mm] C)
>     = 1 - 0,65 = 0,35
>  

stimmt

> 3. [mm]P(\overline{B} \cup \overline{C})[/mm] = [mm]P(\overline{B \cap C})[/mm]
>  
>    = 1 - P(B [mm]\cap[/mm] C)
> = 1- (P(B) +P(C) - P(B [mm]\cup[/mm] C))
>     = 1 - (0,7 + 0,3 - 0,75)
>     = 0,75
>  

stimmt.

> 4.  P(C \ B) = P(C [mm]\cap \overline{B})[/mm]
>  
> Hier habe ich zunächst P(C [mm]\cap[/mm] B) ausgerechnet...
>  
> P(C [mm]\cap[/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm]\cup[/mm] B)
>     = 0,3 + 0,7 -0,75
>     = 0,25
>  
> und dann
>
> P(C \ B) = P(C) - P(C [mm]\cap[/mm] B)
>  
> = 0,3 -0,25 = 0,05
>  

stimmt auch

>
> 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>  
> keine Idee
>
>

Es ist 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
= P(B \ A)= P(B)- P(A [mm]\cap[/mm] B)

>
>
> Bedingte Wahrscheinlichkeiten...
>  
> 6. P(B|C) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(C)}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{0,25}{0,3}[/mm] = 0,8333
>  
>
> 7. P(C|B) = [mm]\bruch{P(B \cap C)}{P(B)}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{0,25}{0,7} \approx[/mm] 0,3571
>  

auch beides richtig

Viele Grüße

Bezug
                
Bezug
Mengenl + Wahrscheinlichkeiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 Sa 09.06.2012
Autor: Marcel

Hallo,

>  > 4.  P(C \ B) = P(C [mm]\cap \overline{B})[/mm]

>  >  
> > Hier habe ich zunächst P(C [mm]\cap[/mm] B) ausgerechnet...
>  >  
> > P(C [mm]\cap[/mm] B) = P(C) +P(B) - P(C [mm]\cup[/mm] B)
>  >     = 0,3 + 0,7 -0,75
>  >     = 0,25
>  >  
> > und dann
> >
> > P(C \ B) = P(C) - P(C [mm]\cap[/mm] B)
>  >  
> > = 0,3 -0,25 = 0,05
>  >  
> stimmt auch
>  >

> > 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>  >  
> > keine Idee
> >
> >
> Es ist 5. P( [mm]\overline{A} \cap[/mm] B]
>  = P(B \ A)= P(B)- P(A [mm]\cap[/mm] B)

das folgt aus meiner Antwort. Witzig finde ich allerdings, und das habe ich erst gerade gesehen, dass er genau das gleiche Vorgehen in Aufgabe 4.) selbstständig gemacht hatte. Denn Aufgabe 4.) ist ja nichts anderes als die Berechnung von
$$P(C [mm] \cap \overline{B})=P(\overline{B} \cap C)\,.$$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
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